諧振法測量圓管狀樣品復(fù)介電常數(shù)典型結(jié)構(gòu)的解析模型

匡 輪，羅輝華，匡 堯

（1.北京無線電測量研究所，北京100039；2.北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100871)

諧振法測量圓管狀樣品復(fù)介電常數(shù)典型結(jié)構(gòu)的解析模型

匡 輪1，羅輝華1，匡 堯2

（1.北京無線電測量研究所，北京100039；2.北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100871)

針對圓環(huán)形介質(zhì)元件制作在線監(jiān)測的需要，提出用諧振法直接測試圓管狀絕緣介質(zhì)復(fù)介電常數(shù)的思路。提出4種可能的諧振結(jié)構(gòu)形式，其中推演介質(zhì)加載圓柱腔TM010模式諧振的解析模型，深入分析國外文獻關(guān)于介質(zhì)加載圓柱腔TE011模式諧振問題的理論結(jié)果，并對介質(zhì)加載圓形同軸腔的特性方程用于復(fù)介電常數(shù)測量的問題進行探討。對各個解析模型進行計算，并相應(yīng)地與文獻的實驗結(jié)果進行對照,吻合良好。結(jié)果表明：TM010模式的解析模型正確；諧振特性參數(shù)對加載介質(zhì)復(fù)介電常數(shù)（εr=1～80，tanδ=10-5～10-4)的敏感性隨結(jié)構(gòu)的不同而不同。最終得出：圓柱腔TM010模式可用在諧振法測試圓管狀絕緣介質(zhì)元件的復(fù)介電常數(shù)中。

復(fù)介電常數(shù)；諧振測試法；圓管樣品；解析模型；基模

0 引 言

諧振法是測量介質(zhì)介電常數(shù)的常用方法，如小棒測試法[1-3]、薄片測試法[4]、塊狀樣品測試法[5-6]等。它們分別對不同形狀的實心樣品的復(fù)介電常數(shù)的測量問題建立了電磁模式的解析模型（TM、TE或TEM等，大多為基模)。對于圓管狀介質(zhì)樣品（空心樣品)，雖然可以用圓柱諧振腔、圓形同軸諧振腔加載的結(jié)構(gòu)實施復(fù)介電常數(shù)的測試，但相應(yīng)的理論研究和實驗報道很少。文獻[7]報道了TE011模式下的理論分析公式和實驗數(shù)據(jù)，但未給出對應(yīng)實驗數(shù)據(jù)的理論計算結(jié)果，也未進行TM模式的分析或?qū)嶒?。我國學(xué)術(shù)界關(guān)注到了該論文[8-9]，但沒有相應(yīng)的研究或應(yīng)用報道。文獻[10]采用低介電常數(shù)小管狀介質(zhì)作為容器，測量存于其中的動物組織的介電常數(shù)，但不是對小管本身的介電常數(shù)測量，也沒有進行電磁模式的解析分析。早期有學(xué)者對同軸諧振腔加載圓環(huán)介質(zhì)的問題進行了分析[11]，但未考慮介質(zhì)介電常數(shù)的測試問題。其他測試法如傳輸線特性測試法[12]、自由空間照射法[13]等，也難以借用到對圓管狀元件的測量。

在介質(zhì)諧振器、微波鐵氧體帶線結(jié)環(huán)行器內(nèi)部結(jié)構(gòu)及有源集成天線（active integrated antennas，AIAs)中，天線諧振元件的制作過程中大多需要對介質(zhì)的微波介電常數(shù)進行測量，最好是對圓管狀元件進行在線測量?？紤]到技術(shù)應(yīng)用所需，本文擬對尚未見諸報道的空心樣品的諧振法測試建立TM模式解析模型，并進行理論計算與實驗結(jié)果對照；針對TE模式諧振特性，深度分析文獻[7]的解析結(jié)果；對TEM模式則主要進行模型特性計算。通過分析、計算和對比，獲得諧振法測量圓管狀介質(zhì)樣品復(fù)介電常數(shù)的典型結(jié)構(gòu)和模式一般特性的知識。

1 原 理

在諧振法測量介質(zhì)介電常數(shù)的測試線路中，其核心部件是加載了該介質(zhì)的諧振腔。相對于空腔（未加載該介質(zhì))，加載了該介質(zhì)樣品的腔的諧振頻率、品質(zhì)因數(shù)都將發(fā)生變化。通過電磁場理論分析得到諧振特性方程后，即可通過實驗數(shù)據(jù)計算得到介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)。諧振特性方程既包含了結(jié)構(gòu)參數(shù)、介質(zhì)復(fù)介電常數(shù)，也包含了電磁場模式。從軸對稱圓形腔結(jié)構(gòu)來看，要得到解析結(jié)果，必須軸向、環(huán)向和徑向三者中最多只有一向是非均勻的；而使用基模會有諸多便利。因此本文僅限于討論基模工作、只有徑向不均勻或者軸向不均勻的情形。

