任意邊界條件下中心開口矩形板自由振動特性分析

邱永康， 李天勻，2，3， 朱 翔，2， 郭文杰， 毛藝達

(1. 華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074；2. 船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢 430074；3. 高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

任意邊界條件下中心開口矩形板自由振動特性分析

邱永康1， 李天勻1，2，3， 朱 翔1，2， 郭文杰1， 毛藝達1

(1. 華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074；2. 船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢 430074；3. 高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

針對任意邊界條件下中心開口矩形板的自由振動特性研究問題，引入改進傅里葉級數方法，用改進傅里葉級數形式表示開口矩形板的位移容許函數，該級數形式具有收斂性好、精度高等特點，采用沿邊界均勻分布的線性彈簧模擬任意邊界條件，并結合位移連續條件和Rayleigh-Ritz能量泛函變分法，對未知傅里葉展開系數求極值將問題轉化為求解一個標準特征值方程問題，通過求解方程可得到中心開口矩形板的固有頻率及其對應振型；對不同邊界組合不需重新推導公式，只需改變模擬彈簧剛度值即可，提高了效率，最后通過數值算例與有限元方法的計算結果進行對比分析以驗證文中方法的有效性和精確性。

開口矩形板；改進傅立葉級數；能量法；任意邊界

含開口的矩形板結構廣泛存在于各個行業中，例如航空航天，船舶，土木建筑等，在原有板結構上開方口或矩形口會影響其原有振動特性，開口板的振動不僅對能量傳輸起著重要作用，而且還與向周圍環境的輻射噪聲存在直接關系。因此，開口矩形板動態性能的研究非常重要。

關于板結構的動態性能分析，國內外學者做出了大量的研究， Leissa[1]對不同邊界條件下板的經典Voigt解進行了研究分析，最終得出其自由振動的固有頻率，為開口板的動態特性研究奠定了重要的理論基礎。但對于開口板結構，國內學者相關動態性能研究較少，Lam等[2]對含有開口或裂紋的矩形板結構的自由振動性能進行研究分析，對開口板進行分區處理，以正交多項式模擬板位移函數得出中心開口矩形板的振動頻率，其對板分區處理思想為研究開口板問題提供新的思路；Paramasivam[3]通過拓展網絡框架模型研究不同邊界條件下開口對板固有頻率的影響，Ali等[4]基于Rayleigh原則提出一種計算開口板結構固有頻率的簡化算法，Reddy等[5]根據Reissner-Mindlin型剪切變形理論和非線性的von Kármán應變-位移關系理論對開口板大振幅彎曲振動進行研究，Rajamani等[6]將開口的大小、形狀和位置作為外載荷以研究開口對內外固支邊界開口結構動態性能的影響，Hegarty等[7]通過最小二乘配點法對中心開圓孔的矩形板自由振動問題進行研究，最后得出板自由振動頻率與開口尺寸之間的關系曲線，Aksu等[8]結合有限差分技術的變分原理對含有一個和兩個開口矩形板的固有頻率進行預測，Sivasubramonian等[9]研究了開口大小對曲面板固有頻率的影響，Takahashi[10]基于Ritz法對中心開圓孔的振動特性進行了研究。

上述文獻中大部分研究工作僅限于開口板在經典邊界組合下的動態特性分析，而對一般彈性邊界下其振動問題研究較少。Lam等以正交多項式形式表示開口板的位移容許函數，這就使得最后得出結果的精度完全依賴于所選取板的假定振型與實際情況的吻合程度，影響計算效率。

Li[11]提出任意支撐梁振動分析的改進傅里葉級數方法，并隨后被拓展應用到矩形板[12]和圓柱殼[13]等結構的振動分析之中，文獻[12]表明任意邊界條件下板的假定振型函數可以不變的用一種改進傅立葉級數形式表示。針對上述問題，本文引入改進傅里葉級數方法建立任意邊界條件下中心開口矩形板的振動分析模型，將其位移容許函數表示為包含正弦三角級數的改進傅里葉級數形式，采用沿邊界均勻分布的位移約束彈簧和轉角約束彈簧模擬板的邊界條件，然后運用能量泛函變分方法對結構振動問題進行求解，并與有限元仿真運算結果進行對比分析以說明文中方法的準確有效性。

