太陽翼不同轉角的衛星在軌模態頻率計算方法

向明江 李夢宇 呂旺,3 杜繼超

(1 上海衛星工程研究所，上海 201109)(2 上海航天技術研究院，上海 201109)(3 清華大學航天航空學院，北京 100084)(4湖北三江航天紅峰控制有限公司，湖北孝感 432000)

太陽翼不同轉角的衛星在軌模態頻率計算方法

向明江1李夢宇2呂旺1,3杜繼超4

(1 上海衛星工程研究所，上海 201109)(2 上海航天技術研究院，上海 201109)(3 清華大學航天航空學院，北京 100084)(4湖北三江航天紅峰控制有限公司，湖北孝感 432000)

衛星撓性振動頻率會隨著太陽翼的轉動發生變化，在衛星動力學頻率規劃設計時尤其需要考慮到,以避免發生耦合振動。文章針對具有太陽翼的衛星，研究了太陽翼轉動時由于星體構型變化對衛星模態頻率產生的影響。通過建立衛星動力學混合坐標方程，推演出衛星結構動力學特征方程，在太陽翼轉到不同角度時對衛星系統模態進行解算，從而獲得一種具有太陽翼的遙感衛星系統模態計算方法。以某遙感衛星為背景進行了在軌模態計算，并與該衛星陀螺姿態角速度遙測數據對比，誤差小于10%，驗證了在軌模態計算方法的準確性。

太陽翼；撓性振動；在軌模態；頻率計算

1 引 言

一般衛星通常安裝有太陽翼、天線等撓性附件，且具有飛輪、驅動機構、有效載荷等周期性轉動部件。近年來衛星在軌出現過轉動部件與撓性附件的耦合共振問題，嚴重影響了衛星的姿態穩定度，使得有效載荷無法正常工作。在軌耦合振動問題需要引起高度重視，在衛星研制階段開展衛星動力學頻譜規劃設計成為一項必不可少的工作。

在文獻[1]中可以看出，目前在衛星工程中，對于具有太陽翼的衛星在軌振動頻率，常以標稱值的形式給出前幾階模態頻率，設計者據此開展轉動部件與撓性附件的頻率隔離規劃設計。這存在兩個問題：如果以給出的標稱頻率值的作為頻譜規劃的輸入，很容易引發耦合共振問題，因為在太陽翼轉動時，衛星在軌振動頻率是隨時變化的。如果在標稱頻率值附近規劃一個誤差區間，這存在如何選取誤差區間的問題，誤差區間選取太小，仍有可能發生在軌耦合振動；誤差區間選取太大，有可能使有效載荷、飛輪等轉動部件沒有合適的工作頻率范圍，進而需要對轉動部件或者太陽翼作出更改，造成不必要的浪費。因此，合理的動力學頻譜規劃和控制系統設計，要求提供準確的衛星在軌振動頻率，尤其對于具有太陽翼等撓性附件的衛星，需要提供準確的振動頻率范圍，而不是一個標稱值。

對于所有具有撓性附件的衛星，在軌振動頻率為非約束模態頻率，與地面約束模態頻率不同，這在很多文獻中已有闡述。文獻[2]給出了采用混合坐標法計算撓性航天器系統頻率，文獻[3]給出撓性衛星在軌非約束模態計算方法，文獻[4-8]對帶撓性太陽翼的衛星動力學進行了建模與仿真分析，但都是針對衛星在某些固定構型的情況，并未對太陽翼轉動到不同角度時的變化規律展開分析。

通常可以獲得在地面固支約束下比較準確的太陽翼固有模態頻率，本文以此為輸入，從混合坐標方程出發，通過合理簡化得到衛星在軌線性振動方程，求解方程特征值可以得到衛星在軌振動頻率。將太陽翼轉動角度設為自變量，覆蓋全部轉動角度范圍，可求得太陽翼不同轉角時的衛星在軌振動模態頻率，為衛星動力學頻譜規劃和控制系統設計提供比較準確的輸入。

2 具有太陽翼的衛星動力學建模

具有單個太陽翼的衛星構型如圖1所示，坐標系定義如下：衛星布局系XLYLZL是根據布局和裝配的需求，以衛星上特定點和與衛星幾何構型相關的方向定義的；整星坐標系XsYsZs與星體固連運動，原點在整星質心Os，坐標軸與布局系平行；衛星本體系XbYbZb與星本體固連運動，原點在本體質心Ob，坐標軸與布局系平行；太陽翼系XaYaZa與太陽翼固連運動，原點在安裝點Oa，相對于星體系+Y軸按右手方向轉過的角度為θ，當太陽翼轉角θ=0°時坐標軸與衛星系平行。

圖1 具有單個撓性太陽翼的衛星構型示意圖Fig.1 Configuration of a satellite with one rotatable flexible solar wing

衛星系到太陽翼系的轉換關系矩陣可描述為

(1)

