一個雙曲-橢圓耦合系統解的存在唯一性

師建國,周厚勇

(黃淮學院數學與統計學院,河南駐馬店 463000)

一個雙曲-橢圓耦合系統解的存在唯一性

師建國,周厚勇

(黃淮學院數學與統計學院,河南駐馬店 463000)

本文研究了一個雙曲-橢圓耦合系統.通過能量方法建立了有關微分算子的一些先驗估計,構造了一個閉線性算子,證明了該閉線性算子為一個有界收縮線性算子半群的無窮小生成元.在此基礎上,利用半群理論具體證明了雙曲-橢圓耦合系統解的存在唯一性.

雙曲-橢圓耦合系統;解;存在唯一性;閉算子;半群理論

1 引言

Navier-Stokes方程組反映了粘性流體流動的基本力學規律,它是流體力學、氣象學、航天學、環境工程和數學中非常重要的方程組之一,可以用于水流、空氣動力學的研究以及污染效應的分析[1].它是個非線性偏微分方程組,對于像這樣的非線性偏微分方程組求精確解非常困難和復雜,目前只有在某些十分簡單的問題上能求得精確解,在大部分情況下,只能求得近似解[2–4].對于夾在上下兩壁面之間且上下兩壁面可滲透的流體流動,其滿足Navier-Stokes方程組系統

對于像空氣、水等流體的流動來說,Navier-Stokes方程組中流體的粘性系數ε往往是很小的,因此為了求得近似解,可利用奇異攝動理論使方程組簡化[5–7]進而得到一致有效的近似解,也就是說可以研究上述Navier-Stokes方程組系統當ε→0時的極限問題.作為研究Navier-Stokes方程組系統極限問題的一部分,考慮它的簡單一點兒的情況,研究線性化Navier-Stokes方程組系統當ε→0時的極限問題.考慮將Navier-Stokes方程組關于穩態解(0,0,?U)攝動后去掉非線性項的情況,即先令然后去掉非線性項即得

其中D3vε表示vε關于z的偏導數,這是一個線性化Navier-Stokes方程組系統.

注意(0,0,?U)是Navier-Stokes方程組當外力為零時的穩態解.

在研究線性化Navier-Stokes方程組系統極限問題時,利用奇異攝動理論結合解的適定性需要,得到了一個雙曲-橢圓耦合系統

其中v=(v1,v2,v3)為無粘性流體的流速,p為壓力,v,p在x方向以L1為周期,v,p在y方向以L2為周期,U為常數,?=(0,L1)×(0,L2)×(0,h).為了更好地研究線性化Navier-Stokes方程的極限問題,首先必須解決上述雙曲-橢圓耦合系統解的存在唯一性問題.對于雙曲-橢圓耦合系統,文獻[8–10]研究了雙曲-橢圓耦合系統的柯西問題,文獻[11]研究了雙曲-橢圓耦合系統的初邊值問題,但邊界條件和這里的邊界條件差別較大.對于這里的初邊值問題除文[7]給出了證明的大概思路外,目前還沒有嚴格的證明結果.本文利用半群理論,通過能量方法具體證明了上述雙曲-橢圓耦合系統中解的存在性唯一性.

2 一個閉線性算子的構造

為了給出弱解的定義,需要確定試驗函數所在的空間以及解函數所在的空間.根據研究問題的邊界條件特點和弱解對試驗函數的要求取希爾伯特空間

作為試驗函數所在的空間.在研究線性化Navier-Stokes方程組的極限問題時,對弱解正則性是有一定要求的,比如要求D3v∈(L2(?))3或zD3v∈(L2(?))3,如果所研究的問題中沒有壓力項和divv=0,則在通常邊界條件下,通過能量方法等,可以得到D3v的(L2(?))3模估計,根據解函數所在的空間對可解性和極限問題解的正則性的要求,可取

作為解函數所在的空間.但目前所研究的問題中含有壓力項和divv=0,由所研究問題根據問題邊界條件無法得到D3v的(L2(?))3模估計,但能得到zD3v的(L2(?))3模估計,這種估計也符合在研究線性化Navier-Stokes方程組極限問題時對弱解正則性的要求,因此根據解函數所在的空間對可解性和對弱解正則性的要求,這里確定

作為解函數所在的空間.為了以后使用方便,記

對X賦予以下范數:對任意對H和Y分別賦予(L2(?))3和L2(?)空間的范數.

為了研究問題(1.3)的解,對λ為實常數,首先給出問題

的弱解定義,進而構造閉線性算子.

定義若對v∈X,p∈Y有

成立,則稱(v,p)為問題(2.1)的弱解.

定理1對任意f∈H,對任意λ,問題(2.1)有唯一弱解v∈X,p∈Y,當λ＞0時,有其中M1是只與區域?和λ＞0有關的常數.

