含軸向偏載的行星齒輪傳動系統動態特性研究

陳銳博, 張建杰, 周建星, 孫文磊

(新疆大學 機械工程學院，烏魯木齊 830047)

含軸向偏載的行星齒輪傳動系統動態特性研究

陳銳博, 張建杰, 周建星, 孫文磊

(新疆大學 機械工程學院，烏魯木齊 830047)

軸向偏載是影響行星輪傳動系統工作狀態的重要因素，以行星輪傳動系統為研究對象，運用牛頓動力學理論建立了行星傳動平移-扭轉動力學模型，討論了軸向偏載對嚙合剛度的影響。在考慮輪齒齒面接觸特性基礎上，揭示了軸向偏載對行星傳動系統動態特性的影響。研究表明：太陽輪發生軸向偏載后，齒面接觸區域產生偏移，其嚙合剛度也隨之發生改變。隨著偏載的增大，嚙合剛度逐漸減小，對行星傳動系統的高階固有頻率影響較為明顯。太陽輪與行星輪的外嚙合動載荷將出現轉頻成分，并且當偏載增大時，其轉頻成分將明顯增大，但其他頻率成分基本保持不變。當存在軸向偏載時，浮動軌跡由圓形分布變為橢圓形分布，浮動軌跡中的變形量增加，從而系統振動更加明顯，嚙合沖擊更激烈，影響系統的使用壽命。

行星輪傳動；嚙合剛度；軸向偏載；接觸區域；動態特性

行星齒輪傳動具有體積小、重量輕、效率高、工作平穩、噪聲小等優點，被廣泛應用于航空、船艦、風力發電、汽車等許多工業領域。為提高行星傳動均載性能，太陽輪采用浮動細桿相連接，相對于其他構件的而言，其彎曲剛度較小，則易發生彎曲情況，并產生較大的振動，從而縮短行星系統的使用壽命。

國內外許多學者針對行星齒輪傳動系統動態特性問題進行了大量研究，內容普遍涉及固有頻率、動態響應，以及浮動軌跡等多個方面。在行星齒輪傳動系統的研究中需要考慮的因素較多，主要有：時變嚙合剛度、傳遞誤差、齒側間隙等。早期在分析系統動態特性的研究中，其剛度大多使用平均嚙合剛度，但轉動過程為單齒與多齒嚙合的交替形式，存在時變嚙合剛度，因此Lin等[1]研究了行星齒輪由嚙合剛度變化引起系統參數的不穩定性。王春光[2]探討了時變嚙合剛度對系統不穩定的影響，并得出調節重合度和嚙合相位可以減小特定的不穩定區域。孫濤等[3]考慮時變嚙合剛度、嚙合誤差以及尺側間隙等因素的基礎上，采用解析諧波平衡法求得系統的非線性頻響特征。齒廓的磨損與加工誤差會使輪副產生齒側間隙以及齒廓周期誤差，并在齒輪間會產生接觸、脫離、再接觸的重復沖擊現象，張鎖懷等[4-5]考慮該情況研究了單級齒輪系統的拍擊振動現象。隨后劉國華等[6]學者對齒輪進行修形處理，有效的改善了齒輪機構的動態特性。為有效引入外部激勵的影響，秦大同等[7]通過改變轉矩的方法，進行了風力發電機行星齒輪傳動系統動態嚙合力的研究。楊軍[8]通過振動學方程計算了風力發電機行星傳動系統的固有頻率，同時討論了剛度對系統各階固有頻率的影響。其中Li等[9]通過討論齒廓修形、齒面負載變化等情況下對于齒面接觸區域分布情況的影響。Lin等[10]研究了當行星輪不均勻分布時，行星齒輪傳動系統的固有頻率以及振動模態的變化情況。Parker等[11]采用有限元/接觸力學模型分析了直升機行星齒輪系統在一定運行速度和轉矩范圍內的動態響應，結合了傳統有限元分析和Bousinesq解法的優勢。現如今國內外學者針對行星系統中太陽輪發生軸向偏載情況下的研究相對較少。

