考慮關節柔性的雙連桿機械臂振動控制及實驗研究

榮吉利，項 陽，辛鵬飛，楊永泰，項大林

(1.北京理工大學宇航學院力學系， 北京 100081；2.中科院泉州裝備制造研究所，泉州 362200;3.北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

考慮關節柔性的雙連桿機械臂振動控制及實驗研究

榮吉利1，項 陽1，辛鵬飛1，楊永泰2，項大林3

(1.北京理工大學宇航學院力學系， 北京 100081；2.中科院泉州裝備制造研究所，泉州 362200;3.北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

為了研究含有柔性關節的雙連桿柔性機械臂的振動控制問題，采用絕對坐標方法對臂桿和關節進行建模，得到了剛柔耦合的雙連桿機械臂動力學模型；對比研究了PD和LQR控制方法對柔性機械臂主動控制效果，針對柔性機械臂的實際工程需求，提出了一種LQR-PD聯合控制策略，設計了相應的控制器并進行了仿真控制研究，同時結合搭建的雙連桿柔性機械臂地面模擬平臺進行了模擬實驗。研究結果表明，該控制策略不僅能實現關節軌跡的精確跟蹤，而且能有效抑制臂桿末端的殘余振動，具有重要的工程價值和良好的應用前景。

多體系統動力學；雙連桿柔性機械臂；振動控制；軌跡跟蹤；地面仿真平臺

0 引 言

隨著空間技術的不斷發展，空間機械臂作為在軌支持、服務的一項關鍵性技術，在航天器上得到了廣泛的應用[1]。為了提高操作的機動性和靈活性，空間機械臂一般具有輕質、大跨度的特點，這注定了空間機械臂是一種強耦合、高度非線性的復雜柔性多體系統。關節柔性和臂桿柔性的客觀存在是引起空間機械臂彈性振動的根本原因。這不僅會導致控制精度降低，還會引發系統共振，使結構過早產生疲勞破壞，影響結構的使用壽命。因此有效提高空間機械臂定位精度的同時降低系統的彈性振動是亟待解決的重要問題

在空間機械臂的動力學建模方面，劉志全等[2]指出空間柔性機械臂多體動力學模型和關節動力學模型的準確建立，有利于設計控制系統，從而提高機械臂的定位精度，加速臂桿末端的振動衰減。大多數學者[3-4]采用假設模態法進行建模。假設模態法把柔性桿的變形表示為一系列模態函數的線性組合，需考慮系統特征值問題，但只能處理形狀簡單、約束條件易求的系統，且只能處理臂桿的小變形問題。絕對坐標方法[5]能夠精確的描述柔性體的大變形、大轉動的問題，同時具有常數質量矩陣、不存在科氏力、離心力項等優點。榮吉利等[6]采用該方法深入研究了柔性機械臂的動力學建模問題。

在空間機械臂的振動控制方面，目前應用較為廣泛的主動控制方法主要有PID控制、最優控制、自適應控制、智能控制等[7]。基于不同的控制策略，國內外學者在空間機械臂的振動控制問題都做出了努力。傳統PID控制很難直接應用到柔性機械臂這樣的復雜系統中，不少學者對其進行了改進并取得了較好的研究成果。Talebi 等[8]采用基于神經網絡的PD控制策略對柔性機械臂的控制問題進行了研究。劉志全等[9]采用PID結合關節力矩反饋控制方案對對接任務中的關節力矩控制問題進行了研究。鄧子辰等[10]在空間機械臂非線性動力學方程的基礎上，運用線性二次型最優控制方法，對柔性機械臂的振動控制問題進行了研究，其動力學模型并未考慮關節柔性，且忽略了臂桿的軸向變形。Wu等[11]提出了一種用于單連桿柔性機械臂末端位置控制的模型參考自適應算法，但自適應控制算法的有效實施依賴于控制過程中對模型未知參數的準確估計和辨識，這無疑增加了控制結構的復雜性，因此導致控制器的實時性降低。Zmeu等[12]基于神經網絡算法對單連桿柔性機械臂的線性模型進行了預測控制，證明該控制策略可以有效地補償模型的不確定性和脈沖干擾，但在持續激勵條件下，神經網絡權值的收斂性得不到保證，因此對于經歷過多次的同一控制任務，在每次執行時，神經網絡都需要重新進行冗余而繁瑣的訓練。楊飛飛等[13]等采用確定學習中基于模式的控制思想實現了空間機械臂基于模式的控制，但該模型中并未考慮臂桿柔性和關節柔性的耦合對于控制效果的影響。

