方差生活秀

王克美

方差生活秀

王克美

數學源于數學，生活中處處有數學.本文通過生活中的一道中考題的解析與變式，探究平均數與方差解決實際問題的思路與策略，以幫助同學們找尋和感悟通過建立數學模型解決此類問題的一般思路與方法.

一、從生活中來

為了選拔一名同學參加某市中學生射擊競賽，某校對甲、乙兩名同學的射擊水平進行了測試，結果如下：

現要挑選一名射擊手參加比賽，若你是教練，你認為挑選哪一位比較適宜？為什么？

【解析】我們先來算一算甲和乙命中環數的平均數吧：

平均數一樣，那怎么比較兩人成績的好壞呢？我們來畫折線圖直觀地比較一下.

甲、乙兩人的平均成績相同，但是甲每次的射擊成績都接近平均數8，而乙每次的射擊成績偏離平均數較大.在評價數據的穩定性中，我們通常將各數據偏離平均數的波動程度作為指標.

直接計算射擊成績與平均成績偏差的和，發現它們是一樣的.

甲射擊成績與平均成績的偏差的和（7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）=0.

乙射擊成績與平均成績的偏差的和（10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=0.

現在我們再計算一下甲、乙兩人每次射擊成績與平均成績的偏差的平方和.

甲：（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2=2.

乙：（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2=16.

你發現了甲、乙的區別了嗎？

上述各偏差的平方和的大小還與什么有關？

——與射擊次數有關！

可用各偏差平方和的平均數來衡量數據的穩定性，一般地，各數據與它們的平均數的差的平方的平均數叫做這組數據的方差，公式為：

特別地：如果方差與標準差為零，說明數據都沒有偏差，即每個數都一樣.

二、到生活中去

王大伯幾年前承辦了甲、乙兩片荒山，各栽100棵楊梅樹，成活98%，現已掛果，經濟效益初步顯現，為了分析收成情況，他分別從兩山上隨意各采摘了4棵樹上的楊梅，每棵的產量如折線統計圖所示.

（1）分別計算甲、乙兩山樣本的平均數，并估算出甲乙兩山楊梅的產量總和；

（2）試通過計算說明，哪個山上的楊梅產量較穩定？

【解析】（1）因為甲、乙兩山的樣本的平均數相等，都為40kg，又由甲、乙兩山各栽100棵楊梅樹，成活率為98%，進而得出甲、乙兩山楊梅的產量總和約為2×100×98%×40=7840（kg）；

（2）對標準差的值進行比較，得出乙山的楊梅產量較穩定.

三、在生活中深化

某社區準備在甲、乙兩位射箭愛好者中選出一人參加集訓，兩人各射了5箭，他們的總成績（單位：環）相同，小宇根據他們的成績繪制了如下尚不完整的統計圖表，并計算了甲成績的平均數和方差（見小宇的作業）.

甲、乙兩人射箭成績統計表

（1）a=___，x乙=___；

（2）請完成圖中表示乙成績變化情況的折線；

（3）①觀察圖，可看出___的成績比較穩定（填“甲”或“乙”）.參照小宇的計算方法，計算乙成績的方差，并驗證你的判斷.

②請你從平均數和方差的角度分析，誰將被選中.

【解析】（1）由題意得：甲的總成績是：9+4+7+4+6=30，

則a=30-7-5-7-7=4，x乙=30÷5=6，

故答案為：4，6.

（2）根據（1）中所求得出a的值進而得出折線圖如圖所示：

②因為兩人成績的平均水平（平均數）相同，根據方差得出乙的成績比甲穩定，所以乙將被選中.

（作者單位：江蘇省宿遷市泗洪縣第一實驗學校）

（3）①觀察圖，可看出乙的成績比較穩定，故答案為：乙；