“三數”求解大揭秘

陳 剛

“三數”求解大揭秘

陳 剛

通過學習，我們知道“三數”指平均數、中位數、眾數，分別反映了數據的平均水平、居中水平、集中水平，是人們對數據分析后做出合理決策的依據.確定一組數據的“三數”是中考的必考內容，根據它們各自的不同含義，其確定方法也不一樣.同時，掌握其中的數學思想，更能助力同學們在數學的大海上遠航.

方法篇

一、公式“算”出平均數

平均數是“算”出來的.由于n個數據x1，x2，…，xn的平均數x與每個數據大小都有關，因此，確定一組數據的平均數需要通過公式x1+x2+…+xn）進行計算.

例1 下表是對某學校男子足球隊隊員的年齡統計，則他們的平均年齡是____.

【解析】根據平均數的求法，用所有年齡的和除以總人數即可.

【點評】此題主要考查了平均數的求法，相對簡單，細心計算即可得出答案.要注意當一組數據中有較多數重復出現時，應用加權平均數公式計算.

二、大小“排”出中位數

中位數是“排”出來的.由于一組數據的中位數與最大、最小的數據無關，因此確定一組數據的中位數只要將這組數據按照順序（由小到大或由大到小）排列.此時，位于最中間的數據若只有一個，則該數即為這組數據的中位數；若有兩個，則中位數是這兩個數據的平均數.

例2 佳和中學生物興趣小組調查了本地區幾棵古樹的生長時間，記錄數據如下（單位：年）：200，220，240，210，200，這組數據的中位數是____.

【解析】將這5個數按由小到大的順序排列為：200，200，210，220，240，處于最中間位置的是210，所以這組數據的中位數是210.

【點評】確定n個數據的中位數時，先按大小將各數據依次排列，然后確定位于最中間的一個或兩個數據.當n為奇數時，最中間一個數是第個；當n為偶數時，最中間兩個數分別是第和第（+1）個.

三、拋頭露面“數”眾數

眾數是“數”出來的.由于眾數是指某組數據中出現次數最多的數，所以確定眾數時，只要數一數每個數據出現的次數，保留出現次數最多的數即可.

例3 數據1，6，8，5，8，6，0的眾數是____.【解析】該組數據中0、1、5均出現一次，6、

8均出現兩次.

由于6、8出現次數最多，所以該組數據的眾數是6和8.

【點評】確定眾數時要注意兩點：①不要錯將數據出現的次數當成眾數；②眾數有時不止一個，不要數漏.

思想篇

一、方程思想

例1 一組數據4、x、5、10、11的平均數為7，則這組數據的眾數是 .

【解析】由題意得4+x+5+10+11=7×5，解得x=5，所以這組數據為4、5、5、10、11，其眾數為5.

二、整體思想

例2 有從小到大依次排列的9個數，其平均數為30，若其前5個數的平均數為20，后5個數的平均數為41，試求這組數據的中位數.

【解析】顯然根據題目中的三個條件要直接求出這九個數是不可能的，但如果把前4個數看作一個整體，后4個數也看作一個整體，可設前4個數的和為a，后4個數的和為b，中位數（即中間數）為x.

由題意可得a+x=20×5，b+x=41×5，

則a=100-x，b=205-x.

因為a+x+b=30×9，

所以100-x+x+205-x=270，x=35.

即中位數為35.

三、分類思想

例3 陳老師想對同學們的打字能力進行測試，他將全班同學分為4個小組.經統計，這4個小組平均每分鐘打字的個數如下：100，80，x，100.已知這組數據的中位數與平均數相等，那么x的值為____.

【解析】要確定中位數，就要先把這4個數進行排序，而我們不知道x處于什么位置，因此要利用分類思想.

（1）當x≥100時，這組數據為80，100，100，x，中位數是100.

根據中位數與平均數相等，得80+100+x+100=100×4，解得x=120.

綜上所述，x的值為120或80.

四、數形結合思想

例4 某射擊小組有20人，教練根據他們某次射擊的數據繪制成條形統計圖，則這組數據的眾數是____.

【解析】根據條形統計圖可知，環數為5，6，7，8，9，10的人數依次為：1，2，7，6，3，1，其中環數7出現了7次，次數最多，即為這組數據的眾數.

（作者單位：江蘇省宿遷市泗洪縣第一實驗學校）