這個三角形是等腰直角三角形嗎？

南京市金陵中學仙林分校中學部九（11）班 江博熠

這個三角形是等腰直角三角形嗎？

南京市金陵中學仙林分校中學部九（11）班 江博熠

在學習軸對稱圖形的時候，老師跟我們講了如何在一個等腰直角三角形內構造一個新的等腰直角三角形，我聽完很感興趣.于是我也構思了一個等腰三角形問題，但卻無法證明，莫非我構思的新三角形不是等腰直角的？我靜下心來，想到老師曾說過，要證明結論不成立，正面證明比較困難，往往要用到反證法.所以我決定嘗試一下.

首先，我把問題又重新梳理了一遍：

如圖1，在直角△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，且P為CD中點.EP∥AC，作PE的垂直平分線QO.那么△EQP是等腰直角三角形嗎？如果是，請證明.

圖1

第一步：證明△EQP是等腰三角形.∵QO垂直平分EP，∴QE＝QP.

第二步：過點O作BC平行線FG交兩直角邊于F、G（如圖2），由于EP//AC，易證△EFO、△QOG、△AFG均為等腰直角三角形.

第三步：如圖2.

圖2

①設AD與FG交于Y點，假如△PQE為等腰直角三角形，那么∠QEO=45°，又因為 QO⊥PE，∴∠EQO=45°,∴∠OEQ=∠OQE=45°，OQ=OE.

②由于∠AEF 為平角，可知：∠AEQ=45°，∵∠BAC=90°，∴∠AQE=45°，所以∠AEQ=∠AQE=45°,因此AE=AQ.

③根據全等的證明容易知道，△EFO、△QOG、△AEQ、△OEQ都是等腰直角三角形且彼此全等.∴FO=GO,也就是說點O和點Y重合.

第四步：由于Y點與O點重合（如圖3），所以△OPD為等腰直角三角形.因為點P為CD中點，設PC=DP=1；由于 PE//AC，∴∠OPD=∠C=45°；易知△ACD、△ODP均為等腰直角三角形，所以AD=CD=2，OD=AO=1.

第五步：如圖3，在△AEO中，EO＜AO，∴EO＜1.同時在△ODP中，OP＞OD，∴OP＞1.

圖3

所以OP＞1＞OE，因此點O不是線段PE的中點，和問題的條件矛盾.

教師點評：江博熠同學構思了如圖的一個等腰△EQP，但是△EQP是不是直角的呢？他經過長時間的思考沒證明出來，于是他改變主意：莫非△EQP不是等腰直角三角形吧！要證明結論不成立，正面證明比較困難，我們往往要用到反證法，江同學的這個思路我們要學習.江博熠同學剛開始思考的時候有不少漏洞，但他能靜下心來，把條件梳理清楚，用理性的思考解決了問題.他的經歷也告訴我們：思想和方法往往不是一蹴而就的，而是在深思熟慮之后才能夠逐步產生.

（指導教師：郝四柱）