本征正交分解在翼型氣動優化中的應用研究

李 波，龔春林，粟 華，谷良賢

(西北工業大學 航天學院 空天飛行技術研究所,陜西 西安 710072)

本征正交分解在翼型氣動優化中的應用研究

李 波，龔春林，粟 華，谷良賢

(西北工業大學 航天學院 空天飛行技術研究所,陜西 西安 710072)

為降低機翼翼型氣動優化的仿真代價，提出了一種基于本征正交分解(POD)的翼型自適應快速優化方法。建立氣動流場數據的代理模型以預測流場。為簡化求解規模和難度，采用POD代理模型優化。為進一步提高精度，提出了基于序貫POD代理模型自適應優化，在優化過程中實時更新POD基，即在優化中間結果的基礎上重新采樣，以更新POD空間，基于動態數據庫構建代理模型。給出了不同優化方法的求解流程。以NACA0012翼型為例分別對直接翼型優化、基于代理模型的翼型優化和基于POD代理模型的翼型優化方法進行了對比分析。結果表明：與直接優化方法相比，基于POD代理模型的翼型優化能顯著提升優化效率，且擬合精度更高。

翼型設計； 氣動優化； 模型降階； 本征正交分解(POD)； 代理模型； 基于序貫POD代理模型； 優化效率； 擬合精度

0 引言

改善飛行器的升阻力特性一直是飛行器設計追求的重要指標。氣動優化涉及大量的氣動分析，存在計算周期長、數據處理繁瑣的不足。基于代理模型的氣動優化是提高效率最有效的方法之一，在氣動優化中獲得了大量應用[1]。文獻[2]將動網格引入翼型設計優化，用自編程序實現動網格生成，通過集成商業軟件Pointwise，CFD計算軟件Fluent 完成邊界條件生成和流場解算節省大量的重復性操作；文獻[3]建立了升力系數和阻力系數的Kriging自適應代理模型與支持向量回歸自適應代理模型，明顯提高了氣動分析的計算效率；文獻[4]綜合Kriging代理模型和遺傳算法進行了低雷諾數翼型的氣動外形正優化設計。但在流體分析階段，直接基于流體計算軟件的優化過程的時間代價很大；代理模型只能建立計算狀態、幾何參數與升力系數、阻力系數等氣動標量數據間的關系，丟棄了流場中大量的氣動特征，如壓強系數、摩擦因數等場量分布數據，構建的近似模型實際上已失去了描述完整流場的能力，而這些場量數據恰是構成升阻力等氣動評價指標的關鍵，這必然會降低評價指標的擬合精度。

通常，應用POD代理模型需要提前獲取一定數據的流場信息，即需已知流場的部分采樣解。原實際物理模型信息可通過系統的若干已知試驗解(或數值解)提取得到，或通過大量的仿真數據獲取。基于POD的氣動優化流程能盡可能全面地利用原氣動數據特性以提高擬合精度。本文將POD方法引入翼型氣動優化，建立氣動流場數據的代理模型，對流場進行預測；提出基于POD代理模型的自適應序貫優化設計流程，在優化過程中動態修正POD代理模型擬合精度，從而彌補單次POD代理模型構建過程中的誤差，以獲得更高的擬合效果。用一個二維翼型設計優化對本文方法的有效性進行驗證分析。

1 本征正交分解

POD方法中的本征模態是按對應本征值所含流場能量大小進行排序的，通過捕捉高能量本征模態能較好地描述和分析隨機場的特性。

1.1POD基本理論

POD方法的一個重要特點就是可將相干結構及其包含的能量聯系起來，即從能量的角度對場量進行分析，并識別流場中含最大能量的模態[13]。POD方法的核心是尋找函數或場量空間{vn(x)∈Ω}的一組“最優”正交基{φ1,φ2,φ3,…,φn}。假設vn(x)可由若干正交基近似，則vn(x)可用這組“最優”正交基{φ1,φ2,φ3,…,φn}近似表示，即

(1)