1 理論分析

1.1 中心開口矩形板模型描述

文中研究對象如圖1所示，開口矩形板的長度為a，寬度為b，矩形開口位于板的中心，開口的長度為a1，寬度為b1，板厚為h，開口板的邊界條件關于其中心對稱，根據開口矩形板幾何對稱及邊界對稱性，考慮其對稱性包括正對稱性和反對稱性，可以得到更加全面準確的模態振型，僅研究開口板1/4區域，在開口處沿開口的延長線將把開口矩形板分割成3個區域，如圖1所示。

圖1 開口矩形板示意圖Fig.1 Rectangular plate with square opening

在圖1中，①～⑩邊界采用兩種沿邊界均勻分布的線性彈簧模擬，兩類彈簧分別為位移約束彈簧(k)和旋轉約束彈簧(K)，通過設置這兩類彈簧的剛度來模擬開口板任意邊界，例如，當兩種彈簧剛度都設為0時，則模擬自由邊界，當兩種彈簧剛度都設為∞時，則模擬固支邊界，當其取0～∞時可模擬任意彈性邊界等。①和④邊界為正對稱或反對稱邊界，⑨和⑩邊界為連接邊界，其余邊界為經典邊界，設置剛度與其對應模擬邊界如表1所示。

表1 剛度設置與其模擬邊界的對應關系表Tab.1 The corresponding relation table ofstiffness settings and boundary

當剛度設置為∞時，本文取值為1×1010，經后文算例驗證，當剛度取值為1×1010，一般彈性邊界可完全退化為經典邊界。根據以上彈簧模擬方法可得到開口板物理模型，如圖2所示。

圖2 開口板物理模型描述圖Fig.2 Physical model of rectangular plate with opening

1.2 位移容許函數

對于3個區域每個區域可以視為獨立的板進行分析研究，每個矩形板選取合適的位移容許函數非常重要，文中引入改進的傅里葉級數方法可以滿足任意邊界條件，改進傅立葉級數方法可使板的位移容許函數在整個求解域內三階導數連續且四階導數各點均存在，可以有效克服邊界處可能出現的不連續現象。矩形板的位移容許函數可表示為

(1)

式中：Amn為其未知傅里葉級數展開系數； 簡諧時間因子eiωt表示矩形板在不同時刻的位移函數；j取1,2,3分別代表三塊板的位移函數；M，N為截斷項取值；φm(x)為x方向的特性梁容許函數，ψn(y)為y方向的特性梁容許函數，其表達式分別為

(2)

(3)

式中：x*，y*為無因次坐標，m=1,2,3，…，M,n=1,2,3，…，N。

1.3Rayleigh-Ritz能量泛函變分法

通過能量法對開口矩形板結構進行處理，結合Rayleigh-Ritz方法確定其未知系數，對于3塊區域板，僅考慮彎曲變形，其彎曲應變能為

(4)

儲存在邊界約束彈簧中的彈性勢能為

(5)

式中，ki和Ki分別表示圖1中開口板第i個邊界的位移約束彈簧剛度和旋轉約束彈簧剛度。

在任意邊界條件下，3塊區域板的動能分別可表示為

(6)

式中：ρ為開口板的密度；ω為圓頻率；j=1,2,3。

在無外激勵下，開口板的能量泛函可表示為

(7)

對3塊區域板的總能量泛函進行變分求極值可得：

(8)

將式(4)～式(6)代入式(8)中可寫成矩陣形式如下：

([K]-ω2[M]){A}=0

(9)

式中： 矩陣[K]表示3個區域板的總勢能剛度矩陣，包括板的彎曲應變能剛度和儲存在邊界中的彈簧勢能剛度； [M]表示其質量矩陣。

(10)

