多角度構造函數

侯禹　　鄭瑩瑩

[摘 要] 構造法在中學數學學習中，對學生的能力要求很高，但它能另辟蹊徑，繞過一些思維的定式. 通過不同的角度對函數結構進行構造，可以使得學生加深對函數的理解，并且利用函數構造的方法解題，也是數學中一種常用的方法. 通過不斷地變換形式，對函數的性質有更廣泛的認識.

[關鍵詞] 函數結構；多角度構造；結構認識

例：設0

解法一：由題g（x1）-g（x2）=（1-b）·（x1-x2）+ （x -x ）+ln .

因為g′（x）= ，

所以g′（x）=0時，x1+x2=b-1，x1x2=1，

所以g（x1）-g（x2）=（x1+x2）（x2-x1）+ （x -x ）+ln =ln - =ln - - .？搖

設t= ∈（0，1）且 =（b-1）2≥ ，所以t+ ≥ ，0

令h（t）=lnt- t- ，t∈0， ，h′（t）= <0，所以函數y=h（t）單調遞減，所以h（t）≥h = -2ln2.

上述解法顯然對學生能力的要求比較高，是將x1，x2的整體結構視為一個自變量，其中還有一些代換，如“1”的代換達到升次目的，從而才能配湊出想要的整體結構. 另外韋達定理將常數換為和，同樣是要達到升次換元目的.

解法二：由法一知

g（x1）-g（x2）=ln + （x1-x2）=ln + （x1+x2）（x2-x1）=2lnx1+ -x .？搖 令m（x）=2lnx+ -x2，m′（x）= - -x= = <0，而x1+x2=b-1=x1+ ≥ ，0

解法二的想法比較直白，就是想辦法消掉x2與b，這樣處理起來方向比較清楚，當然這里在消元處理的時候還是要結合韋達定理，這也是極值點滿足的信息要充分利用起來.

解法三：由x1，x2是方程x2+（1-b）x+1=0的兩個根，所以x1= ，x2= ，令b2-2b-3=Δ，將上式代入到g（x1）-g（x2）中得到

g（x1）-g（x2）= +ln = +ln = +ln .

令（b-1） =t≥ ，則f（t）=g（x1）-g（x2）= +ln - ，所以f′（t）= - >0，所以函數y=f（t）在t∈ ，+∞上遞增.

所以函數y=f（x）在t∈ ，+∞上的最小值為f = -2ln2.

這個解法應該是很多學生能夠想到，但是不敢下筆的，就是老老實實地求根，統一成字母b的函數求最值. 實際上我們操作起來發現并不是很困難，就是將比較復雜的式子整體換元使函數解析式變簡單，再求導求最值.

解法四：因為g′（x）=x+ -b+1，當g′（x）=0時，則x+ =b-1≥ .

因為g′（x）=x+ -b+1的參數只在常數里面，說明原函數走勢不變.

所以當x2-x1越小，則g（x1）-g（x2）越小，所以b-1= 時，x2=2，x1= ，

所以所求最小值為g -g（2）= -2ln2.