矩陣乘法不可交換的幾何解釋

李小山

摘 要 矩陣是代數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)和重要工具，涉及代數(shù)學(xué)的各個(gè)重要內(nèi)容。矩陣乘法與數(shù)的乘法最本質(zhì)的區(qū)別是矩陣乘法不滿足交換律。本文通過幾個(gè)非常具有幾何直觀的例子來形象說明矩陣乘法不可交換這一數(shù)學(xué)現(xiàn)象，加深我們對(duì)矩陣乘法不可交換的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞 矩陣 矩陣乘法 交換律

中圖分類號(hào)：G423.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

線性代數(shù)是一門十分重要的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)課程，它的基本概念，理論和方法都具有高度的概括性，抽象性和廣泛實(shí)用性。線性代數(shù)無論是在數(shù)學(xué)，物理，還是工程力學(xué)都有著非常重要的應(yīng)用。因此，在大學(xué)階段真正掌握和理解線性代數(shù)中的基本概念和方法就顯得非常有必要。線性代數(shù)的核心內(nèi)容就是解線性方程組，而充分了解線性方程組解的基本理論是矩陣的理論。可以這樣說，解線性方程組是核心，而基本工具則是矩陣。矩陣是線性代數(shù)中最為基本的概念。其中矩陣運(yùn)算包括矩陣的加法，數(shù)乘以及矩陣的乘法。矩陣的加法和數(shù)乘對(duì)于線性代數(shù)的初學(xué)者都很好理解，唯有矩陣的乘法運(yùn)算對(duì)于線性代數(shù)初學(xué)者來說是一道很難邁過的門檻。在本文中，筆者將重點(diǎn)探討如何來理解矩陣的乘法以及探討為何矩陣不再滿足交換律這一重要的數(shù)學(xué)事實(shí)。我們將通過幾個(gè)非常具有幾何直觀的例子來形象說明矩陣乘法不可交換這一數(shù)學(xué)現(xiàn)象，加深了我們對(duì)矩陣乘法不可交換的認(rèn)識(shí)。

1矩陣乘法的定義的引入

設(shè)A=（aij）是一個(gè)m€譻矩陣，B=（bij）是一個(gè)s€譶矩陣。規(guī)定矩陣A與E的乘積是一個(gè)m€譶矩陣，其中

（1）

公式（1）是矩陣乘法的標(biāo)準(zhǔn)定義。這個(gè)定義對(duì)于初學(xué)者來說顯得極不自然，無法理解矩陣乘法為何要以這種方式定義。按照筆者授課的經(jīng)驗(yàn)，如果僅要求學(xué)生死記硬背矩陣乘法的定義，會(huì)很大程度上降低學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣與積極性。又由于矩陣乘法是線性代數(shù)中最為基礎(chǔ)的內(nèi)容，如果這部分基礎(chǔ)理解不透徹，對(duì)于后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)將會(huì)是一個(gè)很大的障礙。

對(duì)于矩陣乘法的教學(xué)，一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ峭ㄟ^線性變換的復(fù)合運(yùn)算來理解矩陣的乘法。以這種方式來理解矩陣乘法有很多好處，尤其是對(duì)理解矩陣乘法不可交換，以及矩陣乘法沒有消去律等結(jié)果上提供很大的便利。設(shè)分別為的坐標(biāo)。假設(shè)是兩個(gè)線性變換，即我們?nèi)缦聦?duì)應(yīng)關(guān)系：

（2）

和

（3）

將（2）代入（3）得到

（4）

這里，

（5）

.

規(guī)定矩陣C=（cij），A=（aij），B=（bij），并定義矩陣C為A與E的乘積，寫作C=AB。若記，，，那么利用矩陣乘法的定義我們知道。分別稱為線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣。因此，由我們發(fā)現(xiàn)（5）中矩陣乘法的定義事實(shí)上是來源于求復(fù)合線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣，所以從這個(gè)角度來看矩陣乘法的定義有著深刻的含義。

2矩陣乘法不可交換的具體例子

矩陣的乘法與我們中學(xué)時(shí)代所學(xué)過數(shù)的乘法的有著本質(zhì)的區(qū)別。若a，b是兩個(gè)數(shù)，我們知道一定有ab=ba，即數(shù)的乘法可以交換。然而對(duì)于矩陣乘法而言，它與數(shù)的乘法最大的區(qū)別是矩陣乘法不再可交換。例如我們有如下矩陣

