矩陣特征值在矩陣中的作用

林大華，戴立輝

（閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系，福建 福州 350108）

矩陣特征值在矩陣中的作用

林大華，戴立輝

（閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系，福建 福州 350108）

用矩陣的特征值對(duì)矩陣的行列式、可逆性、跡、秩、對(duì)角化、相似、正定性以及一些特殊矩陣進(jìn)行了刻畫(huà).

矩陣；特征值；行列式；可逆性；跡；秩；對(duì)角化；相似；正定性

1 引言與預(yù)備知識(shí)

矩陣的特征值是線性代數(shù)理論的一個(gè)重要組成部分，具有廣泛的應(yīng)用.本文主要綜述特征值在矩陣的行列式、可逆性、跡、秩、對(duì)角化、相似、正定性以及一些特殊矩陣等矩陣?yán)碚撋系娜舾勺饔茫瑥闹锌梢钥吹剑仃嚴(yán)碚撝械脑S多問(wèn)題可以用矩陣的特征值加以刻畫(huà).

本文用Pn×n表示數(shù)域P上全體n階方陣集合,用Pn表示數(shù)域P上全體n維向量集合,用P[x]表示數(shù)域P上全體一元多項(xiàng)式集合，用Tr(A)表示矩陣A的跡.未經(jīng)說(shuō)明的記號(hào)參看文獻(xiàn)[4].

設(shè)A∈Pn×n,λ∈P,若存在非零 n維向量 α∈Pn,使得Aα=λα,則稱(chēng) λ是A的特征值,α是 A的屬于λ的特征向量.

對(duì)A∈Pn×n，矩陣λE-A稱(chēng)為A的特征矩陣，多項(xiàng)式fA(λ)=|λE-A|稱(chēng)為 A 的特征多項(xiàng)式.

λ∈P是矩陣A∈Pn×n的特征值充分必要條件是λ是特征多項(xiàng)式的根.

矩陣A∈Pn×n的特征多項(xiàng)式的根，稱(chēng)為A的特征根.注意,A的特征根未必是A的特征值.A的特征根λ是特征值充分必要條件是λ∈P.由于多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上總是有根,所以矩陣的特征根總是存在的，但特征值未必總存在.因此,n階方陣的特征值個(gè)數(shù)不超過(guò)n.A的特征值λ作為特征根的重?cái)?shù)稱(chēng)為λ的代數(shù)重?cái)?shù).

若 λ∈P是矩陣 A∈Pn×n的特征值，則集合 Vλ={α∈Pn|Aα=λα}是 Pn的子空間，稱(chēng)為屬于 λ的特征子空間.Vλ的維數(shù)稱(chēng)為λ的幾何重?cái)?shù).

若 λ∈P 是矩陣 A∈Pn×n的特征值，f(x)∈P[x]，則 f(x)是 f(A)的特征值；當(dāng)A可逆時(shí)，λ-1是A-1的特征值.

兩個(gè)相似的同階方陣有相同的特征根,因而有相同的特征值.

2 矩陣特征值的若干作用

2.1 方陣的行列式

若 n 階方陣 A 的 n 個(gè)特征值為 λ1,λ2,…,λn，則有

例1 設(shè)-2，3，-1是三階方陣A的特征值，求|A3-6A+11E|.

解 令 f(x)=x3-6x+11,則 f(A)=A3-6A+11E.因?yàn)?A 的特征值為-2,3,-1,所以f(A)的特征值為f(-2)=15,f(3)=20,f(-1)=16,故

|f(A)=A3-6A+11E|=|f(A)|=f(-2)f(3)(-1)=15×20×16=4800

2.2 方陣的可逆性

n階方陣A是可逆矩陣的充分必要條件是A的特征值均非零.

例2 設(shè)n方陣A的特征值全是實(shí)數(shù).證明,若E-A的特征值的絕對(duì)值都小于1,則A可逆.

證明 設(shè)A的全部特征值為λ1,λ2,…,λn則E-A的全部特征值為

由 1-λi全是實(shí)數(shù),且 |1-λi|＜1,可得 -1＜1-λi＜1,即 0＜λi＜2(i=1,…n).于是A的特征值均非零,故A可逆.