本文計入了太陽輪軸向偏載的影響，建立了行星齒輪傳動系統動力學模型，從齒面接觸特性的角度，系統分析軸向偏載對嚙合剛度以及行星傳動系統動態特性的影響。

1 模型構建

本文所分析的行星齒輪傳動系統如圖1(a)所示，其中標識R代表齒圈，S代表太陽輪，P代表行星輪，C為行星架。行星齒輪傳動系統由3個行星輪、太陽輪、行星架和內齒圈所構成。太陽輪為輸入端，并且采用較細長的彈性細軸連接，起彈性浮動的作用。齒圈固定，行星架為輸出端[12]。

圖1 行星傳動系統結構簡圖與三維模型Fig.1 The planetary gear transmission system sketch and three-dimensional model

本文分析模型基本參數如表1所示，其中轉動慣量以及質量等均是通過UG建模得出，傳動系統三維裝配模型如圖1(b)所示。

表1 行星齒輪傳動系統參數Tab. 1 The planetary gear transmission system parameters

由于行星齒輪系統的復雜性，對其進行動力學研究時必須考慮零件或運動副的彈性。根據動力學建立原理的不同，可以將行星齒輪傳動的動力學模型分為兩大類，即集中參數模型和有限元模型[13]。

本文選用集中參數模型，將行星傳動的各構件簡化成集中質量，各構件間以彈簧作為連接形式。將其運動看成剛體運動以及彈性變形的疊加，本次行星傳動系統為16自由度的平移-扭轉動力學模型。模型中各個構件的支撐剛度，內嚙合、外嚙合剛度以及扭轉剛度均用彈簧代替，現取行星架中心位置為系統坐標原點，選用水平方向為X方向，豎直方向為Y方向來構建模型。行星輪采用沿行星架均勻分布方式，并對其進行約束。

所施加載荷足夠大時，太陽輪與行星輪齒輪齒廓始終保持嚙合關系，并且兩齒面所產生的嚙合力與齒面彈性變形成線性關系，則可以把齒輪副剛度用線性彈簧來模擬，太陽輪與行星輪動力學模型如圖2所示，太陽輪與行星輪的扭轉和橫向微位移均會對嚙合作用產生影響，將其微位移轉化至嚙合線上。定義當嚙合彈簧為壓縮狀態時取正值，反則拉伸為負值，則有：

δspi=xScosφspi+ySsinφspi+uS-xpisinα-
ypicosα-upi-espi(t)

(1)

式中：φspi=φc-α+φpi+π/2，

uS=θSrS,upi=θpirpi,φc=wct

其中,α為嚙合角，φpi是相位角 (φi=2π(i-1)/3)。rS,rpi是太陽輪與行星輪基圓半徑,espi(t)是嚙合誤差。

此時，齒輪嚙合力為

(2)

圖2 太陽輪與行星輪動力學模型Fig.2 The dynamic model of sun gear and planet gear

構建行星傳動平移-扭轉動力學模型如圖3所示，模型中Ks，Ksθ分別為太陽輪支撐剛度與扭轉剛度；kpi為行星輪支撐剛度，其中i=1,2,3；kspi與krpi分別為太陽輪與行星輪外嚙合剛度及行星輪與齒圈內嚙合剛度；內齒圈在其4個對稱位置實施約束，取Kr代表內齒圈支撐剛度。

圖3 行星傳動平移-扭轉動力學模型Fig.3 The planetary gear transmission system dynamic model

根據各個零件受力關系構建系統振動微分方程：

將式(3)寫成矩陣形式得

(4)

式中：m為質量矩陣；ka(t)為支撐剛度矩陣；km(t)為時變嚙合剛度矩陣；kn(t)為扭轉剛度矩陣；T(t)為外部激勵；系統各個構件的位移向量q表示為

q=(uc,xs,ys,us,xr,yr,ur,ξpi,ηpi,upi)T

(5)

系統中各支撐剛度與扭轉剛度分別為：太陽輪支撐剛度Ks=5×106N/m；太陽輪扭轉剛度Ksθ=1.5×105N·m/rad；行星輪支撐剛度Kpi=2×107N/m；行星架扭轉剛度Kpθ=3.3×108N·m/rad；內齒圈支撐剛度Kr=3×108N/m；