(11)

式中，i=1,2,3。

由式(9)可以可出，最終將開口板結構問題退化為求解式(9)標準特征值問題，可以很簡單的得到開口矩形板的自由振動頻率及其對應的特征向量，即可提取出相應的模態振型。

2 數值計算與分析

本文對不同邊界和不同幾何尺寸的開口矩形板的自由振動特性進行計算，并與有限元軟件計算結果進行對比分析以說明本文方法的有效性和精確性，以下給出算例中開口矩形板的材料參數取值都取為：材料密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3，彈性模量E=2.1×1011Pa。

2.1 收斂性分析

從表2中對比分析可知：隨著截斷項數M，N不斷增加，文中方法所求得的開口板固有頻率逐漸趨于穩定，當M=N=13時，固有頻率已不再發生變化，即認為文中方法已收斂，從而證明了改進傅里葉級數方法在計算開口板振動特性的收斂性和穩定性。后面計算中均取截斷項M=N=13。

文中方法計算所得開口板固有頻率值與有限元仿真分析(ANSYS)計算結果吻合良好，圖3給出其前4階模態對應振型圖，可以看出改進傅里葉級數方法計算所得頻率與振型與有限元方法所得結果具有很高的吻合度，從而證明了文中方法的正確性和精確性。

(a) 開口板第1階振型對比圖

(b) 開口板第2階振型對比圖

(c) 開口板第3階振型對比圖

(d) 開口板第4階振型對比圖圖3 開口板前4階振型對比圖Fig.3 The first four order comparison mode of rectangular plate with square opening

2.2 不同開口尺寸和邊界的開口板動態特性分析

為驗證本文方法對于求解不同開口尺寸和不同邊界條件的開口板振動性能的普遍適用性，下文將對在不同邊界條件下，不同內孔邊和外邊的長度比ξ進行討論分析。

首先在F-F邊界下，即內孔邊界為自由邊界，外邊界也是自由邊界，外邊長度a=8 m，寬度b=6 m，內孔邊與外邊的長度比ξ=0.1,0.3,0.5,0.7,0.9，表3給出文中方法所求前6階固有頻率值，由于缺乏文獻數據對比，與有限元仿真分析結果進行對比，可以看出隨著開口的增大，開口矩形板的各階頻率值不斷減小，而且本文方法與有限元結果非常吻合。

表3 F-F邊界下不同開口尺寸的開口板固有頻率Tab.3 Natural frequencies of rectangular plate withdifferent square opening in F-F boundary Hz

表4～表6分別給出在C-F邊界(外邊固支，內邊自由)，SS-SS邊界(內外均簡支)，SS-F邊界(外邊簡支，內邊自由)三種不同經典邊界組合下開口矩形板的固有頻率，開口板其余幾何參數和物理參數均與上例相同，同時將開口矩形板的固有頻率值與有限元仿真結果進行對比分析。

表4 C-F邊界下不同開口尺寸的開口板固有頻率Tab.4 Natural frequencies of rectangular plate withdifferent square opening in C-F boundary Hz

表5 SS-SS邊界下不同開口尺寸的開口板固有頻率Tab.5 Natural frequencies of rectangular plate withdifferent square opening in SS-SS boundary Hz

表6 SS-F邊界下不同開口尺寸的開口板固有頻率Tab.6 Natural frequencies of rectangular plate withdifferent square opening in SS-F boundary Hz

對不同經典邊界組合的開口矩形板的固有頻率進行計算，從表4～表6可以看出，文中方法所得結果與有限元方法計算結果吻合良好，充分證明了文中方法對處理不同經典邊界的開口矩形板振動問題具有普遍適用性和較高的精確度。文中方法不僅可以處理任意邊界問題，還可以應用于不同開口尺寸的中心開口矩形板。在C-F邊界和SS-SS邊界下，隨著內孔邊與外邊長度比ξ的增大，開口板固有頻率逐漸增大。

