一道課本習題改編的一組高考題

李瑞杰

[摘 要] 高考卷向來重視對教材例題、習題的挖掘、引申和改造，體現“深入教材，又高于教材”，做到重基礎、考能力. 教師要引導學生抓綱靠本，強調變式，培養思維的靈活性和創造性.

[關鍵詞] 高考；課本；改造

高考全國卷向來重視對教材例題、習題的挖掘、引申和改造，體現“深入教材，又高于教材”，做到重基礎，考能力.下面以人教版選修2-1P49第7題為例，看看高考題是如何由習題改造的.

P49習題2.2如圖1，圓O的半徑為定長r，A是圓O內一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

解答：連接QA，因為線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，

所以PQ=AQ，OQ+PQ=OQ+AQ=r（r>OA）.

根據橢圓定義，點Q的軌跡是橢圓，它的焦點為O，A.

引申1：對題目中的“線段AP垂直平分線l和半徑OP相交于Q”改成直線l過點B（1，0）且與X軸不重合，交圓A于C，D，過B作AC的平行線交AD于E”，就得到某地高考第20題第1問：

設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E，證明EA+EB為定值，并寫出點E的軌跡方程.

分析：本題的關鍵是作圖；因為△ADC是等腰三角形∠ACD=∠ADC，又因為EB∥AC，所以∠EBD=∠ACD，EB=ED，所以EA+EB=r.

解答：圓A整理為（x+1）2+y2=16，A坐標為（-1，0），如圖2，因為BE∥AC，AC=AD，則∠D=∠C，∠C=∠EBD，

所以∠EBD=∠D，則EB=ED，EA+EB=4﹥2滿足橢圓定義，

？搖所以E的軌跡為一個橢圓，方程為 + =1（y≠0）.

點評：本題把習題中利用垂直平分線性質改為利用等腰三角形和平行線的性質，突出了對基礎知識的考查.

引申2：對習題中“線段AP垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，改成圓N：（x-1）2+y2=9，動圓P和圓M外切并且與圓N內切，求圓心P的軌跡，就得到某地高考第20題第1問：

圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x-1）2+y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線 C，求C的方程.

分析：由兩圓外切、內切得到PM=r+1，PN=3-r，所以PM+PN=4﹥2，關鍵是畫圖，聯想兩圓外切、內切的連心線.

解答：如圖3，連PM，PN，則PM=r+1，PN=3-r，所以PM+PN=4﹥2，滿足橢圓定義，所以圓心P的軌跡是橢圓，C的方程為 + =1.

點評：本題把習題中利用垂直平分線性質改為利用兩圓外切、內切的連心線性質，突出地考查了思維的靈活性.

引申3：對習題中“線段AP垂直平分線l和半徑OP相交于點Q”，改成點G在MP上，且滿足 =2 ， · =0，得到某地高考第20題第1問.

已知圓M：（x+ ）2+y2=36，定點N（ ，0），點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足 =2 ， · =0，求點G的軌跡方程.

分析： =2 ，說明Q點是NP中點，又 · =0，說明GQ與NP垂直，所以GQ 是NP的垂直平分線，回到習題第7題的條件了.

解答：（1）因為 =2 ，所以N為NP的中點. 又因為 · =0，所以GQ為PN的中垂線，所以GP=GN，所以PG+GM=GM+GN=2a=6>2 ， 滿足橢圓定義，所以方程為 + =1.

點評：加入向量共線和垂直內容后，加深題目難度，體現了解幾與向量的交匯，突出對能力的要求.

？搖？搖從上面改編的幾道高考題可以看出，高考題很多是課本習題的延伸，因此無論是新課教學，還是高考復習，教師要引導學生抓綱靠本，對課本中一些典型例題、習題要講透思想方法，重視解題過程，強調變式訓練和題組訓練，培養學生思維的靈活性和創造性.