2 參數計算

2.1 嚙合剛度計算

本文通過有限元法，進行系統內外嚙合剛度的求解，同時考慮太陽輪軸向偏載的情況下，太陽輪與行星輪之間外嚙合剛度的變化情況。在求解外嚙合剛度時，采用太陽輪施加轉矩，行星輪全約束的形式進行求解，如圖4(a)所示。在求解內嚙合時，采用行星輪施加純扭矩，內齒圈施加全約束的形式進行求解，如圖4(b)所示。

圖4 齒輪副分析模型Fig.4 Gear pair analysis model

在施加邊界條件時，對從動輪內圈施加全約束，并且約束主動輪內圈的橫向自由度，施加轉矩在主動輪上[14]。在施加轉矩時，需要將坐標系轉換成圓柱坐標系，以節點的形式將轉矩施加在主動輪內圈處，計算如式(6)所示

(6)

式中：Ta為單個節點施加轉矩；n為節點數目；rn為主動輪內圈半徑；rb為主動輪基圓半徑。

通過變形云圖計算出主動輪內圈變形量μ1，利用式(7)求得主動輪變形角度δ1，最終求得嚙合線位置處的等效變形μ：

(7)

式中：δ1為主動輪變形角度；rn為主動輪內圈半徑；μ1為主動輪內圈變形；μ為嚙合線處等效變形。

求解時，選用罰函數法進行求解，該方法允許接觸目標存在一定量的滲透，并可通過改變接觸剛度值來控制表面滲透的程度[15]。最終使用剛度計算式(8)進行剛度求解

(8)

通過上述計算方法，我們依次算出一個嚙合周期內，10種嚙合狀態下的齒輪嚙合剛度。并通過數值計算的插值法，擬合成一個周期內的曲線，進行求解內外嚙合時剛度的變化情況，并繪制曲線圖，如圖5(a)所示。

圖5 嚙合剛度變化圖以及應力分布圖Fig.5 Meshing stiffness variation and stress distribution diagram

從圖5中可以清楚的看出，嚙合剛度為時變嚙合剛度，為拱形分布。雙齒嚙合剛度大于單齒嚙合剛度，雙齒嚙合狀態下，輪齒嚙合變形減小，從而剛度增大。齒輪的嚙合周期為雙齒-單齒-雙齒嚙合，最后退出嚙合的過程，為時變嚙合剛度，因此存在剛度的突變，容易產生較大剛度激勵。

現將接觸位置的輪齒輪廓曲線長度延展后的長度定義為輪廓曲線長度，為圖5(b)中的縱坐標。從圖5(b)中可以清楚的看出接觸區域應力成帶狀分布，并且越接近理論接觸位置等效應力值越大。由于齒面摩擦的原因，接觸線沿齒高方向的兩側并未呈現對稱性的情況，接觸線上方向著齒頂的方向等效應力變化較為劇烈，反之，接觸線下方向著齒根的方向等效應力變化較為平緩。接觸線區域為主要的承載區域，該區域載荷分布較大，并且分布較為均勻，但由于存在邊緣效應的原因，齒輪接觸區域的兩端存在較大的應力集中，接觸范圍變化最明顯。本次所繪的嚙合位置應力分布圖與文獻9中基本相同，但本文所繪圖在齒端兩側出現了明顯邊緣效應區域。

2.2 系統的固有特性分析

當系統外部激勵T(t)=0時，式(4)可得自由振動方程為

(9)

將系統固有特性變化為求解特征值問題，即：

(10)

(11)

將計算的剛度結果帶入行星傳動平移-扭轉動力學模型中，通過求解即可得到系統固有頻率，如表2所示，可以看出該行星傳動系統的固有頻率范圍420～16 703 Hz，共16階。由于行星傳動動力學模型的對稱性，會引起系統固有頻率產生重頻現象。本文分析對象中心構件平移振動模式出現6對重頻(分別為ω1=ω2、ω3=ω4、ω6=ω7、ω12=ω13、ω14=ω15和ω8=ω9)與系統6構件橫向自由度數相等；行星輪振動模式共有3階固有頻率等于系統3個行星輪扭轉自由度數[16]。所得結論與文獻[16]基本相同。