式中：φi(x)為vn(x)的特征函數或基函數；ηi為φi(x)的相關系數；n為基函數選取的數量。為求解φi(x)，需知道vn(x)中的部分樣本點。

(2)

式中：〈 〉為內積運算符。

用Lagrange乘子法將約束問題式(2)轉為無約束問題，再用變分法來處理。

定義

K(x,x′)=〈vn(x),vn(x′)〉

(3)

則基函數φi(x)須滿足

(4)

式中：K(x,x′)為核函數，是半正定的自關聯矩陣。優化問題式(2)轉為式(4)中求解核函數K的特征向量和特征值，即可得到最優值。

實際情況下核函數的規模很大，直接求解較難。因此，用文獻[14]提出的快照技術求解。該法的要點是將原函數空間元素vn(x)用φi(x)的線性組合進行近似處理，能一定程度減少計算內存消耗。

1.2POD計算流程

具體實現過程如下。

V=[V(1)V(2)…V(k)]T=

(5)

(6)

式中：ai為特征值的特征函數。將式(6)代入式(4)，與φ的展開式比較可得

GGTA=λA

(7)

此時將式(2)的最優化問題轉換為求GGT的特征值λ。

c)用奇異值分解法求解，G的奇異值可分解為

(8)

d)所得的?的維數仍很高，需根據能量信息容量選擇前t階模態近似整個數據空間[15]。t應當盡量小，減小特征向量空間的規模，但應盡可能更精確地逼近原數據空間。t的選取可用以下方式確定，則有

(9)

式中：I(t)為能量信息容量或能量，I(t)越接近1，表明特征向量空間包含的原信息越完整，越接近原函數空間，通常認為I(t)大于95%即可；λi為Σ中對角線上按降維排列的特征值。一般情況下，特征值的大小以指數律下降，故只需較少的模態數即可實現對原數據空間的有效逼近。

e)基函數對應的系數可表示為

(10)

f)POD模型可表示為

(11)

2 基于POD代理模型優化設計

當t確定后，vn(x)可直接用系數η表示，用式(11)即可直接求出。此時，原vn(x)轉換為t維η與φi(x)間的關系。通常η的維數仍較大，且不具直觀物理意義。因此，實際使用時需建立η的代理模型，以進一步將其表示為場量對應狀態變量的函數。

2.1POD代理模型優化

在長耗時和大量數據數值仿真或數值計算中，常用代理模型進行簡化求解規模和難度。對如RSM，Kriging，RBF等傳統代理模型，建立的代理模型時通常簡化為標量處理，有

(12)

式中：“∧”表示代理模型輸出[16-18]。

但當Y為場量時，需分別對每個數據點構建代理模型，代理模型則會花費極大的計算資源。且未考慮這些數據點間的聯系，代理模型的精度也會有損失。

(13)

2.2優化流程

對場量構建POD代理模型，將整個優化問題用POD代理模型近似，提出基于POD代理模型優化設計流程。此時整個優化問題的設計變量變為POD代理模型基函數系數η。

2.2.1 代理模型優化流程

不同方法優化流程如圖1所示。

由圖1可知：在優化過程中，傳統代理模型和POD代理模型都摒棄了優化代價巨大的分析計算過程，由代理模型近似，提高了計算效率；與傳統代理模型相比，POD代理模型充分考慮數據間的關系，省去了對每個數據點都構建代理模型的過程，進一步提高了效率。POD代理模型優化步驟如下：

a)初始化優化問題；

c)計算POD代理模型基函數系數η；

d)基于POD代理模型得到近似輸出；

e)判斷是否收斂，是，退出；否，返回步驟d)。

2.2.2 序貫優化流程

整個優化流程的判斷條件變為POD模型精度，每次優化結束后，若POD模型的精度不滿足設計要求，則將當前最優結果加入POD數據庫中重構代理模型，直至滿足POD模型精度要求為止。

