乒乓球運動員控球穩定性試驗與理論研究

張俊偉，李 春，丁勤衛，任 杰，季云峰，施之皓，葉 舟

乒乓球運動員控球穩定性試驗與理論研究

張俊偉1，李 春1，丁勤衛1，任 杰2，季云峰2，施之皓2，葉 舟1

積分制是很多體育項目運動員最常用的排名方式，根據運動員所參加的比賽和獲得名次大致可以反映運動員綜合水平排名，但此排名還受某些偶然因素影響，如比賽中關鍵球的運氣成分，因此運動員在某段時間內發揮穩定性與其排名可能有所差異，但對于重要賽事指定哪個運動員參加，教練則要綜合考慮運動員近期的發揮狀態，特別是發揮穩定性。針對乒乓球運動員控球穩定性無法定量描述的問題，通過自主設計的落點采集系統試驗獲得6名不同水平運動員接發球的落點數據，采用數理統計和分形理論方法分別計算落點的數學期望、方差、協方差、相關系數、Hurst指數和關聯維數，并提出定量評估運動員控球穩定性的參數，即關聯期望率。結果表明：數理統計和分形方法中的參數均不能單獨衡量運動員控球穩定性；落點的Hurst指數均介于0.5～1.0之間，具有長程正相關性，符合分形特征；提出的關聯期望率能較好地衡量運動員控球穩定性，值越大說明運動員控球越穩定。研究結果為量化乒乓球運動員的控球穩定性提供了理論基礎和實現途徑，同時也為教練根據不同技術特點的對手指派出戰隊員，此外，運動員本身還可根據自己控球的關聯期望率來合理訓練，以提高發揮的穩定性。

乒乓球；落點；穩定性；數理統計；分形；關聯期望率

速度、力量、落點、旋轉和線路5大要素共同決定擊球的時空特性[1-2]。學者們對乒乓球的研究大都基于5大要素，但受儀器設備和研究方法等限制，對其研究深入程度有所差異。隨著試驗器材的日趨先進和計算機仿真技術的快速發展，對速度、力量、旋轉和線路已開展了定量研究，但因乒乓球落點數據采集系統復雜且成本較高，國內外學者對落點的試驗研究相對較少。

乒乓球落點是指，球被擊出后第一次與球臺的接觸點[3]，乒乓球落點與其他要素之間聯系密切，理想的落點不僅可彌補力量不足的缺陷和增加速度快的威力，且可擴大對方移動范圍、緊抓對方弱點和壓制對方特長技術發揮，從而在比賽中更加主動，創造得分機會。

國內外眾多學者對乒乓球開展了研究，有研究[4]根據空氣動力學原理，數值求解得到乒乓球三維空間的飛行線路，且對比分析了溫度和空氣對飛行線路的影響；H.P.TANG等[5]采用不同擊球速度和角度回擊發球機發出的球，測速系統獲得乒乓球在運行過程中速度減小率，旨在比較新球與舊球的碰撞過程對比賽的影響；通過錄像觀察和數理統計等方法，從線路、落點對馬琳和馬龍比賽中接發球特征與規律進行對比研究[6]；采用調查訪問、試驗和數理統計等方法，對新型無縫塑料乒乓球與傳統賽璐珞乒乓球進行試驗，比較落點準確性、擊球速度和旋轉等要素，為未來進一步適應新球的技戰術訓練和發展提供理論依據和參考[7]；將乒乓球臺劃分為12個區域，提出了乒乓球12區落點訓練法，拓寬了傳統乒乓球落點訓練模式，并應用于教學試驗[8-9]；采用數理統計等方法，對中國隊與德國隊在第47屆世界乒乓球錦標賽男子團體決賽中的落點進行分析，對比得出亞洲和歐洲運動員落點有著明顯差異性，對新規則下提高擊球質量提出了針對性建議[10]；在新規則背景下，將球臺劃分為3個大區、15個小區，探索乒乓球戰術訓練的落點監控方法，并應用于教學試驗，要求學生根據不同戰術要求將球擊到相應的區域，便于直觀教學及擊球動作的定型，在提高戰術訓練質量、實戰能力方面優于常規方法[11]。Y.F.CHEN等[12]開發了一種由壓電薄膜傳感器精確定位乒乓球落點系統，并以國立虎尾科技大學的學生為研究對象。該系統可以準確檢測到落點位置，顯示對象的位置分布，確定對象的準確性（即平均偏差距離X軸和Y軸的中心位置）和標準偏差，在此基礎上可以進一步定量分析學生擊球落點的精確性和穩定性。R.G.MA和H.W.XING[13]基于落點識別設計了一套乒乓球智能訓練評估系統，采用目標跟蹤算法，結合濾波器箱和概率統計方法，提出了基于單目視覺的位置識別，具有時間復雜度低、精度高的優點。

