對偶錐映像上的問題

張創亮

(廣東工業大學應用數學學院,廣東廣州510520)

對偶錐映像上的問題

張創亮

(廣東工業大學應用數學學院,廣東廣州510520)

本文研究了對偶錐映像上的一些非線性問題.利用拓撲度理論和半序的方法,獲得了對偶錐映像的銳角原理,Debrunner-Flor不等式和不動點定理的結果.推廣了一般單調映像的銳角原理和Debrunner-Flor不等式的一些結果.

對偶錐映像;銳角原理;Debrunner-Flor不等式;不動點

1 引言

近年來,非線性泛函分析在各個方面得到廣泛的應用,尤其在處理非線性積分方程方面所用的方法起到了不可忽視作用,在國內外也有不少學者研究這個課題.在郭大均[1]一書中介紹對偶映像的單調性、半連續性、次連續性等;Deimling[2]也介紹一些很好的結果.本文主要針對這些性質的一些問題在對偶錐映像上進行研究,在對偶映像上成立的問題,在對偶錐映像上不一定成立,當然我們更希望可以把對偶映像的大部分性質搬到對偶錐映像上來.

本文總假設E是實Banach空間,E?表示其對偶空間,本文中的?表示弱收斂,?表示弱*收斂.

定義1.1[1]如果P?E是非空凸閉集,并且滿足下面兩個條件

(1)x∈P,λ≥0,則λx∈P;

(2)PT(?P)={0}.

則稱P是E的一個錐.

用P0表示P的內點集,如果P0非空,則稱P是E的一個體錐.如果任意的x∈E都可以表示成x=y?z的形式,其中y∈P,z∈P,則稱錐P是再生的.易知P是E的一個體錐,則P是再生的.給定E的一個錐P后,則可在E中的元素引入半序:x≤y,其中x,y∈E,如果y?x∈P.

例1設E=Lp(?),p≥1,0＜mes(?)＜+∞.令P={?:? ∈Lp(?),?(x)≥0},顯然P是Lp(?)的一個錐,但不是體錐.

定義1.2[2]設E是實Banach空間,P?E,則P?={x?∈E?:x?(x)≥0,?x∈P},則稱P?為P的對偶錐.

令A:P→P?,稱A是對偶錐映像.很顯然……