基于軸線法與卡爾曼濾波的Baxter機器人標定

陳勛漫， 黃沿江， 張憲民

(1.華南理工大學廣東省精密裝備與制造技術重點實驗室 廣州,510641)(2.華南理工大學機械與汽車工程學院 廣州，510641)

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.05.018

基于軸線法與卡爾曼濾波的Baxter機器人標定

陳勛漫1,2， 黃沿江1,2， 張憲民1,2

(1.華南理工大學廣東省精密裝備與制造技術重點實驗室 廣州,510641)(2.華南理工大學機械與汽車工程學院 廣州，510641)

為提高Baxter機器人的絕對定位精度，首先根據機器人操作系統(robot operating system, 簡稱ROS)的通用機器人模型統一機器人描述格式(unified robot description format,簡稱URDF)文件，詳細分析了Baxter機器人的運動學模型，通過建立坐標間的約束條件進行模型簡化，并提取待標定參數。針對機器人的多參數模型以及非幾何參數影響較大的情況，提出一種結合軸線測量法與卡爾曼濾波系統辨識法的分步標定方法，分析了針對URDF模型的軸線法和卡爾曼濾波的標定原理，最后分別利用Matlab和激光跟蹤儀進行仿真和實驗驗證。對Baxter機器人標定結果表明，該標定方法能夠獲得較準確的運動學幾何參數，適用于ROS搭建的多幾何參數的機器人及關節柔性較大的機械臂。

Baxter機器人； 運動學標定； 軸線測量法； 卡爾曼濾波

引 言

絕對定位精度是衡量機器人性能的一個重要的指標，而提高絕對定位精度的一個關鍵途徑就是提高運動學模型的準確度[1]。實際上，由于機器人零件存在加工誤差，裝配誤差，以及零件磨損或變形等，機器人的名義運動學模型與實際模型會存在一定的偏差，因此需要對其參數進行修正，以接近實際的運動學模型，這也稱為運動學標定。機器人的運動學標定一般分為兩種[2]：幾何參數標定，如連桿長度、相鄰連桿距離、連桿扭轉角等；非幾何參數標定，如齒輪間隙、關節和連桿柔度等。文中主要研究幾何參數標定的方法。

幾何參數的標定通?？煞譃榻?、測量、參數辨識和誤差補償4個步驟[1]。最常用的標定模型是基于齊次變換矩陣的D-H模型[3]，但對于平行或近似平行關節軸存在奇異性問題。Hayati等[4]對D-H模型進行了修改，在平行關節軸處引入了繞y軸的旋轉分量。后來學者又提出了關節坐標系采用6個參數的S模型[5]，基于指數積的POE模型[6]，CPC模型[7]和微分模型[8]，以及基于這些模型的改進模型[9-10]等。機器人標定的測量手段是決定標定效率和準確性的關鍵因素，測量的儀器主要包括大范圍的測量工具，如激光跟蹤儀，CMM系統[11-13]等，這些工具測量精度較高，但設備的成本也相對較高。小范圍的測量如視覺測量系統、聲吶傳感器[14-15]等。另外有學者采用自制的工具，Joubair等[16]采用一個特殊帶金屬球的三角盤和觸覺探針進行測量；Nubiola等[17]采用可伸縮球桿儀和自制的固定盤來測量姿態。參數辨識能夠根據測量數據獲取運動學模型參數的近似值，不同的辨識方法適用性也不同。目前最常用的有最小二乘法[18]、極大似然法[19]及擴展卡爾曼濾波[20]等。Omodei等[21]利用測量的軌跡誤差數據，對比了線性迭代、最小二乘法、擴展卡爾曼濾波幾種參數辨識方法，最終得出擴展卡爾曼濾波方法具有較快的收斂速度和較好的穩定性。上述標定方法一般采用特定的非線性運動學模型，系統辨識時，往往對模型進行微分線性化再進行參數辨識，或采用對噪聲比較敏感的非線性辨識方法進行辨識。對于參數較多且柔性較大的機器人，難以標定得到準確的運動學參數。