針對上述問題，本文采用絕對坐標方法對考慮關節柔性的雙連桿機械臂進行建模。對柔性空間機械臂主動控制中的PD控制與LQR最優控制進行了對比研究，針對柔性空間機械臂的實際工程需求，提出了一種LQR-PD聯合控制策略，設計了相應的控制器，對兩自由度雙連桿機械臂進行了數值仿真和模擬實驗，驗證了該控制策略的有效性。

1 柔性機械臂動力學建模

1.1絕對坐標方法建模

自然坐標法[14]通常選取剛體上兩個固定點的位置矢量和兩個正交單位矢量作為廣義坐標，稱之為“兩點兩矢”的坐標形式，如圖1所示，該剛體具有12個廣義坐標：

(1)

其中，ri、rj分別為剛體上固定點i、j的位置矢量，u和v為剛體上固定的正交單位矢量。剛體上任意一點在全局坐標系下的位置矢量可表示為：

r=Cq

(2)

絕對節點坐標方法由Shabana等[5]提出，采用節點位移和位移梯度作為廣義坐標來描述有限單元的運動和變形，適用于研究經歷大范圍運動的柔性多體變形問題。

圖2為基于絕對節點坐標方法描述的全參數矩形梁單元模型，該單元具有24個廣義坐標：

(3)

式中：ri、rj分別為固定點i、j的位置矢量，rβ,α=?rβ/?α(β=i,j;α=x,y,z)表示固定點的斜率矢量。單元上任意一點在全局坐標系下的位置矢量可表示為：

r=Sq

(4)

式中：S為形函數矩陣，具體形式可參見參考文獻[5]。

1.2柔性機械臂關節建模

本文采用Spong等[15]提出的線性“轉子-扭簧系統”模型，該模型通過將關節簡化為扭簧，忽略關節內部傳動裝置動力傳動關系，只考慮關節輸出力矩與關節輸出運動參數關系。簡化模型如圖3所示：

在電機轉子和電機殼體上分別建立NCF坐標，分別用qm和qs表示，由qm和qs可以得到電機轉子和關節殼體的轉角θm和θs。電機、關節所受力矩為：

(5)

式中：τ為電機受到的驅動力矩，與電流大小有關；τm為電機受到的力矩；τs為關節受到的力矩；θs為柔性關節系統轉動的角度，即電機與關節的相對轉動角度；θm為電機實際轉動角度；K表示扭轉彈簧的非線性扭轉剛度，一般通過實驗手段測量獲得關節扭矩和轉角后對數據進行擬合修正，進而獲得柔性關節的非線性扭矩-轉角曲線。

1.3柔性機械臂狀態方程

以單臂桿柔性空間機械臂為例，推導柔性空間機械臂的狀態空間方程，建立相應的控制系統模型。圖4為單連桿柔性空間機械臂的平面示意圖，為了降低關節軌跡規劃中臂桿末端振動以及加速規劃結束后的殘余振動，選取關節轉角和末端彈性振動的角度作為控制變量：

(6)

式中：θ11為關節轉角，θ12為臂桿末端彈性振動的角度。結合Lagrange方程，可以得到如下形式的動力學方程：

(7)

式中：M為系統廣義質量矩陣，B為系統廣義阻尼矩陣，K為系統廣義剛度矩陣，Qf為系統廣義外力矩陣。

(8)

相應的系數矩陣為：

(9)

其中，Ksl為柔性臂桿彎曲剛度系數；J11為電機等效轉動慣量；B11為關節等效粘滯阻尼系數；J12為柔性臂桿等效轉動慣量；B12為柔性臂桿等效粘滯阻尼系數；Ksl為電機轉矩常數。

由于數值仿真與模擬實驗設定的關節轉速較低，臂桿的阻尼項對于系統的動力學特性影響較小，因此，為了簡化起見，在雙連桿柔性機械臂動力學建模過程中忽略了臂桿的阻尼項。

2 柔性機械臂振動控制策略

2.1PD控制策略

為實現關節對預定軌跡的精確跟蹤，降低規劃結束后關節轉角的殘余振動，設計了基于關節轉角誤差調節的PD控制器，控制律形式如下：

(10)

式中：θref為關節預定軌跡，θ為關節實際軌跡，kp為比例增益矩陣kp=diag(kp1,kp2)，kd為微分增益kd=diag(kd1,kd2)，矩陣中的控制參數通過多次試探仿真確定。本節采用PD控制策略來實現雙連桿柔性機械臂關節軌跡跟蹤控制，如圖5所示。

