廣義Zbaganu常數

崔云安++張美玲

摘要：在Banach空間X中引入了一個新的幾何常數CpzX，稱為廣義的Zbaganu常數。 計算了該常數在任何Banach空間X中的上下界估計值。 同時， 給出了X是一致非方的等價條件，并討論了C（p）z（X）常數與James常數之間的關系。 最后將CpzX常數與不動點性質建立聯系。

關鍵詞：廣義Zbaganu常數；James常數；一致非方；不動點性質，正規結構

DOI：1015938/jjhust201705023

中圖分類號： O1772

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2017）05-0126-04

Generalized Zbaganu Constant

CUI Yunan，ZHANG Meiling

（Department of Mathematics， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：A new geometric constant CpzX for a Banach space X is introduced ，called the generalized Zbaganu constant Next， it is shown that the upper and the lower bounds of the constant estimation for any Banach space X Moreover， it gives the equivalent conditions of X is uniformly nonsquare and that discusses the relationship between the James constant and CpzX Finally， the relationship between C（p）z（X） and the fixed point property is found

Keywords：the generalized Zbaganu constant； James constant； uniform nonsquareness； the fixed point property； normal structure

收稿日期： 2015-11-19

基金項目： 黑龍江省自然科學基金（A2015018）

作者簡介：

崔云安（1961—），男，博士，教授，Email：cuiya@hrbusteducn

張美玲（1992—），女，碩士研究生

1預備知識

近年來，Banach空間X上有很多幾何常數被廣泛研究[1-9]。 尤其是Zbaganu常數CzX和James常數JX， 引起了廣泛的關注。 根據CzX常數引入了新的幾何常數，廣義Zbaganu常數CpzX。 當p=2時，CpzX=CzX。并且CpzX常數在Banach空間上有很多好的性質可以被應用。

在本文中，以X表示Banach空間，用BX=x∈X：‖x‖≤1和SX=x∈X：‖x‖=1分別表示Banach空間X的單位球及單位球面。下面給出與本文相關的定義以及定理。

定義1CZ（X）[10]常數定義為：

CzX=sup‖x+y‖‖x-y‖‖x‖2+‖y‖2：x，y∈X，x，y≠0，0。

定義2我們將其推廣成CpzX，定義為：

CpzX=sup‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p：x，y∈X，x，y≠0，0。

將CpzX參數化（文[11]和[12]），則

CpzX=sup‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-21+tp：x，y∈SX，0≤t≤1。

定義3James常數定義為：

JX=supmin‖x+y‖，‖x-y‖：x，y∈SX。

定義4在Banach空間中，弱正交系數定義如下：

w（X）=supr>0：limsupn→

SymboleB@ ‖x+xn‖≤rlimsupn→

SymboleB@ ‖x-xn‖，

xnX，xnw0，x∈X

定義5[13]在Banach空間中，定義w（X）的倒數如下：

uX=infr>0：limsupn→

SymboleB@ ‖x+xn‖≤rlimsupn→

SymboleB@ ‖x-xn‖，

xnX，xnw0，x∈X。

定義6X稱為具有正規結構（弱正規結構），若X的每個直徑大于0的有界閉凸子集（弱緊凸子集）C至少包含一個非直徑點，即任意x∈C，

sup‖y-x‖：y∈C=diamC=sup‖y-z‖：y，z∈C。

Banach空間X有弱正規結構（正規結構）則X具有弱不動點性質（不動點性質）[14-15]。

2主要結果

定理1當1≤p<

SymboleB@ 時，Banach空間X上的廣義Zbaganu常數CpzX滿足不等式12p-2≤CpzX≤2。

證明：1）令x=αy，

CpzX

=sup‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p：x，y∈X，x，y≠0，0

≥‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p

=1+αp21-ap22p-21+αpendprint

當α→0+時，CpzX≥12p-2。

2）CpzX

=sup‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-21+tp：x，y∈SX，0≤t≤1

≤sup‖x+ty‖p+‖x-ty‖p2p-11+tp：x，y∈SX，0≤t≤1

因為‖x+ty‖p+‖x-ty‖p≤‖x‖+t‖y‖p+‖x‖+t‖y‖p

=2‖x‖+t‖y‖p

=21+tp

所以‖x+ty‖p+‖x-ty‖p2p-11+tp≤21+tp2p-11+tp。

應用φu=u的凸性，得到

1+tp=2·1+t2p=2p1+t2p≤2p1+tp2=2p-11+tp。

所以‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-2（1+tp）≤2·2p-1（1+tp）2p-1（1+tp）=2， 因此

CpzX=sup‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-21+tp：x，y∈SX，0≤t≤1≤2。