Baxter是基于機器人操作系統開發的一款人機協作型機器人，采用串聯彈性驅動器作為關節驅動，有較高的安全性；它的運動學模型是基于統一機器人描述格式文件建立的，具有很好的通用性。但是，其關節高柔性特性降低了它的定位精度，且URDF文件的運動學幾何參數較多，使得傳統的標定方法難以適用。因此結合不同標定方法的優點，提出姿態與位置變換參數分步標定的方法。首先，分析并建立基于ROS的URDF文件的運動學模型；然后，提取模型中需標定的幾何參數，再采用軸線測量法和卡爾曼濾波分別標定姿態變換參數和位置參數；最后，通過Matlab對標定方法進行仿真驗證，并通過激光跟蹤儀進行實驗驗證。

1 運動學建模

1.1 URDF文件

URDF是機器人操作系統ROS中一個通用的描述機器人模型的XML格式文件，詳細描述了機器人關節參數、桿件幾何參數、動力學參數、坐標轉換關系及碰撞模型等。它有自己一套簡單的建模規則，可以為開發人員建立和修改復雜的機器人模型的過程提供便利，還可以結合Gazebo進行三維仿真。URDF文件建立了完整的機器人關節坐標系，并定義各關節的屬性和坐標系之間的靜態變換關系，結合運動學和動力學(kinematic and dynamic library,簡稱KDL)即可以建立機器人的運動學模型。

URDF采用樹結構(如圖1所示)來構建機器人的基本框架，并假設所有桿件均為剛性桿。其中有兩個描述機器人幾何模型的關鍵元素：“joint”和“link”。

圖1 URDF文件規則Fig.1 The convention of URDF

“link”用來定義機器人連桿的物理模型、碰撞模型和剛性慣量等；它以前一個關節的坐標系作為連桿坐標系，并以該坐標系為基坐標來定義連桿的各個參量?！癹oint”用來定義機器人關節的運動形式、運動學和動力學屬性、關節坐標及坐標變換關系等；每個關節連接兩個連桿，分別為父連桿和子連桿，對應有父坐標系和子坐標系，子坐標系即為對應的關節坐標系；以父坐標系為基，轉換到子坐標系的變換關系采用3個位置偏移量(如圖2所示的“xyz”)和3個姿態偏移量(如圖2所示的“rpy”)來表示。因此，從基座(第1個連桿)坐標系開始，通過定義相鄰兩連桿坐標系之間的變換關系，即可構建從機器人的基坐標系到各個連桿坐標系的轉換模型。簡單的URDF文件定義如圖2所示。

圖2 URDF文件示例Fig.2 Example of URDF

URDF文件定義了機器人的靜態模型和關節屬性。對于正逆運動學的求解則可通過KDL庫來實現，KDL用鏈結構來構建機器人的運動學和動力學模型，它提供了URDF文件的編譯接口，編譯時能夠自動讀取URDF文件定義的連桿及關節，并將URDF文件定義的機器人位形視為關節零點，從而建立起一套完整的運動學模型。

1.2 Baxter機器人的運動學模型

Baxter是一臺具有雙臂的仿人形工業機器人，兩只手臂各有7個轉動關節，分別為兩個肩關節S0,S1，兩個肘關節E0,E1和三個腕關節W0,W1,W2。7個關節使Baxter的手臂具有較高的靈活性，能夠完成較復雜的作業和規避碰撞及奇異位形。Baxter的關節是由串聯彈性驅動器(series-elastic actuator，簡稱SEA)驅動的，該驅動器電機與關節之間通過一個扭簧連接。電機不是直接驅動關節運動，而是通過扭簧傳遞扭力進而驅動關節運動；Baxter通過測量扭簧的轉角并根據胡克定律即可計算出關節轉矩。SEA使Baxter的手臂具有較好的柔性和良好的力感應能力，從而降低手臂碰撞的危險。

Baxter的運動學模型是基于URDF文件建立起來的，其連桿坐標系的建立和坐標系的轉換關系滿足URDF文件的規則：相鄰坐標系中，后一坐標系由前一坐標系經3個坐標方向的位移和旋轉得到(位移和轉軸方向均以前坐標系為基準)。因此，相鄰坐標系的變換矩陣為

(1)

其中：Ra表示繞a軸的旋轉矩陣；Ta表示沿a軸的平移矩陣；當中有變量αix, αiy, αiz和Pi，分別對應URDF文件(如圖2所示)中joint的參數“rpy” 和“xyz”。