2.2LQR最優控制策略

LQR最優控制問題是在線性系統的約束條件下，尋找一個控制輸入，使得二次型性能指標函數取得極值[14]。

基于前文推導所得的柔性機械臂狀態空間方程(8)，性能指標函數簡化形式如下：

(11)

式中：Q為半正定的對稱常數矩陣，R為正定的對稱常數矩陣。

尋找最優輸入量，即電機的控制電流為：

u*(t)=-R-1BTPx(t)=-Kfbx(t)

(12)

使得二次型性能指標函數(11)取得極小值。式(12)中Kfb為狀態反饋增益矩陣，P為常數矩陣，且滿足下列代數Riccati方程：

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(13)

式中：矩陣A、B、C的具體形式如式(9)所示。

加權矩陣Q和R的取值具有一定的相對性，本文為了便于最優控制問題的求解，將矩陣R設為單位矩陣，并結合柔性機械臂實際工程經驗采用極點最優配置[16]的方法調整確定加權矩陣Q中元素值。LQR最優控制下的雙連桿柔性機械臂閉環控制系統如圖6所示。

2.3LQR-PD聯合控制策略

PD控制器通過對關節轉角誤差的調節，雖然實現了關節對預定軌跡的精確跟蹤，但是在過程的啟動、結束或大幅增減設定時，短時間內系統輸出會有很大偏差，因此傳統PD控制策略很難直接應用于實物仿真控制；LQR控制器通過對系統輸入能量的控制，使其控制信號更為平滑，從而避免了控制量的高頻抖動給系統帶來的不穩定的問題，但是由于LQR控制器初始輸入信號較大，關節軌跡相對于預定軌跡而言存在較大控制誤差，無法滿足精確跟蹤的控制要求。

因此，針對柔性機械臂實際應用過程中對于位置跟蹤和彈性振動抑制這兩方面要求，本文提出一種LQR-PD的聯合控制策略。一方面通過引入PD控制實現了關節軌跡的精確跟蹤，另一方面通過引入LQR控制器對系統的輸入能量進行控制，解決了PD控制過程中的超調問題，有效地抑制了臂桿末端的彈性振動。LQR-PD聯合控制下的雙連桿柔性機械臂閉環控制系統如圖7所示。

3 仿真校驗

采用圖8所示的雙連桿柔性機械臂對所提出的控制策略進行驗證，其中，臂桿1長0.202 m，寬7.62×10-2m，厚度為1.27×10-3m，楊氏模量為80 Gpa，密度為1.8×103kg/m3，泊松比為0.3；臂桿2寬3.81×10-2m，其余材料參數與臂桿1保持一致。關節殼體內徑為0.05 m，外徑為0.1 m，高度為0.2 m，密度為1.8×103kg/m3，泊松比為0.3；關節電機內徑為0 m，外徑為0.05 m，高度為0.1 m，其余材料參數與關節殼體保持一致。機械臂所有柔性關節均只能繞其轉軸轉動。

(14)

規劃時間為3 s，仿真時間設置為5 s。

PD控制參數和LQR加權矩陣Q選擇如下：

(15)

圖9為不同控制狀態下關節轉角仿真軌跡與預定軌跡的對比。圖10為臂桿末端彈性振動情況。關節端無控制狀態下，在軌跡規劃階段，關節軌跡相比于預定軌跡而言存在一定的跟蹤誤差，且在軌跡規劃結束后，關節轉角存在一定幅度大小的殘余振動，這會引起臂桿末端殘余振動，導致控制精度下降。通過引入PD控制器可以實現關節軌跡對預定軌跡的精確跟蹤，但是無法從根本上對臂桿末端的殘余振動進行有效地抑制。通過引入LQR控制器對系統輸入能量的控制，降低了運動階段的彈性振動同時，有效地抑制了臂桿末端殘余振動，但在運動階段關節實際軌跡對預定軌跡的跟蹤誤差較大。

由于單獨使用一種控制算法不能滿足實際工程需求，因此，通過設計LQR-PD控制器，對雙連桿機械臂進行仿真控制。圖11～12為聯合控制策略控制下，關節轉角仿真軌跡與預定軌跡對比以及柔性臂桿末端的彈性振動變化情況。從圖11可以看出，在軌跡規劃段，聯合控制策略能夠實現關節對預定軌跡的精確跟蹤，軌跡規劃結束后，末端殘余振動能夠得到有效地抑制。在整個運動過程中，通過引入聯合控制策略，臂桿末端彈性振動有了明顯的減弱，其中臂桿1末端彈性振動幅值由1.86°減弱至0.22°，減弱了88.3%；臂桿2末端彈性振動幅值由0.98°減弱至0.14°，減弱了85.7%。這說明本文提出的聯合控制策略在實現關節對于預定軌跡精確跟蹤的同時，有效地抑制了臂桿末端的彈性振動。

