兩粒子的Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組中一個算子的緊性證明

李增明,黃莉茸

(暨南大學信息科學技術學院數學系,廣東廣州 510632)

兩粒子的Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組中一個算子的緊性證明

李增明,黃莉茸

(暨南大學信息科學技術學院數學系,廣東廣州 510632)

本文主要研究緊算子在Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組中的應用的問題.利用緊算子的定義,獲得了描述不同質量兩粒子模型的線性Boltzmann算子的一個緊性結果.

賦范空間;緊算子;Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組;Boltzmann碰撞算子

1 引言

本文研究帶不同質量兩粒子線性Boltzmann算子的性質.這類線性算子在Vlasov-Maxwell-Boltzmann模型中有著重要的應用.Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組是分子動理學理論中一類常見的方程組,可以用來描述弱電離化的等離子體中各種粒子比如說離子和電子的動力學行為[19].對于兩族的不考慮物理參數如粒子質量、電量等的Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組的經典解的存在性以及大時間行為的研究已經取得了很多重要的成果,見Guo[16]、Strain[24]、Duan-Strain[13]、Duan-Lei-Yang-Zhao[12]、Lei-Zhao[23]、Ha-Xiao-Xiong-Zhao[17]等在碰撞核截斷情形的工作,以及Duan-Liu-Yang-Zhao[11]、Fang-Lei[15]等在碰撞核非截斷情形的工作.我們知道帶正電的離子和帶負電的電子其質量一般相差較大,因此從物理角度來講,Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組應該考慮兩種粒子的質量的影響,注意到Duan-Liu[10]以及Huang-Liu[18]近期關于帶不同質量的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程組的非平凡解穩定性的研究工作,證實了兩種粒子質量不同,所遇到的困難會更大.因此對帶不同質量兩粒子線性Boltzmann算子的研究具有深刻的意義.此外,還注意到Boudin-Grec-Pravic-Salvarani[8]最近研究了多族的在整體Maxwellian附近的線性Boltzmann算子的緊性性質,本文討論來源于Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組由兩流體分解得到的在局部Maxwellian附近的線性Boltzmann算子的性質.

2 緊算子

在這里先對緊算子的相關定義、性質及其一些判別準則做一個整理和總結.緊算子的相關等價定義

定義2.1[1]設X、Y是賦范線性空間,若算子T:X→Y將X中任何有界集映成Y中的列緊集,則稱T是緊算子.如果緊算子T還是線性算子,則稱T為緊線性算子.

定義2.2[2]設X,Y是Banach空間,設T:X→Y線性;稱T是緊算子,如果在Y中是緊集,其中B1是X中的單位球.

定義2.3[3]設T是賦范空間X上到賦范空間Y中的線性算子,如果對X中任意有界集M,為Y中緊集,稱T是緊算子.

定義2.4[4]設T:D?X→Y是一連續映射,若對任意有界序列{xn}?D,Txn恒有收斂子列,則稱T為緊算子或緊映射.

由定義不難證明,緊算子的下列性質

引理2.5[1]設T:X→Y是線性算子,則下述條件相互等價

(1)T是緊算子;

(2)T把X中的單位球映成Y中的列緊集;

(3)對X中任何有界點列{xk},{Txk}存在收斂子列.

引理2.6[2]設X,Y是賦范空間,T∈B(X,Y),B(X,Y)是X到Y的有界線性算子空間,如果T是緊算子,則T把X中的弱收斂點列映為Y中的強收斂點列.

下面給出三個判別緊算子的準則和方法.

引理2.7[3]設{Tn}是賦范空間X上到Banach空間Y中的緊算子列且按范數收斂于算子T,則T也是緊算子.

引理2.8[4]設?∈Rn是一個可測集,又設K∈L2(?×?),則

是L2(?)上的緊算子.

引理2.9[5]假設K(u,v)≥0為u,v的函數,設這里其中n為正整數.若

則T在L2上是緊的.引理的證明在參考文獻[9]中已給出,這里證明略去.

3 Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組K算子的緊性證明

在弱電離化的等離子體中,帶正電的離子和帶負電的電子的動力學行為可以用如下Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組來刻畫(見文獻[16,19])

其中電場E和磁場B滿足Maxwell方程組

這里Fi=Fi(t,x,ξ)≥0,Fe=Fe(t,x,ξ)≥0可分別看作離子和電子的密度函數,x和ξ分別表示離子和電子的空間位置和速度,(t,x,ξ)∈(0,∞)×R3×R3.mi,Ze分別表示離子的質量和電量,而me,?e分別表示電子的質量和電量.