2.3 方陣的跡

若 n 階方陣 A 的 n 個(gè)特征值為 λ1,λ2,…,λn，則有

事實(shí)上,由 λ1,λ2,…,λn是 A 的 n 個(gè)特征值，可知 λ1k,λ2k,…,λnk是 Ak的 n 個(gè)特征值.于是有

推論 若 A=(aij)n×n,則有

2.4 方陣的相似

若n階方陣A的特征根均為特征值,則

(1)相似于上(下)三角形矩陣

λi(i=1,2,…,s)是A的全部特征值.Ji的階數(shù)是λi的代數(shù)重?cái)?shù).

J稱(chēng)為A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.

(2)若n方陣A,B有相同的特征根,且每個(gè)特征根的重?cái)?shù)也一樣,則A,B相似.

(3)若n方陣A,B的特征根不完全相同,則A,B不相似.

2.5 方陣的秩

若n階方陣A的特征根均為特征向量,則

(1)當(dāng)0是A的k重特征值時(shí),有秩(Ak+l)=n-k(l≥0).

(2)當(dāng)0是A的k重特征值時(shí),秩(A)=n-k的充要條件是秩(A)=秩(A2).

事實(shí)上,(1)把A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中特征值不是0的子塊放在一起記為B,把特征值為0的子塊放在一起記為B0,則有

其中B可逆.

由于0是A的k重特征值,故B0是k階方陣.從而B(niǎo)0中的每個(gè)子塊Ji的階數(shù)≤k,于是由

可知 Jik=0,故 B0k=O,因此

但B是n-k階可逆方陣,故秩(Ak+l)=n-k.

(2)由(1)的證明可知,有

于是有

秩(A)=秩(B)+秩(B0) 秩(A2)=秩(B2)+秩(B02)

因?yàn)锽是n-k階可逆方陣,所以秩(B)=秩(B2) 從而秩(A)=秩(A2)的充要條件是秩(B0)=秩(B02).

若B0中的子塊Ji的階數(shù)大于1,則必有秩(Ji)＜秩(Ji2).故秩(B0)=秩(B02)的充要條件是Ji的階數(shù)為1,即Ji=O,故秩(B0)=秩(B02)的充要條件是B0=O,即秩(A)=n-k.

2.6 方陣的對(duì)角化

n階方陣A可對(duì)角化充分必要條件是A的特征根均為特征值,且每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù).此時(shí),對(duì)角矩陣若不考慮對(duì)角線上的元素排列次序是唯一的,并且對(duì)角線上的元素均為A的特征值.

推論1 若n階方陣A有n個(gè)不同的特征值λ1,λ2,…,λn,則A可對(duì)角化且對(duì)角矩陣對(duì)角線上的元素是A的特征值.即存在可逆矩陣Q,使得

推論2 若n階方陣A可對(duì)角化,則A是零矩陣充分必要條件是A的特征值全為零.

2.7 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣

實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值均為實(shí)數(shù).若 λ1,λ2,…,λn是 n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的n個(gè)特征值,則A正交相似于對(duì)角矩陣diag(λ1,λ2,…,λn),即有正交矩陣 Q,使得推論實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A是正定矩陣充分必要條件是A的特征值均大于零.

2.8 一些特殊矩陣

若方陣A的特征根均為特征值，則

(1)A是冪零矩陣充分必要條件是A的特征值均為零.

(2)若A的特征值不全是單位根,則A不可能是冪幺矩陣.

(3)若A的特征值不是1或0,則A不可能是冪等矩陣.

(4)若A的特征值不是1或-1,則A不可能是對(duì)合矩陣.

〔1〕楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解(修訂版)[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2009.11.

〔2〕楊子胥.高等代數(shù)精選題[M].北京:高等教育出版社，2010.1.

〔3〕錢(qián)吉林.高等代數(shù)題解精辟[M].北京:中央民族大學(xué)出版社,2005.12.

〔4〕北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組．高等代數(shù)（第四版）[M]．北京：高等教育出版社，2014.2.

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