尋找軸對稱的本質

劉 躍

尋找軸對稱的本質

劉 躍

本章內容在近幾年中考試卷中重點考查軸對稱的概念和性質，同學們在解決問題過程中要抓住問題本質，掌握方法和技巧去解決問題.

一、中考熱點

熱點1：利用概念解決問題.

例1 （2016·深圳）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（ ）.

【解析】由軸對稱圖形的概念易得結果是B.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

例2 如圖1，在正方形方格中，陰影部分是7個涂黑的小的正方形所形成的圖案，再將方格內空白的1個小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形的方法有 種？

【解析】通過觀察陰影部分和正方形網格可以確定現有圖形是軸對稱圖形，從而可以確定對稱軸是正方形網格的一條對角線，進而確定所要涂黑的小正方形在正方形網格的這條對角線上，得到答案有3種.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，利用軸對稱圖形概念結合分類討論思想解決問題.

熱點2：利用軸對稱相關性質解決問題.

例3 （2016·南充）如圖2，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，下列判斷錯誤的是（ ）.

圖1

圖2

A.AM=BM B.AP=BN

C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM

【解析】根據直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，得到點A與點B對應，根據軸對稱的性質即可得到結論.選擇B.

【點評】本題考查了軸對稱的性質，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵.

例4 （2016·河北）如圖3，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（ ）.

圖3

A.1個 B.2個 C.3個 D.3個以上

【解析】如圖4，在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要證明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等邊三角形，由此即可得出正確結論D.

圖4

【點評】本題考查等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的性質等知識，解題的關鍵是正確添加輔助線，構造全等三角形，屬于中考常考題型.

熱點3：利用軸對稱性質作圖.

例5 （2013·南寧）尺規：把圖5（實線部分）補成以虛線l為對稱軸的軸對稱圖形，你會得到一只美麗蝴蝶的圖案（不用寫作法、保留作圖痕跡）.

圖5

【解析】所作圖形如圖6：

圖6

【點評】關于作軸對稱圖形的步驟，一般是先作出對稱點，然后連接對稱點得到對稱圖形.

二、解題方法和技巧

方法1：轉化.

例6 如圖7所示，已知等腰三角形ABC，AB邊的垂直平分線交AC于D，AB=AC=8，BC=6，求△BDC的周長.

圖7

【解析】利用線段垂直平分線的性質可以得到AD=BD，從而得到△BDC周長為14.

【點評】本題的思路主要是將線段進行轉化，把三角形周長轉化為已知線段的和，這種轉化的思想是解決數學問題的重要思想方法.

例7 如圖8所示，需要在高速公路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到A，B兩個城市的距離之和最小，請作出機場的位置.

圖8

【分析】作法：1.作A點關于公路的對稱點A′；2.連接A′B交公路于點C，則C點就是所求作的機場位置.

【點評】本題通過作點A關于直線的對稱點A′，把AC+BC的和的最小問題轉化為A′、B兩點之間線段最短的問題.

【變式】如圖9所示，在一條河的兩岸有兩個村莊，現要在河上建一座小橋，橋的方向與河流垂直，設河的寬度不變，試問：橋架在何處，才能使A到B的距離最短？

【解析】如圖10，設橋為PD，雖然A、B兩點在河兩側，但連接AB的線段不垂直于河岸.關鍵在于使AP+BD最短，但AP與BD未連起來，要用線段公理就要想辦法使P與D重合起來，利用平行四邊形的特征可以實現這一目的，所以設B′B平行且等于PD，連接PB′，當A、P、B′在同一直線上時，AP+BD最短.

圖9

圖10

【點評】此題考查了軸對稱最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，解決“造橋選址”的簡單的實際問題.但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題.此類題往往需要利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉化，以后還會學習一些線段轉化的方法.

方法2：拼圖.

例8 如圖11所示，一批廢料都是等腰三角形的小鋼板，其中AB=AC，現要把這種廢鋼板切割后再焊接成兩種不同規格的矩形，每種矩形的面積正好等于該三角形的面積，每塊切割的次數最多兩次，切割的損失忽略不計.（1）請你設計兩種不同的切割焊接方案，并且用簡要的文字加以說明.（2）若要把該三角形廢料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），則該三角形應滿足什么條件？

圖11

【分析】（1）方案1、方案2如圖12、圖13所示：

圖12

圖13

方案2中M、N為AB、AC中點，MK⊥BC.

（2）若要把該三角形只切割一次后焊接成正方形零件，則該三角形應為等腰直角三角形.

【點評】本題創新之處在于利用等腰三角形的對稱性質進行切割后拼接成矩形，這種利用軸對稱的性質解決實際生活中一些最優化方案的設計問題是中考的熱點問題.

軸對稱在生活中隨處可見，中考題更多的是把軸對稱知識綜合到幾何問題和函數問題中，熟練掌握軸對稱的相關性質是學好后續知識的基礎.

（作者單位：江蘇省常州市新北區薛家中學）