衛星本體質量為mb，相對于其質心在衛星本體系下描述的慣量矩陣為Jb；太陽翼質量為ma，相對于其質心在太陽翼系下描述的慣量矩陣為Ja，衛星整星質量為ms，相對于衛星質心在衛星坐標系下描述的慣量矩陣為Js(隨太陽翼轉動發生變化)。利用拉格朗日法在衛星坐標系下建立撓性衛星動力學混合坐標方程為

(2)

式中：方程變量v、ω和η，分別為衛星質心平移線速度、衛星繞質心轉動角速度和太陽翼模態坐標；ω×代表ω的叉乘矩陣；Ω為太陽翼約束模態頻率對角矩陣；ζ為太陽翼振動的阻尼比對角矩陣；Bt和Br分別為太陽翼相對于衛星質心的平動和轉動耦合系數；F、T分別為外部力學環境的合力和合力矩。隨著太陽翼轉動，Js、Bt和Br將隨太陽翼轉動發生變化，除變量v、ω和η以外的其他量保持定常。

3 衛星在軌模態變化規律分析

在小幅振動情況下，衛星在軌模態是衛星的固有特性，與外部環境作用無關，可忽略方程組中的外干擾力F和力矩T；撓性振動對星體角速度影響較小，角速度ω視為一階小量，衛星陀螺力矩項作為角速度的二階小量可忽略。方程組(2)變為

(3)

將方程組(3)前兩式代入第三式，得到以模態坐標η為變量的衛星系統結構動力學方程：

(4)

式中：E為單位陣；Bt和Br為太陽翼的耦合系數。

(5)

式(4)中的Js為衛星慣量在衛星系投影。

Js=Jb+Ib+AbaJaAab+Ia

(6)

式中：Ib和Ia分別為太陽翼和星本體在其質心處的集中質量相對衛星系的轉動慣量。

(7)

式中：rSB為衛星質心到星本體質心的矢量在衛星系分量；rSC為衛星質心到太陽翼質心的矢量在衛星系分量。

由于太陽翼質心不一定在轉軸延長線上，轉動時衛星質心也會存在微小變化，故與衛星質心相關的rSA、rSB和rSC均隨太陽翼轉動發生變化，當太陽翼質心離轉軸距離較近時，太陽翼轉動對衛星質心的影響可忽略，則這3項可視為常量。

對式(4)采用拉氏變換處理后，得到衛星結構動力學特征方程：

(8)

當θ取值從0°～360°時，得到相應的Js、Bt和Br，代入式(8)求解特征值，即得到與太陽翼轉動角度相關的各階衛星系統模態頻率。

4 計算實例

某安裝單個太陽翼的太陽同步軌道遙感衛星構型與圖1類似，質量特性參數如表1所示。

表1 衛星質量特性參數

太陽翼約束模態固有頻率、阻尼和相對于安裝點的平動耦合系數、轉動耦合系數，如表2所示。撓性太陽翼約束模態前4階振型見圖2。太陽翼系原點在布局系坐標(m)為[1.570-1.000-0.723]T。

表2 太陽翼撓性參數(前4階)

圖2 太陽翼振型圖(前4階)Fig.2 Illustrations of the solar wing mode shape ( previous 4 orders)

從振型圖像和耦合系數數據可以看出各階振型對星體的影響形式：①1階模態為彎曲基頻，Za方向的平動和Xa方向的轉動為耦合的主要分量；②2階模態為側擺基頻，Xa方向的平動和Za方向的轉動為耦合的主要分量；③3階模態為彎曲次階，Ya方向的平動和Xa方向的轉動為耦合的主要分量；④4階模態為扭轉基頻，Xa方向的平動和Ya方向的轉動為耦合的主要分量。

當太陽翼轉到不同角度時，其撓性特性對衛星本體系的耦合作用也隨之變化。將表1和表2數據代入式(8)求解特征方程，太陽翼轉角從1°～360°每隔1°進行一次特征值求解，形成衛星系統模態頻率前4階變化曲線如圖3所示。

圖3 衛星系統模態頻率變化曲線Fig.3 Satellite mode frequencies variation diagram

從圖3可以看出，1、2階衛星系統模態頻率分別對應太陽翼彎曲、側擺的基頻。由于星體在X和Z軸方向的慣量差距較大，隨著太陽翼轉動一周，1、2階衛星系統模態呈現2個周期的波動；第3階模態波動形式與1階相同，但由于其耦合系數較小，頻率波動幅度不明顯；第4階衛星系統模態由太陽翼扭轉模態引起，由于太陽翼轉動過程中衛星Y方向慣量變化較小，對應的衛星系統模態近似恒定不變。