(3.1)式中Qαβ(·,·)(α,β ∈{i,e})是Boltzmann碰撞算子,這里取如下硬球模型的非對稱形式

由此易知

為方便起見,將方程組(3.1)寫成如下向量形式

這里記

現在令

并稱此形式為一個兩流體分解,其中

為標準的麥克斯韋分布,這里kα=kB/mα,kB為Boltzmann常數,nα,u,θ分別表示α-粒子的宏觀密度、速度和溫度.具體來講,(3.7)式中的[ni,ne,u,θ](t,x)由下式確定

其中ψ0i,ψ0e和ψj,j=1,2,3,4,是六個碰撞不變量,有如下形式

進一步可驗證

和

對α≠β(β∈{i,e})成立.對于(3.7)式中定義的Mα,有

引理3.1設Mα定義如(3.7)式,則

證將(3.7)式代入(3.3)式,再利用(3.4)式即可得(3.10)式.現將F的兩流體分解(3.6)代入(3.5)式可得

這里

注意到定義式(3.3),記

其中Qgainαβ和Qlossαβ分別稱為“增益項”和“虧損項”,B=|(ξ?ξ?)·ω|.由(3.11)式,可作如

下分解

其中

這里

現在記

下面將證明K是某個Hilbert空間上的緊算子,為此先引入加權L2空間,規定f∈當且僅當下面是本文的主要結論.

定理3.2設K的定義如(3.13)式,則K是到的緊算子.

證現在證明K是緊算子,即證明是緊算子,事實上只需要證明是緊算子,為緊算子同理可證.證明分以下四部分:

1°易知

再結合引理2.2[4]可知顯然是上的緊算子.

2°現證明為緊算子.對算子,注意到

令V=ξ??ξ,設ω⊥⊥ω,有V=ω(ω ·V)+ω⊥(ω⊥ ·V),且

從而變量替換ω→ω⊥意味著基于此令從而可化簡為

接著作變量替換V=ξ??ξ,可得

進一步設V=υ+W,這里υ=(V·ω)ω,W=(V?(V·ω)ω),則有dV=2dWd|υ|,并且

再由ξ?=υ+W+ξ,ξ′=ξ+υ,可將改寫為

這里Π={υ}⊥,在推導上式中還用到了

為計算(3.16)式,令η=ξ+υ,此時有

這里

將(3.18)式代入(3.17)式可得

利用引理2.2[5]可證為緊算子,具體證明可見文獻[8,9].

3°K3i的證明要更復雜,這里先證明為緊算子.

現在令ξ??ξ=V=υ+W,其中υ=(V·ω)ω,W=V?(V·ω)ω,則有

現在計算

再次利用引理2.2[5]可知為緊算子.

4°現在證明是緊算子.與的證明一樣,為了證明是緊算子,首先要將化為一個更加簡潔的形式,為此先引入下面引理.

引理3.3存在b＞0對任意的i,e滿足mi≠me及任意的ξ,ξ?∈R3和ξ′,ξ′?有

證現在對此引理給出證明,選擇mi≠me,進行變量變換(ξ?u,ξ??u,ξ′?u,ξ′??u)→(ξ,ξ?,ξ′,ξ′?):

可化為

這里I3是3×3單位矩陣.由(3.24)式可以得到

為表達簡便,記

把(3.25)式代入(3.23)式又可得到

現在考慮如下的分塊矩陣

通過計算有detA=1且A?1=A,則有

事實上(3.22)式是通過找下面這個式子的下界得到的

且其是關于ω的正函數并有這就證明了引理3.2.

綜合上述可證明積分算子K為緊算子.

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A PROOF OF COMPACT OPERATOR OF THE TWO SPECIES VLASOV-MAXWELL-BOLTZMANN EQUATIONS

LI Zeng-ming,HUANG Li-rong
(Department of Mathematics,School of Information Science and Technology,Jinan University,Guangzhou 510632,China)

In this paper,we mainly investigate an application of compact operators to the Vlasov-Maxwell-Boltzmann equations.By using the de finition of compact operators,we prove a compactness result of the linear Boltzmann operator of a two species model with different mass.

normedspace;compactoperator;Vlasov-Maxwell-Boltzmannequations;Boltzmann collision operator

35Q20;35Q79

O175.4

A

0255-7797(2017)06-1317-11

2016-10-14接收日期:2017-02-16

國家自然科學基金資助(11471142).

李增明(1992–),男,廣東廣州,碩士,主要研究方向:偏微分方程.