定理2Banach空間X， 當1≤p<

SymboleB@ 時，JX≤2p-1ppCpzX。

證明：當1≤p<

SymboleB@ ，任意x，y∈SX，

min‖x+y‖，‖x-y‖p≤‖x+y‖‖x-y‖p

=2p-2‖x‖p+‖y‖pCpzX

=2p-1CpzX

所以min‖x+y‖，‖x-y‖≤2p-1ppCpzX。所以JX≤2p-1ppCpzX。

引理1[16]當1

SymboleB@ 時，Banach空間X是一致非方當且僅當存在δ∈0，1滿足對于任意x，y∈X，‖x+y2‖p+‖x-y2‖p≤2-δ‖x‖p+‖y‖p2。

根據定理2與引理1，可以得到下面的定理。

定理3當1≤p<

SymboleB@ ，Banach空間X是一致非方當且僅當CpzX<2。

證明：1）必要性根據定理2顯然得證。

2）充分性

i）當p=1時，

min‖x+y‖，‖x-y‖≤‖x+y‖‖x-y‖

所以JX≤C1zX，對于任意x，y∈SX。由已知得C1zX<2，則JX<2，得證。

ii） 當1

SymboleB@ 時，

2‖x+y‖p2‖x-y‖p2≤‖x+y‖p+‖x-y‖p

則‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-1≤‖x+y2‖p+‖x-y2‖p≤2-δ‖x‖p+‖y‖p2

所以‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p≤2-δ，得證。

根據定理2，3。得到下面的推論。

推論1對于任意的1≤p<

SymboleB@ ，Banach空間X上的不等式CpzX<2和JX<2是等價的。 此外， 如果Banach空間X滿足CpzX<2，那么X有不動點性質。

證明：如果Banach空間X是一致非方當且僅當JX<2。根據定理3，如果Banach空間X是一致非方當且僅當CpzX<2。因此， JX<2當且僅當CpzX<2。此外，任意的一致非方的Banach空間有不動點性質。所以如果Banach空間X中CpzX<2，那么X有不動點性質。

定理4Banach空間X滿足CpzX<12p-11+1uX，那么X有正規結構。

證明：如果JX<2，那么X是自反的[9]。如果X是自反的，正規結構與弱正規結構一致。假如X不是弱正規結構，那么在X中存在有界序列xn，使得下面的式子成立[17]。

1）在X中xn弱收斂到0，

2）diamxn：n=1，2，…=1，

3）對于任意x∈convxn：n=1，2，…，limn→

SymboleB@ ‖x-xn‖=diamxn：n=1，2，…=1。

固定ε>0，并且ε充分小。用上面xn的性質和uXu=uX的定義，可以得到兩個整數m，n，且m>n，滿足

1）‖xn‖≥1-ε，

2）‖xm-xn‖≤1，

3）‖xm+xn‖≤u+ε，

4）‖1+1u+εxm-1-1u+εxn‖≥1+1u+ε1-ε，

5）‖1-1u+εxm-1+1u+εxn‖≥1+1u+ε‖xn‖-ε，

因為limsup

n→

SymboleB@ ‖xm+xn‖≤ulimsupn→

SymboleB@ ‖xm-xn‖對于條件2），當m足夠大，則‖xm-xn‖≤u+ε，則3）得證。

下面證明4）和5），固定n∈N和定義u=uX。根據Mazur定理可以得到

1-1u+ε/1+1u+εxn∈convxk：k∈N（1）

因為當n→

SymboleB@ 時，xn弱收斂到0。根據Mazur定理0∈convxk：k∈N，因為（1）成立，所以假設X不具有正規結構，當m>n，有‖xm-1-1u+ε1+1u+ε‖≥1-ε 4）得證。同理5）成立。

令x=xm-xn，y=u+ε-1xm-xn，并且‖x‖≤1，‖y‖≤1，

‖x+y‖=‖1+1u+εxm-1-1u+εxn‖

≥1+1u+ε1-ε，

‖x-y‖=‖1-1u+εxm-1+1u+εxn‖

≥1+1u+ε‖xn‖-ε

≥1+1u+ε1-ε-ε，

根據CpzX的定義，

CpzX≥‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p

≥1+1u+εp21-εp21+1u+ε1-ε-εp22p-11+1。

令ε→0+，故CpzX≥12p-11+1up，與假設矛盾，得證。

3結論

本文的主要結果是在Banach空間中引入廣義C（p）z（X）常數的概念， 并在Banach空間中計算C（p）z（X）常數的上下界估計，介紹它與James常數之間的關系，并且把不動點性質與C（p）z（X）常數建立聯系[18-21]?？梢愿鶕疚挠嬎愠鰪V義C（p）z（X）在具體空間的值。

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（編輯：溫澤宇）endprint