測試圓管狀介質(zhì)樣品復(fù)介電常數(shù)的圓諧振腔通用結(jié)構(gòu)如圖1所示。圓柱腔內(nèi)表面層的磁導(dǎo)率、電導(dǎo)率分別為μc、σc。圓形封閉諧振腔內(nèi)區(qū)域分為3部分：

圖1 圓形諧振腔法測試的通用結(jié)構(gòu)簡圖（旋轉(zhuǎn)對稱)

III區(qū)：b≤r≤a，μ3、ε3（通常為空氣)；

II區(qū)：c≤r≤b，μ2、ε2（分別為待測元件的磁導(dǎo)率、介電常數(shù))；

I區(qū)：r≤c，有 2 種情況：r≤c整體為一種低介電常數(shù)絕緣介質(zhì)，以 μ1、ε1表征；r≤d 內(nèi)為金屬柱，d～c為薄層低介電常數(shù)絕緣介質(zhì)，仍以μ1、ε1表征。

2 方 法

這里對4種典型結(jié)構(gòu)進行分析，以獲得其諧振頻率滿足的方程和品質(zhì)因數(shù)滿足的方程。

2.1 結(jié)構(gòu)1：小長徑比圓柱腔，諧振基模TM010

本結(jié)構(gòu)中高度h＜2a，I區(qū)為r≤c整體。對本結(jié)構(gòu)從一般的電磁場理論入手，結(jié)合邊界條件進行分析和建立數(shù)學(xué)模型，只考慮基模。

設(shè)場量如下（只有Ez，Hφ非0；軸向z方向均勻，傳播常數(shù)β=0)：

設(shè)E1已知，可求得：

腔側(cè)壁趨膚效應(yīng)電阻損耗功率為

腔上下底壁趨膚效應(yīng)電阻損耗功率為

其中ωs，ω0分別為加載樣品時和空腔時的諧振角頻率，分別為ω0下腔內(nèi)壁的表面電阻和趨膚深度；積分項

加載后腔體部分的品質(zhì)因數(shù)Qsc=ωs·We/（Pc1+Pc2)；被測樣品諧振腔的品質(zhì)因數(shù)為Qs，有：

2.2 結(jié)構(gòu)2：大長徑比圓柱腔，諧振基模TE011

本結(jié)構(gòu)中高度h往往大于2a，I區(qū)為r≤c整體。對本結(jié)構(gòu)直接借用文獻[7]的相關(guān)結(jié)論，但應(yīng)用于本情形時，考慮到k1為虛數(shù)，需進行虛宗量、實宗量Bessel函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，只考慮基模。

Geyer等采用I區(qū)為很高的介電常數(shù)（待測)絕緣介質(zhì)、II區(qū)為介電常數(shù)已知的圓管狀樣品，得到TE01u模式諧振頻率的特征方程（文獻[7]式（12))。當(dāng)I區(qū)為低介電常數(shù)絕緣介質(zhì)時推演該方程，得到：

2.3 結(jié)構(gòu)3：圓形同軸腔，諧振基模TEM，介質(zhì)在徑向部分填充但軸向滿填充

本結(jié)構(gòu)I區(qū)為金屬圓柱（r≤d)并外套薄層絕緣介質(zhì)（d～c)。當(dāng)a不太大且不出現(xiàn)TM、TE模式時，可以考慮先用等效電容法（內(nèi)導(dǎo)體到外導(dǎo)體之間電容串聯(lián))來獲得等效介電常數(shù)[14]，然后用同軸傳輸線的相關(guān)特性參數(shù)來獲得介質(zhì)復(fù)介電常數(shù)的表達式。

令 εe=εe′-jεe″。 對半波長諧振器（λs=2h)有：

其中 si=gi（g1/ε1′+g2/ε2′+g3/ε3′)/εi′， g1=ln（c/d)，g2=ln（b/c)，g3=ln（a/b)。

2.4 結(jié)構(gòu)4：圓形同軸腔，諧振基模TEM，介質(zhì)在徑向滿填充但軸向部分填充

本結(jié)構(gòu)I區(qū)為金屬圓柱（r≤d)，無薄層介質(zhì)，被測樣品在軸向上只占取一段（設(shè)從端頭開始)，但充滿該段內(nèi)外導(dǎo)體之間的區(qū)域。