表2 固有頻率Tab.2 The natural frequency

行星傳動系統振型分為3種，分別為中心構件平移振動模式、中心構建扭轉振動模式、以及行星輪振動模式，其中中心構件包括行星架，太陽輪，內齒圈。如圖6所示。

圖6 行星傳動系統振型Fig.6 Planetary transmission system vibration mode

3 偏載對行星系統的影響

3.1 軸向偏載對于剛度的影響

對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉角過大會影響構件或零件的正常工作。齒輪軸的撓度過大會影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產生噪聲，同時當軸承支撐的軸在支撐處的轉角如果過大時，會增加軸承的磨損。

連接太陽輪的軸存在較大彈性浮動，在工作狀態下，易發生彎曲，從而受載不均勻，產生彎曲，形成軸向偏載的情況，最終導致齒面載荷分布不均勻。現定義γ為軸偏載位移量，如圖7所示本文討論γ為正常情況下，1μ，3μ的情況下，齒輪剛度的變化曲線如圖8所示。

圖7 軸向偏載示意圖Fig.7 Diagrammatic sketch when the axis bending

圖8 軸向偏載時剛度的變化曲線Fig.8 Stiffness variation curve when the axis bending

當軸發生軸向偏載時，對齒輪剛度的分布狀況是有影響的，隨著偏載的增大，齒輪嚙合剛度逐漸降低。從圖8中可以清楚的看出雙齒嚙合區域降低幅度遠大于單齒嚙合區域。剛度隨著軸向偏載的變化原因是由于齒輪在嚙入嚙出的過程中發生了齒頂的干涉情況，造成齒頂處等效應力較為集中，從而產生相應的影響。

從圖9中可以清楚的看出接觸區域的改變，結合剛度隨軸向偏載變化曲線如圖8所示。如圖9，可以看出隨著軸向偏載的增大，最大接觸區域逐漸向軸向偏載位置移動，局部位置呈現較大的應力分布情況，并呈現不規則分布。如圖9(b)，接觸線兩側的應力分布范圍同樣存在較大改變，接觸線上方沿著齒頂方向接觸應力變化更加劇烈，同時，接觸線下方沿著齒根方向接觸應力變化也較為劇烈。綜上所述，當軸向偏載發生時，會導致接觸區域的應力分布變化，齒輪產生變形，進而影響齒輪剛度的變化。

圖9 嚙合區域應力分布圖Fig.9 Stress distribution of meshing area

3.2 軸向偏載對固有頻率的影響

現探討軸向偏載對行星齒輪傳動系統的固有頻率的影響，當連接太陽輪的彈性細桿發生彎曲時，行星系統的結構將發生改變，轉動軌跡近似于橢圓形的方式轉動，故而探討偏載狀態下，固有頻率的變化。通過改變偏載量分別為1μ，3μ時，觀察固有頻率的變化規律。

如圖10所示，通過觀察可以看出，在1～9階時，其固有頻率基本保持不變，由此可得結論：軸向偏載對行星傳動系統的低階固有頻率影響較小。但10階、12階、13階、14階、15階、16階情況下，其行星系統的固有頻率隨著偏載的增大，在逐漸減小，因此軸向偏載對行星系統的高階固有頻率的影響較明顯。隨軸向偏載的增大，系統低階固有頻率基本不變，高階固有頻率減小，但各階振型基本不變。由于本文只是改變了其連接太陽輪的細桿的軸向偏載，故其主要影響高階扭轉振形的固有頻率，以及與太陽輪嚙合的行星輪平移振動模式的固有頻率。

圖10 偏載對系統固有頻率變化圖Fig.10 System natural frequency change when the axis bending

3.3 軸向偏載對動態特性的變化

當太陽輪發生軸向偏載時，行星系統的動態特性將發生改變，由于偏載量較小，動態特性的變化情況并不明顯，為了能充分研究偏載對系統動態特性的影響，將偏載量進行增大。偏載量為1μ，3μ，5μ，10μ，15μ，20μ，研究動態特性的變化。

在一定負載作用下，保證齒輪副始終處于接觸狀態，通過式(12)計算嚙合頻率，其轉速為700 r/min，轉矩為500 N·m時計算行星傳動系統的動載荷，如圖11所示。

(12)

式中：nc為行星架轉速；ns為太陽輪轉速；np為行星架轉速；zs為太陽輪齒數；zp為行星輪齒數；fp為嚙合頻率。

圖11 正常情況下太陽輪與行星輪動載荷 Fig.11 The dynamic force of sun gear and planet gear in the normal condition