Baxter的基坐標系建立在其軀干底盤中心處；各關節坐標系以關節中心為原點，以轉軸為z軸(方向滿足右手定則)，x軸和y軸的方向可以自定義，根據Baxter的名義URDF文件(如圖3所示)建立如下的關節坐標系。

圖3 Baxter手臂坐標系Fig.3 The frames of Baxter′s arm

連桿坐標系定義為連桿后一關節的坐標系，則關節S0, S1,…, W2的坐標系即為連桿坐標系T1,T2,…,T7，末端夾持器坐標系為Tg。T1為固定坐標系，其相對于基坐標系z軸的旋轉參數為π/2；T2,T3,T5,T7的x軸為前一連桿坐標系z軸和當前坐標的z軸的公垂線，它們相對于前一坐標系的y軸的旋轉參數均固定為0；T4,T6的y軸為前一坐標系z軸與當前坐標系z軸的公垂線，它們相對于前一坐標系的x軸的旋轉參數均為0；Tg相對T7為固定坐標系，且只有位置變換。即可得到下式

(2)

其中:i=0時為基坐標系;i=8時為末端坐標系。

Baxter單支手臂的正運動學模型為

(3)

2 幾何參數辨識方法

由上述式(2)和式(3)可知，要準確建立Baxter的運動學模型，至少需要標定38個參數，其中包括姿態變換的14個參數和位置變換的24個參數。

2.1 軸線測量法標定姿態參數

軸線測量法[23]利用某關節單獨運動，而其他關節保持靜止時，測量該關節上某個固定點的軌跡，從而獲取該關節的軸線位姿，進而計算運動學參數。采用軸線測量法只用于獲取關節姿態的變換參數，即URDF文件的“rpy”參數。因此，計算關節軸線時只需計算軸線方向即可。由于Baxter的運動學模型以URDF文件定義的關節狀態為零位，故測量某關節運動軌跡時，必須將其他關節置于零位狀態。

采集了某關節運動軌跡數據之后，通過平面擬合和求取擬合平面的法向量即可獲取軸線的方向向量。設關節軌跡的擬合平面方程為

Ax+By+C z+D=0

(4)

變換式(4)，可得二元回歸模型

z=λ1x+λ2y+λ3

(5)

其中：x，y為自變量；z為因變量；λ1,λ2,λ3為模型參數。

采用最小二乘法擬合式(5)，可獲得λ1，λ2，λ3的值，則對應平面的法向量為

(6)

關節軸方向可能與該法向量相同或相反。假設pi(i=1,2,…,m)為測量的軌跡點，選取pi上3個點p1，p2和p3，且這3個點為關節從角度較小值運動到較大值依次出現的點。根據右手定則，計算這3點構成的平面法向量為

n=(p2-p1)×(p3-p1)

(7)

(8)

獲得各關節軸線單位向量ni(i=1,2,…,7)后，需轉換為URDF文件的“rpy”參數。由2.2節所述的關節坐標系建立規則。

當i=0時，類比式(2)和(8)，即可求得αix和αiy，帶入式(2)可得第1個關節坐標系姿態矩陣為

R1=[x1,y1,z1]

當i=1,2,4,6時，

代入式(2)，得到第i+1個關節坐標系的姿態矩陣為

Ri+1=[xi+1,yi+1,zi+1]

當i=3,5時，

代入式(2)可得第4和6個關節的姿態矩陣為

產品創新方面，四大國有銀行、平安、招行是自貿區金融創新的主力。其中，平安上海自貿區分行結合一級分行、FT賬戶牌照和離岸牌照，定位為“全行的跨境業務平臺”，各分行對外鏈接的橋梁，實現內外貿、離在岸、本外幣業務一體化，業務涵蓋跨境公司業務、跨境投行并購業務、跨境同業業務、跨境個人業務、跨境離岸業務。招行推出“跨境金融·自貿通”系列產品，為企業提供集本外幣結算、融資、投資、交易理財等金融服務為一體的專業解決方案，服務企業在區內經營、區內與國內投資或貿易、區內與國外投資或貿易的各種金融需求。

Ri+1=[xi+1,yi+1,zi+1]