由此可見，現有對乒乓球的研究大多基于速度、力量、旋轉和線路。對落點開展研究的學者一方面基于這一要素提出或改進訓練方法，旨在達到更加科學的訓練教學，提高運動員水平，但只是定性判斷訓練結果，并沒有檢驗運動員訓練成績的具體指標；另一方面，目前研究落點僅通過傳統的數理統計方法，過于單一，且大多只是在球臺上分區統計落點數量并進行教學與訓練，存在諸多不足。傳統的數理統計方法大多采用線性模擬，顯然忽略了混沌時間序列由確定系統產生的非線性動力系統的本質，而是把這種時間序列歸結為隨機噪聲。因此，采用傳統的數理統計方法模擬和預測這種時間序列往往會忽略許多重要信息[14]。

為此，本文采用課題組與上海體育學院合作設計的乒乓球落點采集系統，通過試驗獲得精確的落點數據，采用數理統計和分形理論對比研究不同水平運動員接發球落點，旨在探尋乒乓球運動員控球穩定性參數，以期為國內外衡量運動員水平提供理論參考。

1 落點數據采集

在體育學院教師隊伍中挑選一級運動員（從事乒乓球運動6年以上，平均年齡30.5歲），在學員隊伍中挑選二級運動員（乒乓球學習3年以上，平均年齡22歲），在非專業運動員中挑選業余選手（球齡2年以上，平均年齡18歲），每個等級中水平有所差異，在同一等級中分別挑選較好（+）和較差（-）的運動員，即有6名運動員（業余-、業余+、二級-、二級+、一級-和一級+）參加測試，落點數據采集系統見圖1。

圖1 乒乓球落點數據采集系統Figure1 Placement Data of Table Tennis Acquisition System

發球機型號為泰德V-989E，可發出無旋、上旋、下旋和左旋等9種球，調節范圍40°，速度為4～50 m/s；高速攝像機為索尼PXW-Z150，分辨率為4 K，120幀/s；落點區域為直徑為10 cm的圓，其圓心為目標落點，與球臺兩邊緣的距離均為20 cm；輔助成像鏡與球臺夾角為60°。

工作原理為：發球機以15 m/s的速度發出無旋球，運動員以落點區域的圓心為目標落點接發球，待球被擊回發球側球臺時，高速攝像機拍攝輔助成像鏡中的圖像，得到一系列接發球落點圖片，找到球與桌接觸時刻的圖片，以落點區域的圓心為坐標原點，直徑為比例尺換算為落點的實際坐標（見圖2）。

圖2 落點采集系統流程圖Figure 2 The Flow Chart of Placement Data Acquisition Ssystem

測試6名運動員接發球落點數見表1，實測落點坐標見圖3。

表1 落點數據Table1 The Data of Placement

圖3 不同水平運動員落點/mmFigure3 The Placement of Athletes of Different Levels/mm

2 數理統計方法

2.1 數學期望

數學期望是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和的平均。它是最基本的數學特征之一，反映隨機變量平均取值的大小。