太陽輪與行星輪外嚙合時域歷程如圖11(a)所示，可以看出，外嚙合的動載荷成周期變化，周期為T，其動載荷均值為778 N，波動幅值為194 N；太陽輪與行星輪的外嚙合動載荷的主要頻率成分為嚙合頻率(292.6 Hz)，2倍頻，3倍頻及4倍頻，其中嚙合頻率成分能量最大。

當太陽輪軸向偏載為20μ時，通過計算行星輪繞太陽輪公轉一周的各個位置處的時變嚙合剛度，引入至系統動力學模型，采用時域積分方法求解模型，即可得到系統動載荷，如圖12(a)所示，由于轉速保持700 r/min不變，則系統的嚙合頻率保持一致為292.6 Hz，并且嚙合頻率的成分能量最大。由于軸向偏載的緣故，外嚙合的動載荷呈周期變化，其曲線圖為波動情況，近似于正弦曲線圖，其動載荷均值為783 N，波動幅值高達230 N。此時各頻率成分的幅值代表該時域狀態下所具有的能量。由于太陽輪發生偏載后，太陽輪類似于凸輪的形式進行轉動，其輪齒嚙合區域發生了明顯變化，類似于偏心輪接觸的方式，則其動載荷也變成正弦的波動形式。行星系統正常情況下太陽輪無轉頻成分，但偏載為20μ時，太陽輪出現轉頻成分，其幅值為21 N，即該時域狀態下轉頻所具有的能量。由此可見軸向偏載的增大，改變了太陽輪的頻率成分，出現了轉頻成分。由于軸向偏載情況的存在，太陽輪發生不平衡或傾斜的現象，當太陽輪存在軸向偏載時，太陽輪與其相嚙合的3個行星輪的接觸區域均發生了改變，并且接觸區域均向不同方向發生了偏移，由于接觸區域的變化，則太陽輪將存在轉頻成分。

通過研究偏載狀態對嚙合頻率幅值以及轉頻幅值影響如圖13所示，由于轉速固定為700 r/min的情況下，觀察各種偏載情況下的嚙合頻率幅值并未存在明顯的變化，同時，其各倍頻也無明顯變化，其幅值基本穩定，所以偏載的存在對其嚙合頻率的影響并不顯著。通過觀察太陽輪的轉頻曲線，正常狀態下的動載荷頻域圖，太陽輪無轉頻成分，但隨著偏載的增大，其轉頻能量明顯增大，當偏載量增大到20μ的時候，其轉頻的幅值為21 N，太陽輪轉頻幅值隨偏載增大而逐漸增大，呈線性遞增的方式，轉頻成分的能量明顯增大。由于嚙合齒輪在轉動過程中，齒頂位置存在間隙，當發生軸向偏載時，對齒輪嚙合頻率等相關成分影響較小。

圖12 偏載情況下太陽輪與行星輪動載荷 Fig.12 The dynamic force of sun gear and planet gear when the axis bending

圖13偏載對于嚙合頻率幅值以及轉頻幅值變化圖 Fig.13 The change of meshing frequency amplitude and rotating frequency amplitude

3.4 軸向偏載對中心輪浮動軌跡影響

通過研究偏載狀態下，太陽輪的浮動軌跡變化如圖14所示，正常情況下太陽輪浮動軌跡，當轉速為700 r/min時，太陽輪浮動軌跡近似為圓形，浮動范圍為-10.9 μm～10.9 μm，浮動軌跡的內圈為太陽輪所運動的軌跡，正常情況下，載荷施加均勻并無誤差存在時，太陽輪的運動軌跡為圓形。由于太陽輪的扭轉固有頻率作用，太陽輪產生了振動。在不同偏載情況下，其太陽輪的浮動軌跡也發生了相應變化。觀察下圖14(a)中太陽輪浮動軌跡可得，隨著偏載的增加，其X方向以及Y方向的位移范圍也在相應增大，當偏載達到5μ時，其X方向上的位移量為-12 μm～12 μm，Y方向上的位移浮動范圍為-11.2 μm～11.2 μm，近似為橢圓形分布。通過計算X方向上的變形量為6.3 μm，Y方向上的變形量為4.6 μm。當偏載達到20μ時，浮動軌跡呈橢圓形分布。其X方向上的變形量為21 μm，Y方向上的變形量為19.5 μm。軸向偏載越大，其浮動軌跡圖呈橢圓趨勢越明顯，其偏載方向X的浮動位移量相對較大，并且由于X方向為主要傾斜方向，所以X方向的變形比較大。Y方向浮動位移量相對較小，且Y方向上的變形量略小于X方向，其主要變形在X方向上。通過研究表明，當軸向偏載存在時，其太陽輪的浮動軌跡發生了相應變化，隨著軸向偏載的增大，太陽輪的浮動量越大，太陽輪的變形也在增大，其運動軌跡也逐漸趨近于橢圓形。由于偏載的情況，偏載越大，行星系統的載荷分布越不均勻，需要越大的浮動量來平衡載荷。因此偏載方向處的浮動位移量較大，也同樣會產生較大的沖擊力，進而增大該方向的變形量。