4 實驗研究

4.1柔性機械臂振動控制實驗平臺

為驗證上文所提聯合控制策略的有效性，利用兩自由度柔性雙連桿機械臂裝置，搭建振動控制平臺如圖13所示。該控制平臺主要由操控計算機、數據采集卡、功率放大器以及兩自由度柔性雙連桿機械臂組成。操控計算機上安裝有QuaRC實時控制軟件，該軟件能夠與Matlab/Simulink兼容，將系統中數據采集硬件端口做成相應的Simulink模塊，通過Simulink直接對硬件端口進行讀、寫操作，將設計的控制器與相應的系統硬件端口模塊連接，編譯下傳到QuaRC控制軟件中，就能對系統進行實時仿真控制。

4.2實驗結果

圖14為LQR-PD聯合控制下的雙連桿機械臂的關節實際軌跡與預定軌跡對比，可以看出，兩個關節均能按照預定軌跡到達指定角度，運動段結束無明顯殘余振動。圖15為關節1和關節2對預定軌跡的跟蹤誤差，關節轉角跟蹤誤差為10-3量級，滿足工程需求。圖16為臂桿1和臂桿2末端彈性振動實驗結果與仿真結果的對比，考慮實驗誤差存在的情況下，模擬實驗與數值仿真的結果基本吻合。 進一步驗證了本文所提聯合控制策略的有效性。

5 結 論

本文針對雙連桿機械臂軌跡跟蹤及振動控制問題進行了數值仿真與模擬實驗，獲得以下結論：

1)采用絕對坐標方法建立了比較完備的包含關節和臂桿柔性的剛柔耦合動力學模型，該模型能夠精確地描述機械臂系統大變形、大轉動問題；

2)通過對比研究PD控制策略和LQR控制策略的優劣性，提出一種LQR-PD聯合控制策略，仿真控制結果表明聯合控制策略在實現柔性機械臂關節轉角精確跟蹤的同時降低了臂桿末端的彈性振動；

3)設計相應的控制器，通過搭建地面實驗控制平臺進行實物控制實驗，實驗結果與仿真結果基本吻合，進一步驗證了聯合控制策略的有效性。

[1] 于登云, 孫京, 馬興瑞. 空間機械臂技術及發展建議[J]. 航天器工程, 2007, 16(4):1-8. [Yu Deng-yun, Sun Jing, Ma Xing-rui. Suggestion on development of Chinese space manipulator technology [J]. Spacecraft Engineering, 2007, 16(4): 1-8.]

[2] 劉志全, 危清清, 王耀兵. 載人航天器柔性機械臂的動力學建模方法[J]. 航天器工程, 2013, 22(5):34-41. [Liu Zhi-quan, Wei Qing-qing, Wang Yao-bing. Review of flexible manipulator dynamic modeling of manned spacecraft [J]. Spacecraft Engineering, 2013, 22(5):34-41.]

[3] 戈新生, 崔瑋, 趙秋玲. 剛柔性耦合機械臂軌跡跟蹤與振動抑制[J]. 工程力學, 2005, 22(6): 188-191. [Ge Xin-sheng, Cui Wei, Zhao Qiu-ling. Trajectory tracking control and vibration suppression of rigid flexible manipulators [J]. Engineering Mechanics, 2005, 22(6): 188-191.]

[4] 梁捷，陳力. 柔性空間機械臂末端運動及柔性振動的模糊自適應補償控制[J]. 兵工學報, 2011, 32(1): 45-57. [Liang Jie, Chen Li. Fuzzy logic adaptive compensation control of end-effect motion and flexible vibration for space-based flexible manipulator [J]. Acta Armamentarii, 2011, 32(1): 45-57.]

[5] Shabana A A, Yakoub R Y. Three dimensional absolute nodal coordinate formulation for beam elementstheory [J]. Journal of Mechanical Design, 2001, 123(4):614-621.

[6] 榮吉利, 楊永泰, 李健,等. 空間機械臂建模方法與控制策略研究[J]. 宇航學報, 2012, 33(11):1564-1569. [Rong Ji-li, Yang Yong-tai, Li Jian, et al. Research on modeling and control scheme of space manipulator [J]. Journal of Astronautics, 2012, 33(11):1564-1569.]