5 與衛星在軌遙測數據對比的驗證

該衛星在發射后入軌初期進行了軌道修正，在調軌道的前后期間都采用了噴氣斜開關線姿態控制方式。姿態推力器噴氣會引起太陽翼撓性振動(圖4)，導致星體角速度發生變化(圖5)，相當于對衛星動力學系統的隨機擾動。太陽翼通過安裝點與衛星本體相連，太陽翼在軌撓性振動會傳遞到星本體，引起星本體姿態角速度同步抖動，因此，通過處理星上陀螺測量的衛星本體角速度數據，可以間接識別出太陽翼撓性振動響應特征。

圖4 姿態推力器噴氣激起太陽翼撓性振動Fig.4 Flexible vibration caused by thruster jet

對遙測數據進行頻域特性分析。從接入噴氣開始每100 s數據對姿態角速度數據進行一次快速傅里葉變換。將所有傅里葉頻域曲線并排可以分析出太陽翼相對星體不同角度時衛星系統結構動力學響應特性，軌道控制時如圖6所示，可見，當太陽翼轉到40°(圖6中坐標為400°)附近時進行了軌控噴氣，在各個頻段上均有較大響應，隨后太陽翼進行了快速驅動。

將算例中的理論分析結果與在軌遙測數據分析結果對比如圖7～9和表3所示。圖6～9中，當太陽翼位于某轉角時，對某頻率成分激勵的動力學響應越大，則顏色偏紅；反之則偏藍。

圖5 衛星在軌滾動角速度Fig.5 On-orbit rolling angular velocity of satellite

圖6 太陽翼轉動期間衛星結構動力學響應Fig.6 The structure dynamic response of satellite duringsolar wing rotation

圖7 衛星系統模態1階(太陽翼彎曲)頻率對比Fig.7 Comparison of satellite 1st order mode frequencies (solar wing bending)

從對比結果可知，太陽翼彎曲1階和側擺1階模態對應的衛星基頻計算結果與在軌數據的符合性較好；在有限元建模中太陽翼彎曲2階模態頻率的計算精度受1階影響很大，可能高于遙測采樣頻帶，在頻率結果中未體現；太陽翼扭轉1階模態誤差較大，可能包含地面模態測試和有限元建模誤差。但太陽翼彎曲2階和扭轉1階模態的耦合系數均較小，其對衛星姿態穩定度影響有限。

圖8 衛星系統模態2階(太陽翼側擺)頻率對比Fig.8 Comparison of satellite 2nd order mode frequencies (solar wing swaying)

圖9 衛星系統模態3，4階(太陽翼扭轉)頻率對比Fig.9 Comparison of satellite 3rd/4th order mode frequencies (solar wing twisting)

表3 衛星在軌模態頻率與計算結果對比匯總表

6 結論

本文針對具有撓性太陽翼的衛星撓性動力學進行了研究。利用衛星動力學混合坐標方程推演出衛星結構動力學特征方程，從而給出了太陽翼在不同轉角時衛星在軌模態頻率的計算方法。以某單太陽翼遙感衛星為例進行了在軌模態頻率計算，頻率值隨著太陽翼轉動按照正(余)弦規律變化。通過衛星遙測數據分析結果與衛星基頻計算結果的對比，對姿態穩定度影響比較大的太陽翼彎曲和側擺基頻對應的衛星模態，其太陽翼不同角度時的計算相對誤差分別為6.2%和1.9%，驗證了具有太陽翼的衛星在軌模態頻率計算方法的準確性，可以為整星動力學頻譜規劃提供比較準確的輸入條件。

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On-orbit Mode Frequencies Computing Method of Satellite with Different Rotational Angles of Solar Wing

XIANG Mingjiang1LI Mengyu2LYU Wang1,3DU Jichao4

(1 Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 201109, China)(2 Shanghai Academy of Spaceflight Technology, Shanghai 201109, China)(3 School of Aerospace, Tsinghua University, Beijing 100084, China)(4 Hong Feng Control Co. Ltd. of Sanjiang Aerospace Corp, Xiaogan, Hubei 432000, China)

The flexible vibration frequency of the satellite changes with rotation of the solar wing, it is important to avoid resonance especially in the dynamics frequency planning. In this paper, the flexible dynamics of satellite with rotatable solar wing is researched, and the change of the satellite mode frequencies affected by the configuration variation is studied. Firstly, the hybrid coordinate equations of flexible dynamics of satellite are given to deduct the structural dynamics equations of the whole satellite. Secondly, the characteristis equation of the on-orbit modes is given, then the satellite mode frequencies are solved for every rotational angle of solar wing. Finally, a remote sensing satellite is taken for example to verify the accuracy of the method by compare the on-orbit data with the computing result.

solar wing; flexible vibration; on-orbit modes; frequency calculation

V412.4

A

10.3969/j.issn.1673-8748.2017.04.006

2017-04-25；

2017-07-19

向明江，男，工程師，研究方向為航天器動力學與控制技術。Email: okboy129214@sina.com。

(編輯：張小琳)