圖14 各偏載下中心輪與內齒圈的浮動軌跡Fig.14 Floating track of the center wheel and the ring gear

圖14(b)所示，當內齒圈處于正常狀態下時，其內齒圈浮動軌跡近似于圓形分布，X、Y方向上的變形量均為0.36 μm，偏載越大，內齒圈的浮動軌跡同樣越趨近于橢圓形分布，偏載為20μ時，其浮動軌跡成發散狀。通過研究表明，偏載的增大，內齒圈的變形量也在增大，但增加幅度較小，則偏載對內齒圈的變形量變化影響并不顯著。主要影響其浮動軌跡的形狀，由于內齒圈的浮動能夠完成構件誤差對內嚙合輪齒的法向位移要求。內齒圈固定在支架上，其支撐剛度較大，則內齒圈的浮動軌跡較不明顯，內齒圈的變形量也相對較小。

4 結 論

(1)軸向偏載會導致齒輪在嚙合過程中嚙合剛度的降低，單齒嚙合區域中的嚙合剛度降低幅度比雙齒嚙合區域中嚙合剛度降低幅度小，接觸位置也發生偏移。

(2)軸向偏載變化時，對系統高階固有頻率影響較為顯著，低階固有頻率基本穩定。隨著軸向偏載的增大，其高階固有頻率降低。

(3)對系統動態特性而言，太陽輪與行星輪的外嚙合動載荷將出現轉頻成分，并且當偏載增大時，其轉頻成分將明顯增大，其他頻率成分基本保持不變。

(4)通過研究發現，當隨著軸向偏載的改變，其太陽輪的浮動軌跡也發生了相應變化，由于軸向偏載的增大，太陽輪浮動軌跡變大，其變形量變大。偏載的改變，對內齒圈的變形量影響較小，只影響其浮動的軌跡。

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Astudyonthedynamiccharacteristicsofaplanetarygearsystemwithconsideringcontacttoothsurface

CHENRuibo,ZHANGJianjie,ZHOUJianxing,SUNWenlei

(SchoolofMechanicalEngineering,XinjiangUniversity,Urumqi830047,China)

Axial partial load is an important factor influencing the stability of a planet wheel drive system. Based on the planet wheel drive system and the Newtonian dynamics theory, a planetary transmission dynamics model was established. The effect of axial load for meshing stiffness was studied. At the same time, considering the influence of the tooth surface contact characteristics of mesh stiffness, the axial partial load impact on the natural frequency of the planetary system, the influence of the axial partial load on the system dynamic characteristics was studied. The research shows that: the sun wheel connects thin rod axial after partial load, the meshing stiffness decreases with the increase of partial load. Axial deviation of the existence of a planet wheel has obviously influence on high order natural frequency. When the partial load increases, the high order natural frequency decreases. With the increase of axial partial load round the sun and the planets round of external gear dynamic load changes into a sine curve, frequency domain figure appeared switch frequency. And partial load increases, the frequency amplitude increases obviously. Meshing frequency amplitude is basically stable, does not affect the frequency doubling amplitude.

planetary gear transmission; meshing stiffness; axial eccentric load; contact area; dynamic characteristics

國家自然基金(51665054；51565055)

2016-10-10 修改稿收到日期： 2016-11-17

陳銳博 男，碩士生， 1993年生

張建杰 男，副教授，碩士生導師，1973年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.028