對偶錐映像上的問題

張創亮

(廣東工業大學應用數學學院,廣東廣州510520)

對偶錐映像上的問題

張創亮

(廣東工業大學應用數學學院,廣東廣州510520)

本文研究了對偶錐映像上的一些非線性問題.利用拓撲度理論和半序的方法,獲得了對偶錐映像的銳角原理,Debrunner-Flor不等式和不動點定理的結果.推廣了一般單調映像的銳角原理和Debrunner-Flor不等式的一些結果.

對偶錐映像;銳角原理;Debrunner-Flor不等式;不動點

1 引言

近年來,非線性泛函分析在各個方面得到廣泛的應用,尤其在處理非線性積分方程方面所用的方法起到了不可忽視作用,在國內外也有不少學者研究這個課題.在郭大均[1]一書中介紹對偶映像的單調性、半連續性、次連續性等;Deimling[2]也介紹一些很好的結果.本文主要針對這些性質的一些問題在對偶錐映像上進行研究,在對偶映像上成立的問題,在對偶錐映像上不一定成立,當然我們更希望可以把對偶映像的大部分性質搬到對偶錐映像上來.

本文總假設E是實Banach空間,E?表示其對偶空間,本文中的?表示弱收斂,?表示弱*收斂.

定義1.1[1]如果P?E是非空凸閉集,并且滿足下面兩個條件

(1)x∈P,λ≥0,則λx∈P;

(2)PT(?P)={0}.

則稱P是E的一個錐.

用P0表示P的內點集,如果P0非空,則稱P是E的一個體錐.如果任意的x∈E都可以表示成x=y?z的形式,其中y∈P,z∈P,則稱錐P是再生的.易知P是E的一個體錐,則P是再生的.給定E的一個錐P后,則可在E中的元素引入半序:x≤y,其中x,y∈E,如果y?x∈P.

例1設E=Lp(?),p≥1,0＜mes(?)＜+∞.令P={?:? ∈Lp(?),?(x)≥0},顯然P是Lp(?)的一個錐,但不是體錐.

定義1.2[2]設E是實Banach空間,P?E,則P?={x?∈E?:x?(x)≥0,?x∈P},則稱P?為P的對偶錐.

令A:P→P?,稱A是對偶錐映像.很顯然,對偶錐映像只是對偶映像T:E→E?的一種特殊情況.不難知道對偶錐可能不是對偶空間上的一個錐.易知P是再生錐,可得P?是一個錐.事實上,只需驗證P?T(?P?)={0?}即可,其中0?表示零元素.

例2設E=R2,P={(x,y):x≥0,y=0},則P?={(u,v):u≥0,v∈R}不是E?=R2的一個錐,但它是P的對偶錐.

定義1.3[1]設E是實Banach空間,P?E是一個錐,P?為P的對偶錐,若映像A:P→P?,

(1)設x0∈P,A在x0處次連續,是指若xn∈P,xn→x0,則Axn?Ax0.若A在P中每一點都次連續,則稱A在錐P上次連續.

(2)設x0∈P,A在x0處半連續,是指若h∈E,xn∈P,tn＞0,x0+tnh∈P,tn→0+,則Axn?Ax0.若A在P中每一點都半連續,則稱A在錐P上半連續.

顯然,A在x0處次連續?A在x0處半連續.反之不成立.

定義1.4[1](1)設E是實Banach空間,P?E是一個錐,P?為P的對偶錐,若映像A:P→P?,若A稱為在P上單調,是指(Ax?Ay,x?y)≥0,?x,y∈P.

(2)若A稱為在P上極大單調,是指(Ax?f,x?y)≥0,?x∈P?y∈P,f(y)∈P?.

多值映像A:P→2P?叫做單調的,如果它的圖像G(A)={[x,y]:x∈P,y=Ax}是P×P?中的單調集.A:P→2P?叫做極大單調的,如果它的圖像G(A)是P×P?中的極大單調集.

定義1.5[3]設E是實Banach空間,P是一個錐,對x,y∈P{0},令

其中inf(?)=+∞,sup(?)=?∞.易知對上述非空集合有關系式

現在給Hibert投影距離的定義

定義1.6設E是實Banach空間,P?E是一個體錐,P?是一個錐,若映像A:P0→P?{0?},?xn,x0∈P0,n=1,2,···,ρ(xn,x0)→0,則ρ(Axn,Ax0)→0,稱A在x0處Hilbert投影距離連續.

定理1.1[1]設E是自反實Banach空間,映像T:E→E?半連續、單調.又設對于某個r＞0,有

其中?r={x:x∈E,‖x‖＜r},那么方程Tx=0?在中必有解.

