高中數學核心概念教學案例探討——以《橢圓的標準方程》教學為例

沈 瑜

(江蘇省常熟市滸浦高級中學，江蘇 蘇州 215500)

高中數學核心概念教學案例探討——以《橢圓的標準方程》教學為例

沈 瑜

(江蘇省常熟市滸浦高級中學，江蘇 蘇州 215500)

本文以蘇教版高中數學《橢圓的標準方程》教學為例，探討了“橢圓”不同設計策略和教學方式.在教學中，教師應關注“過程”，鼓勵和引導學生自主探索，突破難點，增強核心概念理解，自主構建數學核心知識體系.

高中數學；核心概念；教學案例

作為連接知識與知識，構成知識體系的核心，數學核心概念對學生學習數學具有重要的支撐作用，是學生數學思維發展、數學能力培養的基礎.而《橢圓的標準方程》一直是蘇教版高中數學中的重難點知識，不僅包含了模型、數形結合等思想，而且在學習過程中滲透了運算、推理等能力的考察.這就要求教師應建構以核心概念為中心，采用不同的不同設計策略和教學方式，關注“過程”，鼓勵和引導學生自主探索，以增強核心概念理解，自主構建數學核心知識體系.

一、探究學習法

1.創設時代背景，引發學生共鳴.高中學生好奇心強，教師應結合時代背景，最大限度地激發學生學習的興趣.例如，通過視頻的形式展示神州十一號飛船與天空2號對接的場景，讓學生知道對接后形成的組合體運行的軌跡就是橢圓，從而激發學生對橢圓知識學習的興趣.

2.總結已學軌跡，提出研究課題.根據已學知識，通過改變已學知識的條件、假設等合情推理出新的研究課題.例如，在講解《橢圓的標準方程》時，學生已學習過圓、角平分線、線段的垂直平分線等軌跡，筆者從距離、定值等多個角度引導學生提出“到兩個定點距離之和是定值的點的軌跡是什么圖形”這個研究課題.

3.研究軌跡形狀，經歷合情推理.尺規作圖是學生常用的作圖方式，但根據“到兩個定點的距離之和是定值”這個條件，似乎很難找到問題的答案.此時，教師應讓學生回顧以前學習圓的軌跡的作圖方式，即為了達到“到兩個定點的距離之和是定值”這一條件，可以把繩子的兩端固定在兩個定點的位置上，并鼓勵學生實地探究，通過小組的形式畫出橢圓圖形.

5.特例鞏固練習，再探橢圓性質.為了進一步研究橢圓的性質，加深對橢圓概念的理解，筆者設置了以下問題組織學生探討：

已知橢圓上點A到兩焦點間的距離是10，焦距為8，求該橢圓的方程式.

面對這一問題，筆者引導學生建立直角坐標系，探索如何將具體問題數學化，并且在直角坐標系中表示出具體的數值：

由焦距為8得出焦點F1、F2的坐標為(-4,0)、(4,0)；

由點A(x,y)到兩焦點間的距離是10得到|MF1|+|MF2|=10;

二、類比教學法

類比教學法是在學生已學數學知識和結論的前提下，通過形象直觀的經驗和直覺，推測出某種推理的一種教學方式，從而達到得出數學概念.但是通過這種推理而得出的結論不一定正確，需要教師進一步的驗證和推理.橢圓概念類比教學法教學過程如下：

1.理論鋪墊，理解曲線方程.建立平面直角坐標系，結合該圖形代表的方程研究橢圓幾何圖形性質.例如，在前面課程學習中，學生已經掌握了“以方程的解為坐標的點都在曲線上，曲線上點的坐標都是方程的解”這兩個知識點，筆者以該知識為出發點，從而引入本節課程知識.