3 二維翼型氣動優化

將本文基于序貫POD代理模型自適應優化求解方法用于二維翼型的設計優化。

3.1二維翼型氣動優化模型

3.1.1 優化問題

以NACA0012經典翼型測試本文提出的序貫

POD代理模型自適應優化求解方法。令設計狀態為：Ma=0.2，ρ=1.225 kg/m3，α=2.27°，Re=4.66×106。優化問題為最大化翼型升阻比Cl/Cd，同時保證阻力系數Cd小于基準翼型。優化問題數學形式可表示為

(14)

3.1.2 翼型采樣

用CST參數化方法描述翼型截面信息與CST參數間的關系[19]。分別用5個設計變量描述二維翼型的上、下表面，其中包括2個形函數控制因子和3個Bernstein多項式權重控制因子bi。有

(15)

(16)

3.1.3 氣動分析

用xfoil軟件對翼型氣動進行分析[20]。該軟件是針對低雷諾數條件下翼型的數值模擬而專門開發的流場求解的開源程序，是國外用于低雷諾數翼型計算的主要工具，其準確性和可靠性在多篇文獻中得到了驗證。

3.1.4 優化算法

優化采用梯度算法(SNOPT算法)。SNOPT適于大規模、二次和非線性規劃。在氣動分析中，數據的維數和規模通常均是超線性的，故本文選擇基于梯度的SNOPT非線性規劃方法進行優化。

3.1.5 實驗設計

數據庫樣本點采樣用拉丁超立方(LHS)實驗設計方法。LHS實驗設計方法每個因子的水平等于點數，并進行隨機組合，有能力擬合二階或更非線性的關系。本文在設計初期，采用LHS在設計空間內抽取樣本點100個，用xfoil軟件進行翼型氣動分析，生成各采樣翼型流場解空間，用于構建POD代理模型和RBF代理模型。

本文使用的計算工具配置為：主頻2.1 GHz的Intel雙核處理器，內存4 GB；在vs2010平臺上，采用C++自編程序計算。

3.2POD模型精度分析

在優化過程中，POD代理模型的誤差會對最終優化結果精度產生影響。因此，在優化前，對POD代理模型的精度進行分析，折中求解計算過程中模型擬合精度和計算代價。

不同基函數階數t時的POD代理模型構建時間和能量信息容量見表1。由表1可知：t=3時模型精度已高于95%，表明當前代理模型構建時所用數據庫中的樣本點數已足夠；在POD模型擬合精度隨t增加的同時，構建代價也隨之增加。最終t=19時，POD代理模型的擬合誤差達到0.01%，但其構建代價也最大。因此，在優化過程中需平衡模型精度與效率。POD代理模型的構建雖然花費時間長，但與CFD等高時耗的計算相比，幾乎可忽略不計，本文在后續優化過程中取t=19進行分析計算。

表1 POD代理模型能量信息容量和構建時間

3.3二維翼型氣動優化求解

分別對直接翼型優化、基于代理模型的翼型優化和基于POD代理模型的翼型優化方法進行分析。直接翼型優化，即建立基于xfoil的直接優化方法，每步優化氣動分析用xfoil軟件直接計算；基于代理模型的翼型優化，用RBF代理模型近似得到翼型的升阻比。

3.3.1 優化結果

將POD代理模型和RBF代理模型的優化結果生成的翼型代入xfoil軟件計算分析，驗證模型精度。不同優化方法氣動優化結果見表2。由表2可知：與基準翼型NACA0012的升阻比44.4112相比，均有大幅提升，其中基于POD代理模型的提升較另兩種方法更顯著。表1中的誤差為不同方法優化結果與xfoil驗證計算結果的對比誤差，優化時間僅為優化過程開始至優化迭代結束的時間，不包含代理模型構建時間。

表2 不同優化方法氣動優化結果

自適應POD代理模型優化過程中，對POD代理模型進行11次重構能達到POD代理模型精度設計要求0.01%。序貫優化過程中，在每步優化迭代過程中，由于式(11)的維度較大導致優化變量增加，從而導致優化效率降低；代理模型每更新一次代理模型數據庫，整個POD模型將重構一次，一定程度上增加了整個過程的計算代價，但提升了優化結果的精度；整個POD代理模型序貫優化的時間較直接基于xfoil軟件的優化過程大幅減少，優化效率明顯提升；但與RBF代理模型相比，POD代理模型序貫優化的效率有所降低，降低優化效率的同時增加了優化過程和結果的擬合精度。

