“三數(shù)”求解大揭秘

陳 剛

“三數(shù)”求解大揭秘

陳 剛

通過學(xué)習(xí)，我們知道“三數(shù)”指平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，分別反映了數(shù)據(jù)的平均水平、居中水平、集中水平，是人們對數(shù)據(jù)分析后做出合理決策的依據(jù).確定一組數(shù)據(jù)的“三數(shù)”是中考的必考內(nèi)容，根據(jù)它們各自的不同含義，其確定方法也不一樣.同時，掌握其中的數(shù)學(xué)思想，更能助力同學(xué)們在數(shù)學(xué)的大海上遠航.

方法篇

一、公式“算”出平均數(shù)

平均數(shù)是“算”出來的.由于n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)x與每個數(shù)據(jù)大小都有關(guān)，因此，確定一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)需要通過公式x1+x2+…+xn）進行計算.

例1 下表是對某學(xué)校男子足球隊隊員的年齡統(tǒng)計，則他們的平均年齡是____.

【解析】根據(jù)平均數(shù)的求法，用所有年齡的和除以總?cè)藬?shù)即可.

【點評】此題主要考查了平均數(shù)的求法，相對簡單，細(xì)心計算即可得出答案.要注意當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有較多數(shù)重復(fù)出現(xiàn)時，應(yīng)用加權(quán)平均數(shù)公式計算.

二、大小“排”出中位數(shù)

中位數(shù)是“排”出來的.由于一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與最大、最小的數(shù)據(jù)無關(guān)，因此確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只要將這組數(shù)據(jù)按照順序（由小到大或由大到小）排列.此時，位于最中間的數(shù)據(jù)若只有一個，則該數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；若有兩個，則中位數(shù)是這兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù).

例2 佳和中學(xué)生物興趣小組調(diào)查了本地區(qū)幾棵古樹的生長時間，記錄數(shù)據(jù)如下（單位：年）：200，220，240，210，200，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是____.

【解析】將這5個數(shù)按由小到大的順序排列為：200，200，210，220，240，處于最中間位置的是210，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是210.

【點評】確定n個數(shù)據(jù)的中位數(shù)時，先按大小將各數(shù)據(jù)依次排列，然后確定位于最中間的一個或兩個數(shù)據(jù).當(dāng)n為奇數(shù)時，最中間一個數(shù)是第個；當(dāng)n為偶數(shù)時，最中間兩個數(shù)分別是第和第（+1）個.

三、拋頭露面“數(shù)”眾數(shù)

眾數(shù)是“數(shù)”出來的.由于眾數(shù)是指某組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以確定眾數(shù)時，只要數(shù)一數(shù)每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，保留出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即可.

例3 數(shù)據(jù)1，6，8，5，8，6，0的眾數(shù)是____.【解析】該組數(shù)據(jù)中0、1、5均出現(xiàn)一次，6、

8均出現(xiàn)兩次.

由于6、8出現(xiàn)次數(shù)最多，所以該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6和8.

【點評】確定眾數(shù)時要注意兩點：①不要錯將數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)當(dāng)成眾數(shù)；②眾數(shù)有時不止一個，不要數(shù)漏.

思想篇

一、方程思想

例1 一組數(shù)據(jù)4、x、5、10、11的平均數(shù)為7，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 .

【解析】由題意得4+x+5+10+11=7×5，解得x=5，所以這組數(shù)據(jù)為4、5、5、10、11，其眾數(shù)為5.

二、整體思想

例2 有從小到大依次排列的9個數(shù)，其平均數(shù)為30，若其前5個數(shù)的平均數(shù)為20，后5個數(shù)的平均數(shù)為41，試求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【解析】顯然根據(jù)題目中的三個條件要直接求出這九個數(shù)是不可能的，但如果把前4個數(shù)看作一個整體，后4個數(shù)也看作一個整體，可設(shè)前4個數(shù)的和為a，后4個數(shù)的和為b，中位數(shù)（即中間數(shù)）為x.

由題意可得a+x=20×5，b+x=41×5，

則a=100-x，b=205-x.

因為a+x+b=30×9，

所以100-x+x+205-x=270，x=35.

即中位數(shù)為35.

三、分類思想

例3 陳老師想對同學(xué)們的打字能力進行測試，他將全班同學(xué)分為4個小組.經(jīng)統(tǒng)計，這4個小組平均每分鐘打字的個數(shù)如下：100，80，x，100.已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等，那么x的值為____.

【解析】要確定中位數(shù)，就要先把這4個數(shù)進行排序，而我們不知道x處于什么位置，因此要利用分類思想.

（1）當(dāng)x≥100時，這組數(shù)據(jù)為80，100，100，x，中位數(shù)是100.

根據(jù)中位數(shù)與平均數(shù)相等，得80+100+x+100=100×4，解得x=120.

綜上所述，x的值為120或80.

四、數(shù)形結(jié)合思想

例4 某射擊小組有20人，教練根據(jù)他們某次射擊的數(shù)據(jù)繪制成條形統(tǒng)計圖，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是____.

【解析】根據(jù)條形統(tǒng)計圖可知，環(huán)數(shù)為5，6，7，8，9，10的人數(shù)依次為：1，2，7，6，3，1，其中環(huán)數(shù)7出現(xiàn)了7次，次數(shù)最多，即為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

（作者單位：江蘇省宿遷市泗洪縣第一實驗學(xué)校）