多層框架結構的優化設計

邴秋穎

【摘 要】工程結構的優化設計旨在尋找既安全又經濟的結構模式，通常包括尺寸、形狀與拓撲信息等，對于研究發明生產超出設計者已有經驗的新型工程結構來說，對工程結構進行優化是一種很有價值的工具。結構優化的主要目的通常是求解具有最小重量的結構，并且滿足相應的約束條件， 以獲得最佳靜力和動力形態特征。解決的問題從減輕結構重量擴展到降低應力水平、改進結構性能和提高安全壽命等更多方面。

【關鍵詞】結構優化；安全；經濟

引言

多層框架是工程中常見的一種簡單結構，對其進行優化設計能夠很好的反應結構在滿足相應的承載力條件下，如何減少鋼筋和混凝土等材料的使用，以梁高寬、柱高寬為設計變量，利用矩陣位移法計算出構件的內力，進而再計算構件在滿足承載力和構造要求下的鋼筋面積。

一、模型的建立

利用多面體法對框架結構進行優化設計，以框架結構造價最低的數學模型表示為：

MinC=+

S.t. Vi（x）≤0 （i=1，2，…，L）

目標函數：設框架中梁、柱的數目分別為m，n，以整個框架造價最低可建立如下的目標函數：

MinC=+

式中 lbi，lcj——梁、柱的長度；X2i-1，X2i——梁的寬度和高度；

Agi，Agj——梁和柱的鋼筋截面積；X2j-1X2j——柱的寬度與高度； Ch，Cg——鋼筋和混凝土的價格。

二、約束條件

在工程結構優化的設計過程中，我們需要保證構件可以承受荷載設計值，也就是滿足承載力的需求，設計者通常根據構件的截面尺寸和材料性能計算出構件的最大承載力；用矩陣位移法計算多層框架結構在荷載設計值下各構件的內力。但要求構件最大承載力需要大于或等于構件在相應載荷作用下的構件的內力，同時，構件尺寸大小需要滿足規范上的一些要求，所以，約束條件設置為：

（1） 梁縱筋最小的配筋率：Agi≥uminX2i-1X2i i=1，2，…，m；umin=0.2%（2） 梁的超筋限制：ρ≤ρmax（3） 梁截面最小寬度：X2i-1≥200 i=1，2，…，m（4） 梁高的限制：400≤X2i≤800 i=1，2，…，m（5） 柱的最大配筋率：Agj≤0.03X2j-1X2j j=1，2，…，n（6） 柱的最小配筋率：Agj≥0.006X2j-1X2j j=1，2，…，n（7） 柱的最小截面尺寸：X2j-1，X2j≥350 j=1，2，…，n

三、多面體方法計算要素

1. 根據已經給出的滿足約束條件的初始設置X0（i），i=1，2，3，···，N與初始邊長t，構成一個以X0（i）為形心的邊長為t的原始正多面體。各個頂點設為X1，X2，X3，…，XN+1。

2. 算形心點X0處目標函數值F0=f（X0）。

3. 一次判斷正多面體各頂點Xi（i=1，2，···，N+1）取值能否滿足各個約束條件，如果都不滿足約束條件，則需要轉到第（10）步，否則轉到第（4）步。

4. 計算在滿足各個約束條件下的各頂點XK（下標K表示在滿足各個約束條件下的各頂點的標號）目標函數值FK=f（XK），找到其中函數值的最小的點XL及其所對應的函數值FL=minf（XK），如果FL≥F0，轉到第（6）步，否則轉到第（5）步。

5. 沿X0XL方向繼續搜索。

6. 找出正多面體其余所有旁心XN+2，XN+3，… ，X2N+2。并且判定各旁心點處的取值XN+1+i，j可否滿足約束條件，如果所有都不滿足則轉第（10）步，其余則轉到第（7）步。

7. 計算滿足相應剪應力約束條件的所有旁心XK點處目標函數FK=f（XK），找到最優旁心XL1及其所對應的相應的目標函數結果FL1=f（XL1）=minf（XK），如果FL1≥F0，轉第（10）步，其余轉到第（8）步。

8. 用XL1代替X0，并以FL1代替F0，對正多面體進行翻轉。新的頂點XL′的每個坐標的分量計算如下：XL′j=x0j+xL1，j-xLj （j=1，2，···，N）計算XL′點處的目標函數值FL′=f（XL′）。如果：FL′≥F0，則轉到第（6）步，否則轉到第（9）步。

9.當FL′≤F0時，轉到第（5）步對結構進行平移。

10.精度的檢驗，如果t≤ε（ε為預先給定的精度），停止搜索；否則，對正多面體，讓其向形心收縮，收縮后該正多面體各個頂點的坐標分量按下式計算：xij′=12（xij+x0j） （j=1，2，···，N）再令t=0.5×t，轉第（3）步。

四、程序優化設計

實例程序優化設計的內容主要如下：

1.依次輸入框架所承受荷載的原始數據、材料等級和梁柱的截面尺寸；并對各截面的承載力情況進行判斷，不滿足的則需要進行相應的截面調整。

2.用矩陣位移法計算該多層框架的內力（如彎矩、剪力和軸力），并且利用內力計算法計算多層框架構件所需要滿足承載力要求下鋼筋的截面面積。判斷他是否已經超筋，若已經超筋，則需要調整截面的尺寸和大小。

3. 建立框架結構所需造價最低時的目標函數，然后再用正多面體方法對已有多層框架結構構件進行優化設計。

4. 對優化后的鋼筋截面進行檢驗，觀察其能否滿足承載力約束條件和構造的要求。

5. 在保證其滿足精度要求后，輸出結構優化后的截面大小和所需總造價。

對鋼筋混凝土多層框架結構的優化設計以構件的各控制截面為代表進行計算，因而對其它鋼筋混凝土多層框架結構也適用。對一個3跨3層鋼筋混凝土框架，梁的截面積為250 mm×500 mm，柱為450 mm×450 mm，梁、柱混凝土等級均為C25，采用Ⅰ級箍筋，Ⅱ級主筋，混凝土單價300元/m3，鋼筋單價3700元/t。

五、結果優化分析

1. 輸入多層框架的荷載原始數據包括材料等級，梁柱的截面尺寸等；對截面進行判斷，不滿足則需要進行截面調整。

2.用矩陣位移法計算鋼筋混凝土多層框架的內力（如彎矩、剪力和軸力），然后利用內力計算方法計算多層框架構件在能夠滿足承載力要求下所需的鋼筋面積。判斷其是否超筋，若超筋，則需要調整截面大小。

3.建立框架結構所需造價最低時的目標函數，然后用正多面體方法對該框架結構的構件進行優化設計。

4.檢驗最后優化后的截面能否滿足結構承載力約束條件和所需構造要求。

5.在其滿足相應精度要求后，最后輸出結構優化后的截面大小和所需造價。

用優化程序對本例進行了優化計算，優化前的工程造價為9734.90元，優化后為9143.55元，降低了6.07%。

六、結論

通過對簡單的多層框架結構進行優化設計，能夠在合理的范圍內降低工程成本。結構優化的方式方法是一種有待提高、完善、改進的方法，為現代結構的發展提供了重要保障。

參考文獻：

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[5]GB20010-2002，混凝土結構設計規范[S].北京：中國建筑工業出版社，2002.endprint