有效反思，促進提升

丁玲

[摘 要] 反思是一種重要的思維活動，亦是高中數學學習培育學生數學核心素養的關鍵所在，高中數學教師要有意識地引導學生進行科學而高效的反思，進而提升學生能力的發展. 本文指出教師要引導學生在對知識形成的反思過程中認識問題的本質；在對知識內在關聯的反思過程中實現知識的內化；在對問題解決的反思過程中提升思維的品質.

[關鍵詞] 數學學習；反思；引導策略

課程改革的目的是讓學生學會學習，培育學生的數學核心素養，為此教師要指導學生深入理解學習的過程，讓他們不僅能夠明確要學習什么，更讓學生理解該如何進行學習. 那么在高中數學的教學過程中，我們應該如何促使學生積極而主動地參與到學習之中，認真地探索數學的學習方法呢？筆者認為引導學生進行正確反思是一個非常有效的方法.

在數學學習過程中，反思一直都是結論發現的源泉，是學生訓練思維、優化思維最為高效的方法，也是他們實現知識同化與遷移的有效途徑. 我們雖然經常強調“反思”，但學生卻不一定理解什么是“反思”. 所謂“反思”，這應該是從新的角度出發，對問題進行多層次、全方位的思考、分析和探索，進而更深入地對問題進行理解，從而把握問題的本質，并獲得事物一般化的規律，同時還能建立知識之間的相互關聯，有效推動知識的同化與遷移，引導認知主體獲取新的發現. 因此反思應該是一種高階的思維活動，它同時也是一種探索行為，從教學層面來理解，它可以是一種同化，也是一種發現，還是一種再創造.

在高中數學的教學過程中，我們引導學生進行有計劃、有針對的反思，能夠提升他們的數學意識，優化他們的理性思維機制. 此外，我們還可以指導學生借助反思來追蹤數學家的研究思路，讓他們像專業的數學研究者一樣來探索問題. 這樣的反思還將有助于學生拓展問題解決的思路，實現問題解決的優化，同時讓自己的思維更加嚴謹. 因此我們在數學教學中一定要鼓勵和引導學生展開積極的反思，這可以充分調動學生求知、求思的主動性，進而形成善于觀察、分析和思考的習慣，培養他們勇于質疑、敢于探索的學習精神. 那么我們在實際教學中應該如何來引導學生進行反思呢？

在對知識形成的反思過程中認識問題的本質

無論是教材還是課堂，數學在很多學生眼中都是一些已經成形且固化的形式和理論. 在課堂上，學生往往被動地等待教師灌輸各種概念、法則、定理等現成的結論，至于數學知識的形成過程以及數學概念的創造過程都與學生的認知無關，這樣的教學怎么可能讓學生形成較為真實的體驗，這樣的教學又如何讓學生學會創造和探索？為了改變這一現狀，筆者認為教師要創設恰當的情境，由此引導學生對知識的形成過程產生深度的反思，并引導學生運用自己的思維方法去發現并創造相應的數學知識，進而把握問題的本質，發現數學認知的一般化規律，讓學生也能從中體會到數學研究的艱辛與快樂.

例1：平面內共有n條互不平行的直線，且任意三條直線沒有經過同一點，求證：交點的總個數f（n）= n（n-1）.

這是一道典型的代數問題，基本操作可用數學歸納法進行解決，但是如何發現f（n）= n（n-1）這一結論呢？我們又如何對f（n）的規律進行探索呢？教學中我們要啟發學生從f（1）、f（2）、f（3）等簡單情形出發，逐漸探索更加一般化的規律，進而猜想出f（n）= n（n-1）. 這樣的探索過程遵循了從特殊到一般的研究思路，而沒有灌輸現成的證明結論，這不僅有助于學生對問題形成更深層次的理解，也有助于他們采用數學歸納法對問題展開正確的證明，同時還將進一步引導學生來反思以下問題：（1）這n條直線彼此分割，一共可以形成多少條射線（或線段）？（2）這n條直線可以將整個平面劃分為多少個區域？（3）如果將原題中的直線改換為圓或者是拋物線，結果又將如何？

創造性是數學學習的魅力所在，荷蘭數學家弗賴登塔爾指出數學教育的核心方法就是學生的再創造. 在高中數學的教學過程中，我們要引導學生展開積極的反思工作，讓他們在反思中感悟知識的形成過程，我們要鼓勵學生多問一些為什么，比如這個公式或定理從何而來，如何對其進行證明，是否還有類似的問題，這與其他問題是否存在區別和聯系等等，這樣的教學有助于學生運用自己的思維來對問題展開探索和研究，進而實現對數學知識的再創造.