[7] 張曉東, 賈慶軒, 孫漢旭,等. 空間機器人柔性關節軌跡控制研究[J]. 宇航學報, 2008, 29(6):1865-1870. [Zhang Xiao-dong, Jia Qing-xuan, Sun Han-xu，et al. The research of space robot flexible joint trajectory control [J]. Journal of Astronautics, 2008, 29(6):1865-1870.]

[8] Talebi H A, Patel R V, Asmer H. Neural network based dynamic modeling of flexible-link manipulators with application to the SSRMS [J]. Journal of Robotic Systems, 2000, 17(7):385-401.

[9] 劉志全, 危清清, 王耀兵. 空間機械臂關節精細動力學模型的建立及關節力矩控制[J]. 宇航學報, 2014, 35(6):663-668. [Liu Zhi-quan, Wei Qing-qing, Wang Yao-bing. Detailed joint dynamics modeling and joint torque control system of space manipulators [J]. Journal of Astronautics, 2014, 35(6):663-668.]

[10] 鄧子辰, 鐘萬勰. 空間剛柔性機械臂振動的精細控制[J]. 力學季刊, 2000, 21(3):277-281. [Deng Zi-chen, Zhong Wan-xie. Precise control of vibration for rigid-flexible mechanical arm [J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2000, 21(3):277-281.]

[11] Wu S, Cetinkunt S. Model reference adaptive inverse control of a single link flexible robot [J]. Computers & Structures, 1993, 47(2):213-223.

[12] Zmeu K V, Shipitko E A, Perevozchilov A S. Linear neural model-based predictive controller design for flexible link robot [C]. IEEE International Symposium on Intelligent Control, Taipei, Sept 4, 2004.

[13] 楊飛飛, 王聰, 曾瑋. 空間機械臂的確定性學習控制[J]. 宇航學報, 2015, 36(7):811-818. [Yang Fei-fei, Wang Cong, Zeng Wei. Learning from adaptive control of a class of space manipulator systems [J]. Journal of Astronautics, 2015, 36(7): 811-818.]

[14] García-Vallejo D, Mayo J, Escalona J L, Domínguez J. Three-dimensional formulation of rigid-flexible multibody systems with flexible beam elements [J]. Multibody System Dynamics, 2008, 20(1): 1-28.

[15] Spong M W. Modeling and control of elastic joint robots [J]. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 1987, 109(6): 310-319.

[16] 倪茂林, 吳宏鑫. 具有完整性的最優控制系統設計[J]. 控制理論與應用, 1992(3):245-249. [Ni Mao-lin, Wu Hong-xin. The design of optimal control systems possessing integrity [J]. Control Theory and Applications, 1992(3):245-249.]

VibrationControlandExperimentResearchofTwo-LinkFlexibleManipulatorConsideringFlexibilityoftheJoint

RONG Ji-li1, XIANG Yang1, XIN Peng-fei1, YANG Yong-tai2, XIANG Da-lin3

(1. Department of Mechanics, School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China; 2. Quanzhou Institute of Equipment Manufacturing, Chinese Academy of Sciences, Quanzhou 362200, China;3. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing 100076, China)

In order to learn the vibration control of two-link flexible manipulator considering the flexibility of the joint, Absolute Coordinate Based (ACB) is utilized to model space manipulator links and joints to develop the dynamic equations of a rigid-flexible coupling two-link flexible manipulator system. The comparative study is carried on LQR and PD for active control of the flexible manipulator. Aiming at the practical engineering requirements of the flexible manipulator, a combined control strategy by LQR-PD is proposed. The controller is designed and applied to the simulation of the two-link flexible manipulator. Two-link flexible manipulator platform is set up and the control experiment is conducted. Results show that the proposed strategy is effective in tracking of the joint trajectory accurately and inhibiting the residual vibration of the end of the link, which means it has important practical significance and broad application prospect.

Dynamics of multi-body system; Two-link flexible manipulator; Vibration control; Trajectory tracking; Ground simulation platform

O313.7

A

1000-1328(2017)10- 1024- 08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.10.002

2017- 06- 05;

2017- 07- 17

CAST創新基金(CAST20100141107)

榮吉利(1964-)，男，博士，教授，主要從事振動控制理論與應用、水下爆炸理論與數值仿真、柔性多體系統動力學、可靠性理論與應用。

通信地址：北京市海淀區中關村南大街5號 北京理工大學宇航學院力學系(100081)

電話：(010)68912732

E-mail: rongjili@bit.edu.cn