2.2 方差

方差是各數據分別與其數學期望之差的和的平均數，它是衡量數據離散程度的參數，用來度量數據和其數學期望之間的偏離程度。

式中：E(X)和E(Y)分別為分量X和Y的數學期望。

2.3 協方差

協方差用于衡量2個變量的總體誤差。若分量X與Y相互獨立，則二者的協方差為0，這2個變量稱為不相關的，因此協方差是描述變量關系的統計參數。

對于協方差，常采用以下公式計算：

2.4 相關系數

協方差和相關系數均是描述X和Y之間相互關系的參數。相關系數是用以反映變量間相關關系密切程度的統計指標。

式中：σ(X)和σ(Y)分別為X，Y的均方差；ρXY＞0時，變量X和Y正相關；ρXY＜0時，變量X和Y負相關；ρXY=0時，則變量X和Y不相關。

3 分形理論與關聯維數

3.1 分形理論

非線性科學是一門研究非線性現象的革命性基礎科學，被譽為20世紀自然科學中的“三大革命之一”，與量子力學和相對論具有相同的地位[15]。

分形理論是非線性科學研究中十分活躍的一個分支[16]，可理解為局部和整體在某方面存在相似性，其數學基礎是分形幾何[17]。20世紀70年代中期，由MANDELBROT創立以來，分形理論無論是在數學基礎還是在應用方面都得到快速發展[18]。分形維數是定量描述分形系統的重要參數，它是用來衡量一個幾何集成或自然物體不規則和復雜程度的數[19]。常用的分形維數包括自相似維數、盒維數、信息維數、關聯維數、廣義維數和Lyapunov維數等[20]。其中，關聯維數能定量描述吸引子的幾何特征，對吸引子不均勻性反應敏感，能很好地反映吸引子動態結構[21]。

3.2 分形特征驗證

3.2.1 重標極差分析法 1951年，英國著名水文學家H.E.HURST提出重標極差分析法（Rescaled Range Analysis，R/S分析法）[22]。B.B.MANDELBROT和J.R.WALLIS[23]在理論上證實了此方法的準確性，且同A.BENASSI等[24]對其進行了補充和完善。R/S分析法基本思想表達為：

通過最小二乘法得到散點的擬合直線，該直線的斜率即為Hurst指數。

3.2.2 Hurst指數判定依據 R/S分析屬于非參數分析，特點是無需對數據序列做分布假定[25]。Hurst指數意義如下：（1）H＝0.5時，序列為獨立同分布的隨機序列，變量之間是相互獨立的，相應的相關系數為零，現在不會影響未來；（2）0≤H＜0.5時，時間序列表現為一種反持續性，變量之間是負相關的；（3）0.5＜H≤1.0時，時間序列具有狀態持續性，存在長程相關性，表現為分形時間序列。從理論上講，現有的變化將對后續變化產生持續影響。

3.3 關聯維數

3.3.1 相空間重構 N.H.PACKARD等[26]認為，從一個變量的時間序列可以重構出此變量的動力學系統的相空間。F.TAKENS[27]和R.MA?é[28]從理論上進一步證明了N.H.PACKARD的觀點，并提出了相空間維數的下界m≥2D+1。相空間重構理論的建立為混沌時間序列的預測奠定了堅實的理論基礎[21]。

1980年，N.H.PACKARD等[26]提出了2種相空間重構方法：坐標延遲法和導數重構法。導數重構法中數值微分的計算對誤差較敏感，因此選取坐標延遲法重構相空間如下：對落點時間序列x（ti）（i=1，2，…，n），將其延拓為m維相空間的相形分布，其中相點為共 有N-(m-1)τ個相點。式中：m為嵌入維數，即重構相空間的最小維數（整數）；τ為延遲時間。為了能在重構的相空間中刻畫原系統的性質，需合理確定m和τ。

（1）嵌入維數m的確定。在實際求取嵌入維數時，取值太小，則可能引起吸引子折疊導致發生自相交，相交區域內的小領域內可能會包括不同部分吸引子的點；理論上，嵌入維數偏大是可行的，但實際上會增加吸引子幾何不變量的計算工作量。常用的嵌入維數的選取方法包括偽最近鄰法[29]、Cao方法[30]和偶幾何法[31]等。

（2）延遲時間τ的確定。延遲時間太小，無法提供2個獨立的坐標分量；延遲時間太大，則2坐標在統計意義上又是完全獨立的。延遲時間計算方法包括自相關法[32]、平均位移法[32]和互信息法[33]等。

（3）考慮到以上求取最佳嵌入維數（延遲時間）的方法都需要先確定最佳延遲時間（嵌入維數），即把嵌入維數和延遲時間分開考慮存在不足。1999年，H.S.KIM等[34]提出了同時求取這2個參數的C-C法，同時證明嵌入維數和延遲時間在整體上存在乘積關系；2003年，M.B.ATAEI等[35]進一步證明了二者不是相互獨立的，故采用C-C法確定嵌入維數和延遲時間。