為體現文中方法對處理一般彈性邊界的開口矩形板振動問題的普遍適用性，最后給出一般彈性邊界條件算例，開口板外邊長度a=5 m，寬度b=5 m，內孔邊與外邊的長度比ξ=0.5，內邊為自由邊界，外邊位移約束彈簧剛度為K′，轉角約束彈簧剛度為0，文中方法計算該開口矩形板的固有頻率，并與ANSYS有限元軟件計算結果進行對比分析，表7給出前六階固有頻率結果對比。

表7 不同位移約束彈簧剛度K′的開口板固有頻率Tab.7 Natural frequencies of rectangular platewith square opening in different K′ Hz

從表7中數據對比不難看出，位移約束彈簧剛度增大到1×1010N/m時，開口板的外邊邊界條件完全退化為簡支(SS)邊界。文中方法計算一般彈性邊界開口矩形板固有頻率與有限元方法吻合性良好，證明了其對處理一般彈性邊界的開口矩形板振動問題的有效性。

文中大量的算例充分說明了文中方法不僅可以處理不同開口尺寸開口矩形板自由振動問題，而且適用于任意邊界(包括經典邊界和一般彈性邊界)開口矩形板的振動分析。

3 結 論

本文基于改進傅立葉級數方法，對中心開口矩形板進行了自由振動特性分析。充分利用中心開口板的對稱性(包括正對稱和反對稱)，僅對1/4塊板進行研究，并將這1/4塊板劃分為三個區域板，結合Rayleigh-Ritz能量泛函變分法將開口板自由振動問題轉化為一個求解標準特征值問題。通過數值算例與有限元方法計算結果進行對比分析以驗證本文方法的有效性和精確性，并得出以下結論。

(1) 文中方法隨著傅里葉級數截斷項的增加，計算結果收斂性良好，且數值穩定性很好。

(2) 對于任意邊界組合的中心開口矩形板，只需改變位移約束彈簧和轉角約束彈簧剛度值就可模擬，不需重新推導公式，提高效率，這是文中方法解決開口板問題的顯著優點。

(3) 文中方法對于不同開口尺寸和縱橫比的中心開口矩形板的自由振動問題具有普遍適用性。

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Thefreevibrationcharacteristicsanalysisofarectangularplatewithcentralopeningusinginarbitraryboundaryconditions

QIU Yongkang1, LI Tianyun1,2,3, ZHU Xiang1,2, GUO Wenjie1, MAO Yida1

(1. School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China;2. Hubei Provincial Key Laboratory of Ship and Marine Hydrodynamics, Wuhan 430074,China;3. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240,China)

This paper is based on the improved Fourier series method to establish a free vibration analysis model and calculate the natural frequency of a rectangular plate with a central opening. When considering the opening, only a quarter of the plate was studied by using the symmetry of the rectangular plate with central opening，which was divided into three regions. The admissible function displacement of each region was expressed by the improved Fourier series. By using the linear spring, which was uniform distribution along the border, arbitrary boundary conditions were simulated. And through the continuous conditions of displacements, the relationship of each regional plate was determined. According to the Rayleigh-Ritz energy functional and the variational method, the overall energy function can be obtained. The generalized eigenvalue matrix equation can be obtained by studying the extremum of the unknown improved Fourier series expansion coefficients. Solving the equation can lead to the natural frequencies and the corresponding vibration modes of the rectangular plate with central opening. Finally, according to the calculation of numerical examples, the results were compared with the finite element method to verify the accuracy and effectiveness of the method in this paper.

rectangular plate with opening; improved Fourier series method; energy variational method; arbitrary boundary conditions

國家自然科學基金資助項目(51379083；51579109)

2016-03-04 修改稿收到日期： 2016-08-23

邱永康 男，碩士，1992年生

李天勻 男，博士，教授，1969年生

E-mail:ltyz801@hust.edu.cn

TB532

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.018