定理1.2[1]設E是實Banach空間,K是E中緊凸集,G?K×E?且G是單調集.又設T:K→E?是連續映像,h∈E?.于是,必有u∈K存在,使得

2 主要結果

引理2.1設E是自反實Banach空間,P?E是一個體錐,P?為P的對偶錐,若映像A:P→P?單調的,那么A在x0∈P0半連續且局部有界?A在x0處次連續.

[1,2]共軛映像上類似的證明方法就可得到引理2.1.

引理2.2[4]設E是賦范線性空間,X是E的凸子集,若X是閉的當且僅當它是弱閉的.

下面定理是對定理1.1推廣到對偶錐映射上.

定理2.1設E是自反實Banach空間,P?為P的對偶錐,若映像A:P→P?次連續、

單調.設任意r＞0,使得則Ax=0?在有解.

證由引理2.2可知有界弱閉集,對任意的x∈P,令

很顯然Fx是弱閉集,任取x1,x2,x3,···,xm∈P,則事實上,不妨令

易知E0是至多m維向量閉子空間F0的閉凸子集,定義映像T:E0→F0,其中

由于假設可知A是E0上次連續,從而可得T:E0→F0是連續的,令

現在先證明Tx=0在中必有解,若0/∈Tx,則由Brouwer度deg(T,?r,0,0)=0,但 deg(I,?r,0,0)=1,其中I為恒等映射.因此A與I在?r,0不同倫,從而存在x0∈??r,0,0＜t0＜1,使得t0Tx0+(1?t0)x0=0,即則有

在式子(2.2)兩端左邊同時作用Ax0得到

由于(Ax0,x0)≥0,因為x0∈ ??r,0?P,故(Ax0,xi)=0,i=1,2,···,m,由(2.2)式可以知道x0=0,這與x0∈??r,0矛盾.這就得出了Tx=0在中有解即

由于對偶錐的性質和xi≥0,從而可以得到()=0,i=1,2,···,m,現任取x∈E0,那么有其中,α≥0,j=1,2,···,m,則()=0,又0,從而此時注意到A的單調性

令t→0+,可得

故Ay=0?.

推論2.1設E是自反實Banach空間,P?E是一個體錐,P?為P的對偶錐,若映像A:P→P?半連續、單調的,?P是連續的,在P0處局部有界.設任意r＞0,使得則Ax=0?在有解.

證由引理2.2可知有界弱閉集,對任意的x∈P,令

很顯然Fx是弱閉集,任取x1,x2,x3,···,xm∈P,要證令

定義Tx=(Ax,x1)x1+(Ax,x2)x2+···+(Ax,xm)xm,x∈E0,由于A在P0處半連續且局部有界,由引理2.1可知A在P0是次連續,又A在?P是連續的,從而可知T在E0上連續.接下來按照定理2.1證明即可.

注1定理2.1和推論2.1是單調映像銳角原理的推廣.

下面來討論一下著名的Debrunner-Flor不等式.

定理2.2設E是實Banach空間,P是E的一個體錐,K是P中緊凸子集,G?K×P?且G是單調集.又設T:K→P?是連續對偶錐映像,h∈P?.于是,必有u∈K存在,使得

證參考文獻[1]的類似證明方法即可.

此外還有有限維空間的Debrunner-Flor不等式和一般空間的Debrunner-Flor不等式在對偶錐映像上是否成立,本文不再談論,有興趣的讀者可以自行驗證.

定理2.3設E是實Banach空間,P?E是一個錐,P?為P的對偶錐,且P?是一個錐,若映像A:P→P?是增算子,對任意的x,y∈P,y?x∈P,則(Ax?Ay,x?y)≥0.

證?x,y∈P,y?x∈P,則有x≤y,又由于A是增算子,那么Ax≤Ay,根據P?是一個錐,就有Ay?Ax∈P?,則(Ax?Ay,x?y)≥0.

定理2.4設E是實Banach空間,P是E的一個錐,若A:P→P?半連續、單調,則T必是極大單調.

證證明方法與文獻[2]類似.

引理2.3[3]設E是實Banach空間,P?E是一個體錐,對x,y∈P0,ρ(x,y)是P0上的一個擬距離,即滿足

(1)x∈P0?ρ(x,x)=0,

(2)x,y∈P0?ρ(x,y)=ρ(y,x),

(3)x,y,z∈P0? ρ(x,y)≤ ρ(x,z)+ρ(y,z).