假設(shè)兩段的長度、所在區(qū)域絕緣介質(zhì)的磁導(dǎo)率、介電常數(shù)和傳播常數(shù)分別為 li，μi，εi，βi，i=1，2，其中。設(shè)l2段為被測絕緣介質(zhì)，有諧振條件及介電損耗角正切表達式[11]為

3 結(jié)果與討論

3.1 解析模型分析

1)對結(jié)構(gòu)1得出的解析模型，容易推演出c→0時 f（c)→0，式（4)化為普通的特征方程表達式（實心樣品)；同時，取I區(qū)的介質(zhì)參數(shù)與II區(qū)的介質(zhì)參數(shù)相同時也得出同樣的結(jié)果。因此，本結(jié)構(gòu)下得出的數(shù)學(xué)模型是準確的，但顯然空心使得特征方程更加復(fù)雜。

由于空心的情況沒有相應(yīng)的實驗或理論報道數(shù)據(jù)，本文取其特殊情形c=0 mm（實心)，針對文獻[3]樣品1#的實驗參數(shù)進行計算：取b=0.8 mm，h=10.16 mm，a=12.04 mm，Q0（ω0)=7 482；ω0=2π·9.531 2 GHz；tanδ2=7.36×10-4，ωs=2π·8.334 6 GHz，得到 ε2/ε0=15.4，Qs（ωs)=6757。 ε2/ε0計算結(jié)果與該實驗結(jié)果（15.8)相差2.5%，其他數(shù)據(jù)吻合；與同一根圓棒上切下的樣品用Courtney法測量的實驗結(jié)果（15.53)相差小于1%。

2)對結(jié)構(gòu) 2，式（10)與文獻[7]對應(yīng)的式（51)有所不同。為了辨別二者的對錯，本文取文獻[7]的實驗數(shù)據(jù)進行對比計算：c=5 mm，b=30 mm，h=45 mm，a=50 mm，TE011模式。按式（10)，取腔內(nèi)壁電導(dǎo)率σc=5.8×107/Ωm；I區(qū)和 III區(qū)均為干燥空氣，II區(qū)介 質(zhì) ε2/ε0=37.2，tanδ2=1.9×10-5， 求出 ωs=2π·0.94 GHz，Qs（ωs)=13 151，與文獻[7]的實驗數(shù)據(jù)吻合良好（2π·942MHz，13200)。 但按文獻[7]的式（51)得不出諧振頻率（實驗參數(shù)式（51)不成立)，且其作者也沒有給出該實驗的理論計算結(jié)果。分析發(fā)現(xiàn)，該作者在虛、實宗量Bessel函數(shù)的變換上出現(xiàn)了差錯，導(dǎo)致了該特性方程錯誤，而式（10)是正確的。

3)同軸諧振腔的解析模型求解諧振頻率顯得簡單得多，介電損耗的求解也相對簡單。

4)從測量加載介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)的角度看，希望測量結(jié)構(gòu)的諧振參數(shù)對復(fù)介電常數(shù)盡量敏感，但是本文4種結(jié)構(gòu)的解析模型均看不出敏感的程度，需要進行數(shù)值計算。

3.2 典型樣品尺寸下各解析模型計算結(jié)果分析

取典型尺寸圓管狀樣品作為計算例，分別用上述4種解析式計算諧振頻率和品質(zhì)因數(shù)，對比見圖2～圖4。除特別說明外，取腔內(nèi)壁電導(dǎo)率σc=4.9×107/Ωm；III區(qū)為干燥空氣，II區(qū)介質(zhì)tanδ2=0.0005。

結(jié)構(gòu) 1：取 c=7.5 mm，b=10 mm，h=84 mm，a=96mm，ω0=2π·1.1953GHz，Q0（ω0)=21542；取 c=2mm，b=5 mm，h=45 mm，a=50 mm，ω0=2π·2.294 9 GHz，Q0（ω0)=15780。

結(jié)構(gòu) 2：取 c=5mm，b=30mm，h=45mm，a=50mm，tanδ2=0.0005。

結(jié)構(gòu) 3：取 d=7mm，c=7.5mm，b=10mm，l2=28mm，h=84mm，ωs=2π·1.78446GHz。 ε1/ε0=2.25，tanδ1=0.0001。a=13.6 mm（大約為使TEM模式工作頻率最高的尺寸)；a=35mm（大約為使 Qs最高的尺寸)。

