關于一類雙單葉函數的系數估計

敖 恩，湯 獲，楊靜宇

（1.赤峰學院 數學與統計學院；2.赤峰學院 應用數學研究所，內蒙古 赤峰 024000）

關于一類雙單葉函數的系數估計

敖 恩，湯 獲，楊靜宇

（1.赤峰學院 數學與統計學院；2.赤峰學院 應用數學研究所，內蒙古 赤峰 024000）

在本文中,引進一類由擬從屬關系定義的雙單葉函數新子類,結合正實部解析函數的系數估計和分析技巧,研究函數類的起始項a2和a3的邊界估計問題及Fekete-Szeg?問題,得到準確結果,并推廣及改進一些已有的結論.

解析函數；雙單葉函數；系數估計

1 引言

用A表示所有在單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內解析且具有形式

的函數族.記S表示A內在單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內單葉解析函數的全體.

著名的Koebe one-quarter Theorem[1]表明每一個函數都存在一個逆函數f-1,滿足

和

若一個函數f∈A在U內稱為是雙單葉的當且僅當f和f-1在U內都是單葉的.用σ表示在單位圓盤U內雙單葉的函數的全體.若則

1970年,在文獻[2]中,Robertson引入了擬從屬的概念.設函數f(z)和h(z)在單位圓盤U內解析,若存在一個解析函數φ(z),使得在U內解析且

滿足

則稱函數f(z)在U內擬從屬于h(z),記為f(z)?qh(z).特別地,當φ(z)=1 時,f(z)=h(ω(z))，z∈U,此時稱函數 f(z)在 U 內從屬于函數 h(z),記為 f(z)?h(z);

當 ω(z)=z時,f(z)=φ(z)h(ω(z))，z∈U,此時稱函數 f(z)在 U內優于函數h(z),記為f(z)?h(z).因此從屬關系和優化關系是擬從屬關系的兩種特殊情形.

在文獻[3]中,Lewin首先引入雙單葉函數族σ,并對系數進行估計,得到了若 f∈σ,則 |a2|≤1.51.在文獻[4]中,Branan 和Clunie推測若 f∈σ,則在文獻[5]中,Netanyahuz 證明了若 f∈σ,則由此開始,許多學者開始引入與雙單葉函數族相關的一些重要子類,并研究其系數估計問題[6-11].

1976年,在文獻[12]中,Noonan和Thomas研究了函數f∈A系數的q階Hankel多項式Hq(n)(q≥1,n≥1)如下:

特別地,H2(1)=|a3-a22|為Fekete-Szeg?問題的特殊情況.近來許多學者也對于Hankel多項式產生了極大的興趣 (如[13],[14]).受以上工作的啟發,本文利用擬從屬關系引入一類雙單葉函數類,定義如下:

則稱 f(z)∈Nq,σ(γ,λ,δ;?),其中 γ∈C{0},λ≥1,δ≥0,g(ω)=f-1(ω).

當參數取特殊值時,可得到一些特殊的函數子類,例如:

(1)Nq,σ(1,λ,0;?)=(λ,?)(見文獻[12]);

q,σ

(3)Nq,σ(γ,1,0;?)=(?)滿足

(4)Nq,σ(γ,1,1;?)=(?)滿足

在本文中,利用正實部解析函數的系數估計和分析技巧,研究了函數類 Nq,σ(γ,λ,δ;?)中函數起始項 a2和 a3的邊界估計問題及Fekete-Szeg?問題的特殊情況.

為了得到本文的主要結果，需要引進下面的引理.

引理[15]設則 |pk|≤2,k=1,2,…,其中P表示正實部函數族,即P表示在單葉圓盤U內解析且滿足p(0)=1,Re{p(z)}＞0 的函數的全體.

2 主要結果

為了得到本文的主要結果,在U內定義函數p1(z),p2(ω)為

則函數 p1(z)，p2(ω)在 U 內解析，且 p1(0)=p2(0)=1.于是

由解析函數u,v:U→U可得到函數p1(z),p2(ω)有正實部，則 |pi|≤2,|qi|≤2.

除特別聲明,本文規定

定理 1 設 f(z)∈Nq,σ(γ,λ,δ;?),則

和

證明 設 f(z)∈Nq,σ(γ,λ,δ;?),則根據定義存在解析函數 u,v：U→U 滿足

及解析函數 ψ(z),φ(z)滿足 |ψ(z)|＜1,|φ(z)|＜1使得

將 f(z)=z+a2z2+a3z3+…和 g(ω)=ω+b2ω2+b3ω3+…分別代入(2.8)式和(2.9)式左側,通過簡單計算可得

又將(2.1),(2.3)和(2.5)代人(2.8)式右側, 整理可得

同理將(2.2),(2.4)和(2.5)代人(2.9)式右側,整理可得

于是將(2.10)和(2.12)代入到(2.8)式,比較兩邊同次冪的系數可得

由于 b2=-a2,b3=2a22-a3,則將(2.11)和(2.13)代入到(2.9)式,比較兩邊同次冪的系數可得

由(2.14)和(2.16)得

由(2.15)和(2.17)得

在(2.18)和(2.19)中利用引理,便可得出(2.4)式中給出的|a2|的上界.

下面再討論 |a3|的上界.由(2.15)和(2.17)得

將(2.18)代入到(2.20)式,有

由引理可得

另一方面,將(2.19)代入到(2.20)式,有

結合(2.21)和(2.22)式,即可得(2.7)式成立.因此,定理 1 證畢.

在定理1中,分別令γ=1,δ=0和λ=1，得到下面兩個推論：

推論 1 設

推論 2 設

和

注明 推論1和推論2改進了文獻[16]和[17]中的相應結果.

在推論2中,分別令δ=0和δ=1,得到下面兩個推論:

和

和

另外,在(2.20)式中利用引理可以得到下面定理2.定理2中結果是Fekete-Szeg?問題的一個特殊情況,即二階Hankel多項式H2(1)=|a3-a22|的上界估計.

定理 2 設 f(z)∈Nq,σ(γ,λ,δ;?),則

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O174.51

A

1673-260X（2017）10-013-03

2017-08-03

國家自然科學基金（11561001）；內蒙古自然科學基金項目（2014MS0101）；內蒙古高等學校科學研究項目（2015NJZY240）