另外易知

(4)x,y∈P0,α ＞0,β ＞0? ρ(αx,βy)=ρ(x,y),

(5)ρ(x,y)=0?x=αy,其中α＞0.

令P1=P0T{x:x∈E,‖x‖=1},于是由(5)知(P1,ρ)是一個距離空間.

(6)設范數關于單調的(即0≤x≤y?‖x‖≤‖y‖),則(P1,ρ)是完備的距離空間.

當P?是體錐時也有上面類似結果.

注2若P是一個體錐,其中表示錐P?的內點集且非空,一般會認為利用完備的度量空間和Banach壓縮映像原理可以得出A有不動點,這種想法顯然不對,因為A是將P1中元素映射成共軛空間上的泛函,不是P1本身的元素,若E是Hilbert空間,則上述的想法是對的,因為每個Hilbert空間的泛函就是它本身,一般情況下,我們比較感興趣的是Banach空間上的性質,以致下面定理為了得到不動點,引入了線性算子作用在共軛空間上.

定理2.5設E是實Banach空間,P?E是一個體錐,設范數關于P單調的,P?是一個體錐,A:P0→P0?是正增p齊次的,0＜p＜1,j:P?→P0是增的線性算子,則jA在P0中必有唯一的不動點.

證假定0＜p＜1,由和A的增正p齊次性知

由于j是增線性算子

那么

根據Hilbert投影距離的定義知

故jA在P0中有不動點x1.現在證明它的不動點是唯一的,假設它還有另一個不動點x2,jA(x2)=x2,因

可知

則可以推出t=1,即是x1=x2.

注3在這里取P=P?,此時在這里的線性增算子定義j=I為恒等算子,此時只需要討論A:P0→P0,這個結果在文獻[1]中可以查閱.

若應用注3里面的條件,就會有下面例子的成立.

例3設非線性積分方程其中0＜p＜1,f(x,y)在G×G非負連續且表示Rn中某有界閉區域,那么非線性積分方程在G上具有唯一的恒正連續解.

當知道P和P?是一個體錐,假設A:是p正齊次的,0＜p＜1,并且是增的,得出A在P1上是一個Hilbert投影距離連續算子.

事實上,假定0＜p＜1,?x,y∈P1,由A的增正p齊次性知

則

若?x,y∈P1,ρ(x,y)→0,則ρ(Ax,Ay)→0,即是A在P1上Hilbert投影距離連續.顯然Hilbert投影距離連續并不能推出依范數連續.

首先思考當Hilbert投影距離連續時要滿足什么條件就可推出依范數連續,反之也是否能成立,下面定理就是所要討論的結果.

定理2.6設E是實Banach空間,P和P?是一個體錐,范數分別關于P和P?單調的,映像A:若A在P1上Hilbert投影距離連續,則它是依范數連續.

證任意取xn,x0∈P1,使得又因由于范數關于P單調的,則

即是

故當n＞N時,恒有

由任意的ε,可以知道由假設映像A:是Hilbert投影距離連續,對上面的ρ(xn,x0)→0,則ρ(Axn,Ax0)→0.當若對有由于范數關于P?單調的,則

那么

故

故A在P1上依范數連續.

定理2.7設E是實Banach空間,P和P?是一個體錐,范數分別關于P和P?單調的,映像A:若A在P1上是依范數連續,則它是Hilbert投影距離連續.

證若對取xn,x0∈P1使得ρ(xn,x0)→0,根據定理2.6的證明可以知道‖xn?x0‖→0,由假設A:是依范數連續,故接下來同樣按定理2.6類似證明可以得出ρ(Axn,Ax0)→0.

注4由定理2.6,定理2.7可以知道當P和P?是一個體錐,范數關于P和P?單調時,可以得出映像A:是Hilbert投影距離連續與依范數連續等價.

參考文獻

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PROBLEMS OF DUAL CONE MAPPING

ZHANG Chuang-liang
(College of Applied Mathematics,Guangdong University of Technology,Guangzhou 510520,China)

In this paper,we study some nonlinear problems of dual cone mapping.By using topological degree theory and partial order methods,we get the results of the acute angle principle,Debrunner-Flor inequality and fixed point theorem for dual cone mapping.Some results in the document are improved and extended.

dual cone mapping;acute angle principle;Debrunner-Flor inequality; fixed point

47H05;47H07

O177.91

A

0255-7797(2017)06-1245-08

2016-09-27接收日期:2017-04-19

國家自然科學基金資助(11601093).

張創亮(1992–),男,廣東梅州,碩士,主要研究方向:非線性泛函分析.