結(jié)構(gòu) 4：取 d=c=7.5 mm，b=10 mm，h=68 mm，l2=28mm。

圖2 諧振頻率隨介電常數(shù)變化的曲線（ωs=2πfs)

圖3 諧振品質(zhì)因數(shù)隨介電常數(shù)變化的曲線

圖4 諧振品質(zhì)因數(shù)隨介電損耗變化的曲線

在εr=1～80范圍內(nèi)分析發(fā)現(xiàn)：

1)εr越高，諧振角頻率ωs對其變化的敏感性越低。在εr=1～10范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)2的敏感性最高，但在εr=1～80范圍內(nèi)整體看，結(jié)構(gòu)1的敏感性更好一些；結(jié)構(gòu)3敏感性最低。

2)εr越高，品質(zhì)因數(shù)Qs對其變化的敏感性越低。結(jié)構(gòu)1的敏感性最高，結(jié)構(gòu)2敏感性最低，結(jié)構(gòu)3在a較大時Qs最高，但在a較小時Qs低；結(jié)構(gòu)4的Qs最低。

3)諧振系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)Qs對介質(zhì)的tanδ的敏感性，結(jié)構(gòu)1為最高，結(jié)構(gòu)3和結(jié)構(gòu)4分別在εr=1～50和εr=50～80 內(nèi)最低。

4)在算例區(qū)間內(nèi)，樣品尺寸沒有使4種結(jié)構(gòu)的解析模型彼此的相對特性發(fā)生變化。換言之，優(yōu)勢的結(jié)構(gòu)對不同尺寸的樣品都呈現(xiàn)優(yōu)勢。

上述各計算例諧振頻率均不高，如果采用高階模式諧振，將有可能在10GHz以上獲得相應(yīng)的測試數(shù)據(jù)[15]。適當(dāng)加載介質(zhì)環(huán)后測量其復(fù)介電常數(shù)是可實現(xiàn)的。

4 結(jié)束語

本文推演得出了結(jié)構(gòu)1（圓柱諧振腔TM010模式)下諧振法測量圓管狀介質(zhì)樣品復(fù)介電常數(shù)的數(shù)學(xué)模型，糾正了文獻[7]對結(jié)構(gòu)2（圓柱諧振腔TE011模式)諧振法測量其數(shù)學(xué)模型中的錯誤，并對圓形同軸腔的諧振特性方程（用于測量復(fù)介電常數(shù))進行了分析和計算。結(jié)果表明，當(dāng)εr在1～80范圍內(nèi)時，結(jié)構(gòu)1及其數(shù)學(xué)模型用于諧振法測試是可行的；εr在1～10范圍內(nèi)時，結(jié)構(gòu)2及其數(shù)學(xué)模型用于諧振法測試是可行的。結(jié)構(gòu)3、結(jié)構(gòu)4（同軸諧振腔，基模)及其數(shù)學(xué)模型均不適合于測量介電常數(shù)和介電損耗。

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Analytical model of typical structures in resonance measurement on the complex permittivity of tubular sample

KUANG Lun1， LUO Huihua1， KUANG Yao2
（1.Beijing Institute of Radio Measurement，Beijing 100039，China；2.School of Mathematical Sciences，Peking University，Beijing 100871，China)

For the on-line monitoring demands of circular dielectric element manufacturing，the idea is put forward that the resonance method can be directly applied to test the complex permittivity of tubular insulating medium.Four kinds of resonance structures forms are proposed，and the analytical model of resonance in dielectric loaded cylindrical cavity TM010mode is derived;the theoretical results for a TE011mode resonant cavity in foreign literature are analysed deeply and the application of the characteristic equations of dielectric loaded circular coaxial cavities to the measurement of the complex permittivity is also explored.Besides，calculations are done for analytical models and they are accordingly compared with literature test results，which are identical.As a result， the analytical model of TM010mode is right， and the sensitivity of the resonant characteristics to the complex permittivity of loaded dielectric（εr=1-80， tanδ=10-5-10-4)，differs from one structure to another.Finally，the results show that cylindrical cavity TM010mode can be used in the measurement of complex permittivity of resonant measurement for the complex permittivity of tubular insulation dielectric element in resonance method.

complex permittivity； resonant measurement； tubular sample； analytical model； basic mode

A

1674-5124（2017）10-0001-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.10.001

2016-12-03；

2017-01-17

匡 輪（1966-)，男，湖北公安縣人，研究員，碩士，研究方向為微波磁學(xué)、旋磁器件與電子材料技術(shù)。

（編輯：商丹丹）