透視概率考點 剖析中考真題

吳粉連

透視概率考點 剖析中考真題

吳粉連

中考是考查初中三年所學知識的最重要的考試，有些必考題會涉及九年級上學期學習的“等可能條件下的概率”.對于本章中的重要考點和難點，我們將通過對中考考題的解析一一呈現(xiàn).

一、考點透視

1.常見題型：填空題、選擇題、解答題.

2.考查內容：用列表法、樹狀圖求概率；用概率評判游戲的公平性.

3.高頻考點：

（1）突出對游戲公平試題的考查；

（2）突出對操作試驗型試題的考查.

4.命題趨勢：近幾年中考中，選擇題、填空題呈減少趨勢，以解答題為主，總體趨向知識綜合.

二、真題剖析

考點一 概率的計算

例1 （2015·淮安）某種產品共有10件，其中有一件是次品，現(xiàn)從中任意抽取一件，恰好抽到次品的概率是 .

【解析】因為從中任意抽出1件共有10種等可能的結果，其中抽到次品的有一種結果，則抽到次品的概率為

【點評】本題考查了等可能條件下的概率的計算，解題的關鍵是掌握概率的意義，列舉出所有等可能的結果.

考點二 求概率的方法

知識點一：用列表法計算兩步試驗的概率.

例2 （2017·泰興一模）有兩個可以自由轉動的轉盤，被均勻地分成了三等份，并在里面標上數(shù)字，如圖所示，分別轉動兩個轉盤，當轉盤停止轉動以后，將兩個指針所指的數(shù)字相乘（若指針停在等分線上，則重新轉，直到符合條件為止），用列表法分別求出乘積是3的倍數(shù)和5的倍數(shù)的概率.

解：每次游戲可能出現(xiàn)的所有結果列表如下：

表格中共有9種等可能的結果，則數(shù)字之積為3的倍數(shù)的有5種，其概率為數(shù)字之積為5的倍數(shù)的有3種，其概率為.

【點評】一次試驗涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多，為了不重復、不遺漏列出所有可能的結果，通常采用列表法分析所有等可能的結果，當結果要求進行數(shù)的和、積等運算時，用列表法顯得更加清晰、明確.

知識點二：畫樹狀圖求多步試驗的概率.

例3 （2015·常州）甲、乙、丙三位學生進入了爭奪“校園朗誦比賽”冠軍、亞軍、季軍的決賽.他們將通過抽簽來決定比賽的出場順序.

（1）求甲第一個出場的概率；

（2）求甲比乙先出場的概率.

【解析】（1）誰第一個出場共有三種可能，所以甲第一個出場的概率為

（2）用樹狀圖表示出所有可能性，注意與丙的出場順序無關.

解：（1）甲、乙、丙三位學生都有可能第一個出場，因此共有三種等可能的結果，所以甲第一個出場的概率為

（2）用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結果：

共有6種等可能的情況，

其中甲比乙先出場的共有3種，

【點評】列表法適合于兩步完成的事件，而畫樹狀圖適合兩步或者兩步以上完成的事件.

考點三 游戲中的公平性問題

例4 （2016·泉州）A、B兩組卡片共5張，A中三張分別寫有2、4、6，B中兩張分別寫有3、5，它們除了數(shù)字外沒有任何區(qū)別.

（1）隨機地從A中抽取一張，求抽到數(shù)字為2的概率；

（2）隨機地分別從A、B中各抽取一張，請你用畫樹狀圖或列表法表示所有等可能的結果.現(xiàn)制定這樣一個游戲規(guī)則：若所選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，請問這樣的游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平嗎？為什么？

【解析】（1）根據(jù)概率的定義列式即可；

（2）畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率的意義，分別求出甲、乙獲勝的概率從而解決問題.

（2）由題意畫出樹狀圖：

一共有6種等可能的情況，甲獲勝的情況有4種，乙獲勝的情況有2種，

所以這樣的游戲規(guī)則對甲、乙雙方不公平.

【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷，首先要計算每個事件發(fā)生的概率，然后進行比較，概率相等就公平，否則就不公平.

【拓展】你能修改游戲規(guī)則，使游戲公平嗎？

調整規(guī)則（答案不唯一）：

方法一：如果所選出的兩數(shù)之和大于8則甲獲勝，否則乙獲勝；

方法二：如果兩數(shù)之積為3的倍數(shù)，則甲得到1分，否則乙得2分.

【點評】在游戲規(guī)則不公平的前提下，要使游戲公平，修改規(guī)則主要從兩個方面考慮：①使游戲雙方獲勝的概率相同；②采用得分法，使比賽雙方得分相同.

考點四 操作問題

例5 （2015·鎮(zhèn)江）活動1：在一只不透明的口袋中裝有標號為1，2，3的3個小球，這些球除標號外都相同，充分攪勻，甲、乙、丙三位同學按丙→甲→乙的順序依次從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，計算甲勝出的概率.（注：丙→甲→乙表示丙第一個摸球，甲第二個摸球，乙最后一個摸球）

活動2：在一只不透明的口袋中裝有標號為1，2，3，4的4個小球，這些球除標號外都相同，充分攪勻，請你對甲、乙、丙三名同學規(guī)定一個摸球順序： → → ，他們按這個順序從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，則第一個摸球的同學勝出的概率等于 ，最后一個摸球的同學勝出的概率等于 .

猜想：在一只不透明的口袋中裝有標號為1，2，3，…，n（n為正整數(shù)）的n個小球，這些球除標號外都相同，充分攪勻，甲、乙、丙三名同學從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，猜想：這三名同學每人勝出的概率之間的大小關系.

你還能得到什么活動經驗？（寫出一個即可）

【解析】活動1：利用畫樹狀圖分析出所有等可能的結果，再利用等可能條件下概率的計算公式，可求出甲勝出的概率.

活動2：任意規(guī)定甲、乙、丙三人的摸球順序，按活動1的方法求出各人勝出的概率.

猜想：根據(jù)前面兩個活動，從得到的活動經驗中推斷這種不放回的摸球抽簽是否公平.

解：用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結果：

（1）以上共有6種等可能的結果，其中甲勝出的結果有2種，故P（甲勝）=

對三位同學規(guī)定一個摸球順序（答案不唯一）：甲→乙→丙，則第一個摸球的甲同學勝出的概率為最后一個摸球的丙同學勝出的概率也等于

【點評】本題是一道求概率為主的實踐活動題，同時也是規(guī)律探究題，解答本題的關鍵在于列舉出所有可能的結果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能結果，通常采用樹狀圖.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)華羅庚實驗學校）