在對知識內在關聯的反思過程中實現知識的內化

數學的學習過程應該是知識的順應與同化的過程，而反思正是這兩個過程中的核心步驟，學生將在反思的過程中深刻發掘知識之間的內在關聯，并由此促進知識的同化與遷移，當然這也有助于學生建立更加合理的知識框架與體系.

例2：證明cosα+cos3α+cos5α+…+cos（2n-1）α= （sinα≠0）. 這是一個較為基礎的三角函數證明題，學生很容易通過數學歸納法即能證明，當然學生必須要注意到在使用該種方法的第二步：假設n=k，cosα+cos3α+cos5α+…+cos（2k-1）α= （1式）成立，然后可證明cosα+cos3α+…+cos（2k-1）α+cos（2k+1）α= （2式），用2式減1式可得cos（2k+1）α= [sin2（k+1）α-sin2kα]，不難發現這個式子將成為問題最終解決的關鍵，對于這個式子做出以下探索：分別取k=0，1，2，…，n-1代入該式子，可得cosα= （sin2α-sin0）；cos3α= （sin4α-sin2α）；cos5α= （sin6α-sin4α）；…；cos（2α-1）= [sin2nα-sin2（n-1）α]，將上述各個式子相加之后可以得到需要求證的結果. 通過上述一系列的探索和研究發現，問題的處理不僅可以讓學生運用數學歸納與拆項相消等方法來實現對式子的證明，還可以讓學生認識到上述兩類方法之間的聯系. 學生有必要進行反思的是，這類方法還可以在哪些場合下進行應用，這就是在訓練學生對方法本質的理解，在提升學生的遷移能力.比如下面幾個問題，都有類似方法的運用：

（1）證明12+22+32+…+n2= n（n+1）·（2n+1）的關鍵就在于證明n2= n（n+1）·（2n+1）- （n-1）n（2n-1）；

（2）證明sinα+sin2α+sin3α+…+sinnα= （sin ≠0）的關鍵就是證明sinnα= ·sin ·sin -sin sin .

知識和方法的遷移是高中數學教學的核心所在，“為了遷移而教”也是眾多數學教師在教學探索中的共識. 在教學過程中，教師引導學生在問題處理中反思新舊知識之間的聯系，并探尋如何運用舊知識來理解新知識，進而用新知識來解決舊問題，這樣的處理可以幫助學生在原有認知的基礎上更加靈活而深刻地理解、掌握新的知識，從而促進學生對知識的同化過程和遷移訓練.

在對問題解決的反思過程中提升思維的品質

反思應該是個體一種積極而主動的思維活動，在學習的過程中，教師要善于啟發學生從更加全面的角度來對問題進行考察，這有助于學生擺脫思維定式的影響，也有助于學生發現原先思維過程中的不足，這能夠幫助學生實現對思維過程的完善，并能進一步提升思維的嚴密性. 通過系統化的反思，學生還將進一步探索問題解決的其他途徑，獲取問題解決方法的最優化，同時也將激活自身思維的靈活性和創造性.

例3：已知一條直線與拋物線y2=2x只有一個公共點，且該直線經過點（0，1），求該直線的解析式.

有學生在處理時是這樣進行的：假設直線的解析式為y=kx+1，由y=kx+1，y2=2x可得k2x2+（2k-2）x+1=0，根據題意該方程只有一個根，因此Δ=0，可以解出k= ，因此可解得直線方程為y= x+1.

上述分析過程貌似很好地將答案得出，但是進一步反思發現，上述問題分析過程存在三個不夠嚴謹的地方：（1）設定直線方程為y=kx+1時，即已然確定直線的斜率一定存在：（2）忽視了斜率可能等于0的情形；（3）混淆了“相切”和“只有一個公共點”這兩種不同情形.

通過上述反思，學生不僅可以發現他們思維過程中的不足之處，從而引導學生進一步完善問題的解決過程，同時這也將推動學生問題發現能力的提升，幫助學生對思維的嚴密性和批判性進行訓練，這也有助于學生培養嚴謹而細致的學習習慣和研究風格.

綜上所述，反思是一種學生積極而主動的學習行為，反思的目的不僅僅是讓學生完善解題過程、實現問題解決的最優化，更重要的目的是拓寬學生研究問題的視野，培養學生的思維習慣，鍛煉他們思維的靈活性和創造性.