3.3.2 G-P算法 在相空間重構基礎上，P.GRASSBERGER和I.PROCACCIA[36]提出了基于時間序列直接計算關聯維數的G-P算法。設有2個相點：

其歐氏距離εij為：

給定一個距離r，檢驗rij有多少落在以r為半徑的圓內，即：

式中：N′=N-(m-1)r，且θ是Heaviside函數，即：

數據管理、預警管理與預警發布管理3個模塊安裝在服務器端，由于交互性較強，采用B/S架構，基于ASP.NET的MVC模式設計。預警分析引擎也安裝在服務器端，由于不需要進行詳細的配置，采用C/S架構。服務器端實現遠程數據管理、預警規則設定、預警分析處理等功能，在接收到實時數據后，進行分析計算，判別是否超警，同時生成預警消息，推送至客戶端。

適當選取r，存在如下關系：

式中：D為關聯維數。

G-P算法流程圖見圖4。

圖4 G-P算法流程圖Figure4 Flow Chart of G-P Algorithm

4 結果與分析

4.1 數理統計分析

通過課題組與上海體育學院合作設計的乒乓球落點數據采集系統，獲得6名不同水平運動員接發球落點數據，采用數理統計方法計算其數學期望、方差、協方差和相關系數。

二維離散型變量的數學期望是描述各個落點到目標落點之間距離的加權平均值，與落點的聯合概率分布有關。一般而言，運動員水平越高，接發球落點的數學期望越小。數據表明：6名不同水平運動員接發球落點的數學期望總體符合運動員水平越高，其值越小的規律；業余+的數學期望比二級-稍小，是因為二級-的聯合概率分布不如業余+集中，且有幾個落點遠遠偏離目標落點，致使其數學期望略大于業余+（見表2，圖5（a））。

方差是數據與數學期望相差的度量值，用來衡量數據的離散程度，與分量X和Y的平均值有關。6名運動員落點的方差曲線并未呈現規律性，不能衡量乒乓球運動員控球穩定性（圖5（b））。

協方差和相關系數都是描述X和Y之間相互關系的參數。協方差衡量2個變量的總體誤差；相關系數反映變量間關系密切程度。6名運動員落點的協方差和相關系數均不為零，說明落點分量X和Y之間不是相互獨立的，不能分開單獨研究。6名運動員落點的協方差和相關系數也無法體現出規律，故無法衡量運動員控球穩定性（見圖5（c），圖5（d））。

表2 落點統計參數Table2 The Statistical Parameters of Placement

圖5 落點統計參數曲線圖Figure5 The Statistical Parametric Curves of Placement

4.2 分形理論分析

4.2.1 Hurst指數 6名運動員接發球落點的Hurst指數均介于0.5～1.0，落點時間序列具有狀態持續性，存在長程相關性，符合分形特征，且Hurst指數越接近1.0，序列的持續性程度就越強，反之越弱（見表3）。

表3 落點的Hurst指數Table3 The Hurst Exponent of Placement

4.2.2 關聯維數 關聯維數計算過程首先采用坐標延遲法對落點時間序列進行相空間重構，此過程考慮到數理統計方法未能涉及的落點順序問題，能反映數理統計方法不能表達出的內在信息。在相空間重構基礎上，采用G-P算法計算不同嵌入維數下雙對數ln(Cr)-ln(r)曲線。

隨著嵌入維數從2增加到最佳嵌入維數12，6名運動員落點的雙對數ln(Cr)-ln(r)曲線斜率逐漸增大，直到最佳嵌入維數趨于穩定，此時斜率為關聯維數D（見圖6）。關聯維數隨嵌入維數變化曲線見圖7，6名運動員接發球落點的關聯維數見表4。

本研究雖然符合運動員水平越高，關聯維數越大的趨勢，但關聯維數描述的只是落點與落點之間的規律，與所選目標落點無關，如相同的一組落點在靠近和遠離目標落點時，二者關聯維數是相等的。不失一般性，僅關聯維數亦不能描述運動員接發球控球穩定性。

圖6 不同嵌入維數下雙對數lnC(r)-lnr散點圖Figure6 Double Logarithmic Scatter Plotln(Cr)-ln(r)With Different Embedding Dimension

圖7 嵌入維數m與關聯維數D關系曲線Figure7 Curve Between Embedding Dimension m and Correlation Dimension D

表4 落點的關聯維數DTable 4 Correlation Dimension D of the Placement

4.2.3 關聯期望率 結合關聯維數和數理統計方法中數學參數，反映運動員接發球控球穩定性。為解決關聯維數不能區分相同的一組落點在靠近和遠離目標落點時二者關聯維數是相等的問題，在數理統計參數中發現數學期望能很好地描述落點偏離目標點遠近問題，嘗試找出關聯維數和數學期望之間的關系來描述運動員接發球控球穩定性。一般而言，運動員控球穩定性越好，其關聯維數越大，數學期望越小，故定義關聯期望率σ為關聯維數D與數學期望E之比：

