利用零點定理證明方程在區(qū)間內(nèi)實根存在性問題分析研究

余小飛

【摘 要】在深入分析零點定理的基礎(chǔ)上，研究零點定理應(yīng)用的特殊情況，并給出了定理在方程根的存在性證明中的應(yīng)用實例。

【關(guān)鍵詞】零點定理；根的存在性；輔助函數(shù)

1.引言

零點定理是微積分學(xué)的一個重要定理，它的一個重要應(yīng)用是研究函數(shù)零點的存在性問題，同時也可以用來研究方程在區(qū)間內(nèi)實根的存在性問題。本文將利用零點定理給出解決實際問題的幾個應(yīng)用實例。

2.定理

設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號（即f（a）f（b）<0），那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點ξ（a<ξ

證明：不妨設(shè)f（a）<0，f（b）>0。令

E={x|f（x）<0，x∈[a，b]}

由f（a）<0知E≠ ，且b為E的一個上界，于是根據(jù)確界存在原理，存在ξ=supE[a，b]，下面證明f（ξ）=0。

零點定理的條件有三部分組成：一是閉區(qū)間[a，b]，二是連續(xù)函數(shù)f（x），三是兩個端點的函數(shù)值異號。證明的根的存在性的命題常常只給出上述三個條件的部分條件，另一些條件需要證明。

3.幾個應(yīng)用實例

（1）給出閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f（x），證明f（x）=0在（a，b）內(nèi)至少有一個實根。

（3）構(gòu)造輔助函數(shù)，對輔助函數(shù)使用零點定理

先從待證的結(jié)果出發(fā)，將待證的結(jié)果轉(zhuǎn)化為右端為零的等式，構(gòu)造輔助函數(shù)F（x），然后驗證F（x）在[a，b]上滿足零點定理的條件。

例3：設(shè)f（x）在閉區(qū)間[0，2a]上連續(xù)，且f（0）=f（2a），則在[0，a]上至少存在一點x，使f（x）=f（x+a）。

證明：將f（x）=f（x+a）化為f（x）-f（x+a）=0，將x改為x，得到f（x）-f（x+a）=0。則F（x）在[0，b]在上連續(xù)，

且F（0）=f（0）-f（a）

F（a）=f（a）-f（2a）=f（a）-f（0）=-[f（0）-f（a）]

（1）若f（0）=f（a），則F（0）=F（a）=0，于是存在x∈（0，a），

使f（x）=f（x+a）成立。

4.結(jié)束語

零點定理和介值定理是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的兩個重要性質(zhì)，常用于證明方程式根的存在性，通過上面的例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，利用零點定理研究根的存在性問題有很多種方法。只要我們能夠掌握并靈活運用自己的知識，就能從更多的角度求解問題。

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