3.3.2 結果分析

不同方法最后優化結果生成的翼型與基礎翼型NACA0012如圖3所示。由圖3可知：三種方法的優化結果均是增加翼型上表面的厚度、減小下表面的厚度，以及改變基準翼型的彎度增加升阻比。圖3中：c為弦長。

POD代理模型序貫優化結果代入xfoil軟件中計算所得的翼型表面壓強系數分布如圖4所示。由圖4可知：在整個翼型截面分布中，除前緣部分的誤差較大外，其余部分的擬合精度均較高。前緣部分即在翼型頭部的誤差因翼型頭部的壓強分布梯度變化較大，代理模型難以精確擬合，而有翼型節點在前緣分布相對較少也是擬合精度降低的原因。

三種方法目標函數升阻比系數的迭代收斂結果如圖5所示。由于本文使用基于梯度的優化算法SNOPT，導致不同方法在迭代過程中均出現了一定程度的振蕩，但整個優化過程中收斂趨勢仍很明顯。

4 結論

本文提出了一種基于POD代理模型的高效自適應序貫優化方法，可為場量數據的擬合或優化提供一個有效的解決方法，不僅僅局限于氣動場量數據。用二維翼型設計優化進行了比較分析，結果發現：第一，對比分析了基于直接法、POD代理模型和RBF模型的翼型優化方法，基于POD代理模型的翼型優化相比于直接優化方法能顯著提升優化效率，且較代理模型有更高的擬合精度。第二，用基于動態數據庫POD代理模型的自適應優化模型提升模型構建精度，但此過程會增加優化代價，降低優化效率；與CFD等高時耗的計算相比，整個過程計算量已很小。第三，POD代理模型構建需已知一定的采樣解空間；因此，在構建POD代理模型前，需已有一定的采樣解以便構建POD代理模型；如已有大量的工程試驗數據，將其構建為POD代理模型進行優化可很大程度提升優化效率。隨著對氣動優化要求的提高，本文所用的評價指標升阻比并不能完全描述飛行器的氣動性能，后續研究應加入更多有實際意義的評價指標和約束。

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ResearchandApplicationonProperOrthogonalDecompositioninAerodynamicOptimizationofAirfoil

LI Bo， GONG Chun-lin， SU Hua， GU Liang-xian

(Institute of Spaceplanes and Hypersonic Technologies, School of Astronautics, Northwestern Polytechnic University, Xi’an 710072, Shaanxi, China)

In order to reduce the simulation cost, an adaptive rapid optimization method based on proper orthogonal decomposition (POD) was proposed in this paper. The surrogate model of aerodynamic flow field data was established to predict the flow field. To simplify the solving and difficulty, POD surrogate model was adopted. To improve the accuracy more, based sequential POD surrogate model was used for adoptive optimal, which would renew POD basis in real time in the optimization process. It meant that the sampling was carried on again to renew POP space based on the intermediate results. The surrogate model was constructed based on dynamic data base. The influence of the POD surrogate model on the direct wing optimization, approximate model optimization and airfoil optimization based on POD surrogate model were compared and analyzed with NACA0012 airfoil as an example. The results showed that the airfoil optimization based on the POD surrogate model could improve the optimization efficiency significantly compared with the direct optimization method, and had higher fitting accuracy than the surrogate model.

airfoil design; aerodynamic optimization; reduced order model; proper orthogonal decomposition(POD); surrogate model; sequential based POD surrogate model; optimal efficiency; fixing accuracy

1006-1630(2017)05-0117-07

2016-12-29；

2017-02-27

國家自然科學基金資助(51505385)；上海航天科技創新基金資助(SAST2015010)

李 波(1992—)，男，碩士生，主要研究方向為多學科設計優化。

粟 華(1985—)，男，講師，主要從事飛行器總體設計、多學科設計優化研究。

V211.412

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.05.019