式中：D為落點的關聯維數；E(X,Y)為落點的數學期望。

數據表明，隨著運動員水平越高，其關聯期望率σ越大，控球穩定性越好（見表5，圖8）。

表5 落點的關聯期望率（×10-2）Table5 The Rate of Correlation Dimension and Mathematical Expectation of Placement（×10-2）

圖8 落點的關聯期望率曲線圖Figure8 The Curve of the Rate of Correlation Dimension and Mathematical Expectation of Placement

5 結論與建議

5.1 結論

本文通過試驗測得6名不同水平乒乓球運動員接發球落點數據，采用數理統計和分形方法分別計算各組落點的數學期望、方差、協方差、關聯維數、Hurst指數和關聯維數，結論：（1）傳統數理統計方法視乒乓球落點數據為隨機的，單獨的統計參數不足以衡量運動員控球穩定性；（2）分形方法中的關聯維數也不能單獨用于衡量運動員控球穩定性；（3）落點的Hurst指數均介于0.5～1.0之間，具有長程正相關性，符合分形特征；（4）關聯期望率（關聯維數與數學期望之比）能較好地反映運動員控球穩定性，其值越大說明運動員控球越穩定。

5.2 建議

目前，乒乓球世界排名采用的是積分制，雖能大致反映運動員綜合水平排名，但此排名還受某些偶然因素影響，如運動員因傷病不能參加比賽，決賽中關鍵球的運氣成分，因此運動員發揮穩定性與世界排名可能不一致。文中提出的關聯期望率能較好地反映運動員控球穩定性，在團體賽中可根據不同技術特點的對手教練指派出戰隊員。此外，運動員本身還可根據自己控球的關聯期望率來合理訓練，以提高發揮的穩定性。

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Experiment and Theoretical Research on the Stability of Table Tennis Players

ZHANG Junwei1，LI Chun1，DING Qinwei1，REN Jie2，JI Yunfeng2，SHI Zhihao2，YE Zhou1
（1.School of Energy and Power Engineering，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China；2.China Table Tennis College，Shanghai University of Sport，Shanghai 200438，China）

Point redemption scheme is the most commonly used ranking method for many sports athletes.It is based on athletes participating in the competi?tion and get ranked，roughly reflects the overall level of athletes ranking，but this ranking is also affected by some accidental factors，such as the key ball in the game of luck.The athletes in a certain period of time play stability and may be different for ranking，but the important events which sent athletes to the prob?lem，coach need to consider the athletes play recently，especially its stability.Focus on the problem of cannot quantitative describe the stability of table tennis athletes，the placement data of 6 different level athletes obtained through the experiment by the placement acquisition system designed by ourselves，then，mathematical expectation，variance，covariance，correlation coefficient，Hurst exponent and correlation dimension calculated by using mathematical statistics and fractal methods，a parameter for quantitative evaluating the stability of the athletes is put forward-the rate of correlation dimension and mathematical ex?pectation.The results showed that the parameters of mathematical statistics and fractal method cannot measure the stability of athletes separately.The Hurst exponent of placement is between 0.5～1.0，which has a long range positive correlation，and with fractal characteristics.The rate of correlation dimension and mathematical expectation be put forward can describe the stability of athletes，the greater of the rate of correlation dimension and mathematical expectation，the more stable of the athletes.The research results provide a theoretical basis and a way to quantify the stability of table tennis athletes.At the same time，it also assigns players for the opponent according to different technical characteristics.In addition，the athlete can also train himself according to the expectation rate of the ball control，so as to improve the stability of play.

table tennis；placement；stability；mathematical statistics；fractal；rate of correlation dimension and mathematical expectation

G 846

A

1005-0000（2017）02-117-06

10.13297/j.cnki.issn1005-0000.2017.02.005

2017-01-05；

2017-03-15；錄用日期：2017-03-16

國家自然科學基金項目（項目編號：51676131；51176129）

張俊偉（1993-），男，江西樂平人，在讀碩士研究生，研究方向為分形學與體育應用。

1.上海理工大學能源與動力工程學院，上海200093；2.上海體育學院中國乒乓球學院，上海200438。