“直觀想象”在全國卷函數(shù)試題中的應(yīng)用探析*

林麗娟 林新建

福建省漳州第一中學(xué) (363000)

“直觀想象”在全國卷函數(shù)試題中的應(yīng)用探析*

林麗娟 林新建

福建省漳州第一中學(xué) (363000)

“直觀想象”是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵.

“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.

“直觀想象”主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

下面以全國卷函數(shù)試題為例，就“直觀想象”在解題中的應(yīng)用作一探析，以饗讀者.

1.運(yùn)用“直觀想象”引領(lǐng)圖形特征的感知

運(yùn)用“直觀想象”策略，可以較好地引領(lǐng)函數(shù)圖形特征的感知，進(jìn)而借助圖形特征可將問題輕松予以解決.

例1 (2009年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科第9題)

已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切，則a的值為( ).

A．1B．2C． -1D．-2

解析：本題若依常規(guī)方法求解有一定的運(yùn)算量，但若運(yùn)用“直觀想象”策略予以求解根本不用計(jì)算，瞬間可得答案.

由“直觀想象”可知：函數(shù)y=ln(x+1)的圖像在直線y=x+1的下方，從而知欲使得曲線y=ln(x+a)與直線y=x+1相切，則曲線y=ln(x+a)必是曲線y=ln(x+1)向左平移而得，結(jié)合選項(xiàng)容易排除A、C、D，故選B.

例2 (2013年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科16題)

若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則f(x)的最大值是___________.

其實(shí)，若運(yùn)用“直觀想象”策略對(duì)函數(shù)的圖形特征作感知，可將問題輕松予以解決，運(yùn)算量也很小.

由“直觀想象” 知函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)1，-1，又f(x)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，故f(x)另有兩個(gè)零點(diǎn)-3，-5，所以f(x)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5).

再運(yùn)用“直觀想象”對(duì)f(x)的圖像作感知，可知若f(x)的圖像向右平移兩個(gè)單位，其最大值不會(huì)改變，于是我們可將求函數(shù)f(x)的最大值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)=-(x-3)(x-1)(x+1)(x+3)的最大值了.

至此，直接配方即得h(x)=-(x2-5)2+16，故f(x)的最大值為16.

與高考參考解答比較，這樣的解法另辟蹊徑，輕松快捷，凸顯了“直觀想象”在引領(lǐng)函數(shù)圖形特征感知、簡化解題途徑上的重要作用.

2.運(yùn)用“直觀想象”引領(lǐng)形數(shù)關(guān)系的建立

運(yùn)用“直觀想象”策略，可以較好地引領(lǐng)形數(shù)關(guān)系的建立，進(jìn)而借助形的直觀可將函數(shù)問題輕松予以解決.

例3 (2012年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科21題)

(Ⅰ)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

解析：本題難在第(Ⅱ)問，許多考生不知從何入手，望題興嘆而已.

其實(shí)，若能運(yùn)用“直觀想象”策略建立起形與數(shù)之間的關(guān)系，問題可輕松獲得解決.

由“直觀想象”知，要使上式對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R成立，函數(shù)y=ex的圖像必須在函數(shù)y=(a+1)x+b圖像的上方，故必須有a+1>0，因此，要使(a+1)b最大，必須b>0.

再由“直觀想象”知，直線y=(a+1)x+b必須與函數(shù)y=ex的圖像相切.至此問題就容易解決了.

設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0)，則y0=ex0=(a+1)x0+b，且ex0=a+1.聯(lián)立可得x0=ln(a+1)，b=(a+1)-(a+1)ln(a+1).

故(a+1)b=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).

與高考參考答案比較，這樣的解法另辟蹊徑、簡潔優(yōu)美，使我們感到——運(yùn)用“直觀想象”策略可輕松引領(lǐng)形數(shù)關(guān)系的建立，這樣不但回避了分類討論帶來的麻煩，而且思維更加流暢、更容易接近問題的本質(zhì).

3.運(yùn)用“直觀想象”引領(lǐng)解題思路的生成

運(yùn)用“直觀想象”策略，可以較好地引領(lǐng)解題思路的自然生成，使得難題的解決進(jìn)行得輕松自在，輕而易舉.

例4 (2010年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科21題)

設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析：本題第(Ⅱ)問很難，運(yùn)用常規(guī)方法如“參數(shù)分離”等均無法將其解決，怎么辦？

其實(shí)，若運(yùn)用“直觀想象”策略對(duì)函數(shù)的圖像作探究，不難探索出問題求解的簡潔思路，將問題的解答臻于完美.

因?yàn)閒(0)=0，即f(x)的圖像過原點(diǎn)，而f(x)≥0對(duì)一切x≥0都成立，所以由“直觀想象” 知，f(x)的圖像在x=0右側(cè)附近必須遞增，所以f′(x)≥0對(duì)x=0右側(cè)附近成立.

又因?yàn)閒′(x)=ex-1-2ax，f′(0)=0，所以同樣由“直觀想象”知，f′(x)的圖像在x=0右側(cè)附近也必須遞增，從而f″(x)≥0對(duì)x=0右側(cè)附近成立.

有了這個(gè)發(fā)現(xiàn)就好辦了，接下來我們只要證明：

證明：由f(x)=ex-1-x-ax2知，f′(x)=ex-1-2ax，f″(x)=ex-2a.

由于“直觀想象”，我們猜想出a的范圍，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化而輕松求解，凸顯了“直觀想象”在探索問題解決思路、簡化難題求解途徑上的重要作用.

“直觀想象” 在數(shù)學(xué)解題中有著重要的作用，在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的意識(shí)，提升數(shù)形結(jié)合的能力，感悟事物的本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，平時(shí)教學(xué)和高考復(fù)習(xí)都應(yīng)予以足夠的重視.

*本文是2016年度漳州市基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究課題“基于全國考試的高三有效性復(fù)習(xí)研究”的研究成果.