海倫公式的證明及兩個推論

張浩

[摘 要] 高中數學教師在教學中容易輕視教材，把資料書作為教學的核心素材，這種做法明顯欠妥. 筆者運用教材中“海倫和秦九昭”的閱讀內容，激發學生的探知欲望，提高學生數學抽象、邏輯推理以及數學運算能力.

[關鍵詞] 海倫公式；秦九昭公式；三角形面積

筆者所在地區使用的高中數學教材為人教A版，在必修五教材的第一章內容中有關于“海倫和秦九昭”的閱讀與思考內容. 既然是閱讀與思考，往往未受到教師和學生的重視. 但是，此部分內容對于學生了解數學史、提高數學素養都是極好的材料，甚至也可以豐富學生解題思路和技巧.

海倫—秦九昭公式

在解三角形的問題中，一個比較困難的問題是如何由三角形的三邊a，b，c直接求出三角形的面積. 據說這個問題最早是由古希臘數學家阿基米德解決的，他得到公式S= ，其中p= （a+b+c）. 但是現在人們常常以古希臘的數學家海倫命名這個公式，稱此公式為海倫公式. 其實，我國南宋時期的數學泰斗秦九韶編撰的《數書九章》一書的卷五中曾記載過“三斜求積術”，秦九韶的算法相當于：S= ，其中a≥b≥c. 它雖然與海倫公式形式上不一樣，但兩者是完全等價的，實質是一樣的. 故海倫公式也稱之為“海倫—秦九韶公式”.

海倫公式的證明

筆者以思考題的形式要求學生閱讀此部分內容，并用自己的方法證明海倫公式. 學生的證明方法主要有以下兩種.

方法1：△ABC的三邊長分別為a，b，c，則有三角形的面積公式可得S= absinC= ab ，再由余弦定理可得S= ab

化簡得S= ，令p= （a+b+c），于是有

S= ，海倫公式得證.

方法2：如圖1，△ABC的三邊長分別為a，b，c，AD為邊BC的高. 又因為BD=ccosB= ，所以，AD2=AB2-BD2=c2- .

由于S= ·BC·AD= a· = ，

可由平方差公式化簡可得S= · ，令p= （a+b+c），于是有S= ，海倫公式得證.

點評：學生以上的兩種種證明方法思路簡單，利用所學求三角形面積的基本知識，以及余弦定理，將角度轉化為邊長，這樣可以使得最后推證的公式中無角度，只存在邊長，化簡過程較復雜，需要學生細致、耐心的計算，有助于培養學生的轉化思想、計算能力和邏輯推理能力.

第二種證明方法需要說明：圖1中的高AD在三角形的內部，根據三角形知識可知，若是過鈍角三角形中的銳角頂點作對邊的高，則此時高AD則會在三角形的外部（如圖2），那么此時BD=ccos（π-B）= ，也可推證出海倫公式. 也可理解為：即使△ABC為非銳角三角形，過最大內角作對邊的高，那么此時高一定在三角形內部，按照此種證明方法海倫公式也可得證.

海倫公式的兩個推論

推論1：已知三角形的三邊長為a，b，c，設p= （a+b+c），可得三角形的內切圓半徑r= .

證明：如圖3，圓O為△ABC的內切圓，內切圓半徑為r，則有

S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC= cr+ ar+ br.

由海倫公式可得S△ABC= = （a+b+c）r=pr，證得

r= .

推論2：設邊AB，BC，CA上的高分別記為hc，ha，hb，可得

ha= ，hb= · ，

hc= .

證明：因為S△ABC= ah = ，可證得

ha= ，同理可證推論2成立.