2.辨析確認，理解橢圓概念.在學生課前復習的基礎上，有意識地呈現學生關注不夠細致的問題，啟發學生尋找到問題產生的本質.例如，當學生初步掌握橢圓就是平面內到兩個定點的距離的和等于常數的點的軌跡時，筆者以常數為問題，進一步探討常數的條件，即當這個常數等于兩個定點的距離時，軌跡是以這兩個點為端點的線段；當這個常數小于兩個定點的距離時，無法構成圖形，軌跡不存在；只有當這個常數大于這兩個定點的距離時，才能夠成橢圓.通過這樣有意識地反思，幫助學生準確地理解橢圓的概念.

3.操作類比，感受思想方法.充分利用所學圓等方面的知識，通過知識遷移深入理解橢圓的性質.然后充分發揮學生的主觀能動性，組織學生以小組的形式探討圓和橢圓的相同點和不同點，通過圓與橢圓在概念、思想方法、標準方程式等方面的異同加深橢圓性質的理解.

三、預習教學法

課前預習是學生掌握好課堂內容的必要條件，只有在課前預習的前提下，才能將抽象的數學核心概念理解深刻.橢圓概念預習教學法的教學過程如下：

1.做好課前定位，列出預習提綱.筆者在深入分析教材和學情的基礎上，設計出了以下預習提綱：

(1)什么是圓錐曲線？為什么要研究圓錐曲線？

(2)從集合角度，闡述{(x，y)|x2+y2=1}和{(x，y)|x2+y2≤1}所表示的意義.

(3)總結出求曲線方程的步驟，深刻體會平面直角坐標系在研究幾何形狀中的重要作用.

⑷橢圓的標準方程如何表示，嘗試對教材中的例題做出變式并解答.

2.把握課堂起點，檢測預習效果.對課前預習情況進行檢查，對于未預習學生，在得知具體原因的基礎上讓學生理解課前預習的重要性；對于預習學生，通過“為什么要學習這節課、“你認為這節課主要講了什么”、“不懂的地方有哪些”等問題準確定位課堂內容.

4.落實新課目標，做好總結反思.及時總結課堂知識，促進學生不斷完善自己的知識結構.同時，做好課后作業布置，進一步加強學習效果.

四、欣賞教學法

數學概念源于生活，但卻是個別數學家應用理性思維抽象而得到的，要想在課堂上展示發展歷程是相當困難的，即使教學再現情境，學生也會感到牽強附會.因此，教師對于學生“你是怎么想到橢圓就是通過筆尖在固定的繩子上移動得到的”、“怎么從鴨蛋中抽象出橢圓的概念呢”等類似問題應通過欣賞的角度組織學生進行學習.

1.欣賞實例，了解概念.通過一些學生非常熟悉的事物深刻理解橢圓圖形，如水杯傾斜時水面的形狀、球在斜射陽光下的影子的邊界.

2.歷史觀點，揭示概念.閱讀教材中給出的橢圓概念，展示1822年旦德林發現橢圓的焦半徑性質，并應用旦德林球模型深刻揭示“到定點的距離等于定長”這一性質.

3、概念得出，制作模型.通過筆尖在固定的繩子上移動操作畫出橢圓模型，理解繩子的長度、筆尖到兩個定點的距離之和所代表的幾何意義，并推導橢圓的標準方程.

綜上所述，傳統高中數學核心概念學習較為呆板，只是將其作為一個既定的理論進行講解，學生學習效果較差，而探究學習法、類比教學法、預習教學法、欣賞教學法更加注重核心概念的演繹和推理，注重教學過程中的創新和學生能力的培養，有利于高中學習數學核心概念的學習.

[1]郝俊鵬.對高中數學概念教學的幾點思考[J].學周刊,2017(14).

[2]章建躍.“中學數學核心概念、思想方法結構體系及教學設計研究與實踐”中期研究報告[J].中學數學教學參考,2008(13).

[3]周宏燕.數學核心概念教學實踐感悟[J].教育科學論壇,2013(08).

[責任編輯：楊惠民]

G632

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1008-0333(2017)24-0009-02

2017-06-01

沈瑜(1987.04-)，女(漢族)，江蘇省蘇州人，本科，中學二級教師.