（6）

經(jīng)過直接計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)

（7）

從上面的計(jì)算結(jié)果，馬上發(fā)現(xiàn)

AB≠BA， AC≠CA， BC≠CB （8）

所以，從計(jì)算的結(jié)果可以看出矩陣的乘法不再滿足交換律。

3矩陣乘法不可交換的幾何解釋

矩陣乘法是大學(xué)數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)不同的一個(gè)顯著例子，所以為了讓學(xué)生能順利從中學(xué)數(shù)學(xué)過渡到高中數(shù)學(xué)，非常有必要將這些不同之處講解透徹。在強(qiáng)調(diào)矩陣乘法不滿足交換律時(shí)，如果僅從計(jì)算幾個(gè)具體的例子然后告訴學(xué)生矩陣乘法確實(shí)不滿足交換律會(huì)讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)就只是一些具體的計(jì)算，這樣會(huì)降低學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。所以在講矩陣乘法不可交換時(shí)，我通過一些具體的例子，以及通過形象的幾何直觀來說明矩陣乘法不滿足交換律，加深我們對(duì)矩陣乘法不可交換的理解。例如（8）中的AB≠BA，AC≠CA，BC=CB后面有著非常有意思的幾何含義。我們知道在平面幾何中存在三種常見的線性變換，如旋轉(zhuǎn)，投影，以及鏡像對(duì)稱。分別用，C表示將平面向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 ，向x軸投影，以及關(guān)于y軸做對(duì)稱（如圖1、圖2）。

（圖1） （圖2） （圖3）

設(shè)向量p的終點(diǎn)坐標(biāo)為x，y，則將向量p記為。設(shè)向量P1的終點(diǎn)坐標(biāo)為為，向量P1記為。圖1中的旋轉(zhuǎn)變換所對(duì)應(yīng)的矩陣是，即。圖2中的投影變換所對(duì)應(yīng)的矩陣是（2）中的矩陣，圖3中關(guān)于y軸的鏡像對(duì)稱變換C所對(duì)應(yīng)的矩陣是（2）中的矩陣。當(dāng)圖1中的 =，即是將向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90€暗男浠唬雜Φ木卣笄『檬？2）中的矩陣。那么將向量p先向x軸投影，再逆時(shí)針選擇90€暗母春舷咝員浠凰雜Φ木卣笄『檬茿B。 將向量p先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90€埃儐騲軸投影的復(fù)合線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣恰好是BA。現(xiàn)設(shè)向量p=。那么就是將p先旋轉(zhuǎn)90€叭緩笤儐騲軸投影最終得到向量。而就是將向量p=先向x軸投影再向y軸做鏡像對(duì)稱所得到的向量為。顯然，，即我們有ABp≠BAp，從而一定有AB≠BA。所以，雖然從表面的計(jì)算可以看出AB≠BA，但是其背后的幾何意義則是投影與旋轉(zhuǎn)這兩個(gè)線性變換的先后順序是不能交換的。同樣，AC≠CA其背后的幾何意義也是由于旋轉(zhuǎn)變換與鏡像對(duì)稱變換不能交換順序。而 （8）中的BC=CB實(shí)際上來源于下面一個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)：即向x軸的投影變換與關(guān)于y軸的鏡像對(duì)稱變換C是可以交換的，即C=C，所以我們會(huì)有BC=CB。

4結(jié)束語

通過上面的討論，我們可以看出矩陣乘法與我們中學(xué)時(shí)代所學(xué)數(shù)的乘法有著本質(zhì)的區(qū)別，矩陣乘法不滿足交換律。我們通過舉例向量的旋轉(zhuǎn)變換與投影變換不可交換，向量的旋轉(zhuǎn)變換與鏡像對(duì)稱不可交換這些幾何現(xiàn)象來說明矩陣乘法不滿足交換律這一數(shù)學(xué)理論，讓學(xué)生對(duì)矩陣乘法不可交換有了更加直觀的認(rèn)識(shí)，加深了他們對(duì)矩陣乘法的理解，提高了進(jìn)一步學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。這些例子也進(jìn)一步說明了數(shù)學(xué)中的理論并不是相互孤立的，我們要學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)理論各種不同的角度去了解一個(gè)現(xiàn)象，才會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容有更加深刻的認(rèn)識(shí)。

參考文獻(xiàn)

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