注這里要求f∈H是不失一般性的.事實上Hodge分解定理[12]告訴我們,對任意有唯一的正交分解u=w+▽q,divw=0且

對于一般的外力項f,由Hodge分解定理知f=f1+▽f2,divf1=0,則由

得

用p?f2,f1代替p,f即可.

證以z為參數做v∈X和p∈Y關于變量x,y的傅里葉變換容易證明對任意f∈H,對任意λ,問題(2.1)有唯一弱解v∈X,p∈Y.下面證明當λ＞0時,有

在方程?UD3v+λv+▽p=f兩邊分別與v∈X作內積,然后在?上積分并分部積分,注意到解的邊界條件和不可壓縮條件,有

由上式并利用Holder不等式和Cauchy不等式得

其中C1是只與區域?和λ＞0有關的常數.

由Magenes-Stampacchia的結果[13]得|p|L2(?)≤M1|f|H,證畢.

由定理1,對任意f∈H,對任意λ,問題(2.1)有唯一弱解v∈X,p∈Y,為此可以利用問題(2.1)的解v∈X,f∈H,定義線性算子Aλ如下:Aλv=f,Aλ的定義域D(Aλ)=X.

由定理1,對任意f∈H,λ=0,有v∈X,p∈Y是問題

的弱解.對此定義算子A:Av=f,D(A)=X,顯然A=Aλ?λI或Aλ=A+λI.

定理2對問題(2.1)的任意弱解v∈X,當λ＞0時,有‖v‖X≤M2|f|H,其中M2是只與區域?和λ有關的常數.

證在方程?UD3v+λv+▽p=f兩邊分別與?z2D3v∈(L2(?))3作內積,然后在?上積分并分部積分,注意到解的邊界條件和不可壓縮條件,利用Holder不等式和Cauchy不等式得

注意到v(x,y,h,t)=0,有

注意到v,p在x方向以L1為周期,v,p在y方向以L2為周期,得

因為v1(x,y,h)=v2(x,y,h)=0,所以v1x(x,y,h)=v2y(x,y,h)=0,又由不可壓條件知v1x(x,y,h)+v2y(x,y,h)+v3z(x,y,h)=0,進而v3z(x,y,h)=0,故

所以|zD3v|L2(?)≤C3|f|H,其中C2,C3是只與區域?和U,λ＞0有關的常數.

注意到|UD3v?▽p|H=|f?λv|H,有‖v‖X≤M2|f|H.

定理3線性算子Aλ(λ＞0)是一個閉線性算子.

證設vn∈D(Aλ),且在H中有vn→v,Aλvn=fn→f∈H,由Aλ定義知vn∈X,pn∈Y是問題(2.1)的解,進而滿足

對于f∈H,由定理1知,存在使得是問題(2.1)的解,從而是問題(2.1)的解,則由定理2有所以vn在X收斂于又X是H的子空間,所以即vn在X收斂于v,在(2.2)式和中令n→∞得

且‖v‖X≤M2|f|H,即v∈D(Aλ)=X,Aλv=f,所以線性算子Aλ是閉線性算子.

注容易證明若B是D(B)到H中的閉線性算子,則B+ωI是D(B)到H中的閉線性算子,其中ω為一個常數.

利用定理3和上面的事實,注意到A=Aλ?λI,有

定理4線性算子A是一個D(A)=X到H中的閉線性算子.

3 雙曲-橢圓耦合系統解的存在唯一性

定理5設f∈C1([0,+∞);H),v0∈H,則雙曲-橢圓耦合系統(1.3)在C1(R+;D(A))∩C1(R+;H)中存在唯一解.

證由定理4知線性算子A是一個D(A)=X到H中的閉線性算子,從而?A也是閉線性算子.

在C1(R+;D(A))∩C1(R+;H)中存在唯一解.

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THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF THE SOLUTIONS TO THE HYPERBOLIC-ELLIPTIC COUPLED SYSTEM

SHI Jian-guo,ZHOU Hou-yong
(School of Mathematics and Statistics,Huanghuai College,Zhumadian 463000,China)

In this paper,we study the hyperbolic-elliptic coupled system. By the energy method,we establish a priori estimates of the differential operator,construct the closed linear operator and claim the closed linear operator is the in finitesimal generator of the bounded incompressible linear operator semigroup.We prove the existence and uniqueness of the solutions to the hyperbolic-elliptic coupled system by the semigroup theory.

the hyperbolic-elliptic coupled system;the solutions;the existence and uniqueness;the closed operator;semigroup theory

35M10

O175.28

A

0255-7797(2017)06-1253-08

2016-10-17接收日期:2017-01-24

河南省科技計劃項目(基礎與前沿)基金資助(162300410084).

師建國(1965–),男,河南遂平,教授,主要研究方向:偏微分方程.