2.2 卡爾曼濾波標定位置參數

由2.1節獲得的姿態變換參數，代入式(3)可得只包含位置變換參數的運動學模型，包含24個參數。由于各個關節坐標系的原點只需定在關節軸上，即其有一個沿關節軸方向的自由度，故可以自定義其中一個方向的位置變換參數(無需辨識參數)，則其他兩個參數為固定的幾何參數(待辨識參數)。因此，全部待辨識參數個數為(2×7+3=)17個。則可得末端位置的運動學模型為

X=K·p+d

(9)

其中:X為3×1向量，表示機器人末端的位置向量；p為1×17向量，由所有待辨識的位置變換參數組成；K為含關節角度變量的3×24系數矩陣；d為3×1常數向量。

若給定某一時刻下的關節角度值，則可獲得該狀態下線性的運動學模型，可采用卡爾曼濾波進行參數的辨識。離散模型的狀態方程和輸出方程為

xk+1=xk+wk

(10)

zk=Hkxk+dk+vk

(11)

卡爾曼濾波參數辨識方程為

(12)

Pk|k-1=Pk-1|k-1+Qk-1

(13)

卡爾曼增益計算方程為

Kk=Pk|k-1HkT(HkPk|k-1HkT+Rk)-1

(14)

狀態變量的遞歸方程為

(15)

系統協方差的最優估計為

Pk|k=(I-KkHk)Pk-1|k

(16)

卡爾曼濾波迭代的參數初始值為名義的參數值。Q和P的初始值均設置為10-4I，R的初始值設置為10-2I。

3 實驗與結果分析

本實驗的實驗平臺如圖4所示。手臂末端的實際位置值及各關節的旋轉軌跡點均由激光跟蹤儀測得，激光跟蹤儀的測量精度為(10+5L) μm，其中L為測量距離，本實驗測量距離在2 m以內，因而測量精度約為20 μm；手臂各關節角度值由編碼器測得，并通過話題“robot/joint_states”發布，分辨率為3.834×10-4rad。實驗中通過機器人底座上的螺紋孔進行定位，以使激光跟蹤儀的世界坐標系與機器人的基坐標系(/base坐標系)重合。

圖4 Baxter標定實驗平臺Fig.4 A setup of experimental calibration system for Baxter

3.1 軸線測量法姿態標定實驗

測量第i個關節的旋轉軌跡時，將激光跟蹤儀的反射球固定在該關節的子連桿上，且該關節前面的所有關節均轉動到零位位置。讓關節角度θi由一個較小的值開始運動，以1°的步長逐步遞增，每增加一個步長，待機器人穩定后測量反射球的三維坐標，待θi增大到較大值時停止運動。依次測量各個關節的旋轉軌跡，然后根據3.1節所述方法，利用Matlab進行關節軸方向擬合并計算“rpy”參數，得到表1的標定結果。

通過平面度和平面擬合度來衡量平面擬合的效果，平面度定義為測量點到擬合平面距離的最大值與最小值之差(包含正負號)，平面擬合度定義為各個測量點到擬合平面的距離平方的平均值。各關節軸測量點的平面擬合結果如表2所示，擬合度和平面度都各自保持在0.01 mm和0.1 mm的數量級上，說明測量點都比較穩定，受柔性關節變形的影響較小，平面擬合的效果良好。

表1軸線測量法標定后的關節軸方向及“rpy”參數

Tab.1Jointaxisdirectionvectorand“rpy”parametersobtainedthroughscrew-axismeasurementmethod

關節關節軸方向向量URDF文件參數x/mmy/mmz/mmr/radp/rady/rad1-0.0070.0091.0000.0020.0120.78520.712-0.7020.013-1.5700.0000.01630.7020.712-0.0111.5700.0001.58040.712-0.7030.0140.000-1.572-1.57050.6970.717-0.0301.5800.0001.59060.712-0.7020.0170.000-1.579-1.56770.7010.713-0.0211.5720.0001.561

表2 各關節軸測量點的平面擬合結果

傳統的軸線測量法在平面擬合后將進一步擬合圓，獲取圓心，從而獲得關節軸線的方程，然后進行運動學參數的求解。然而，由于機器人柔性關節及非幾何參數等因素的影響，測量點往往在測量平面會有較大的偏移，故擬合出來的關節軸線方程也存在較大偏差。因此，只有采用軸線測量法擬合平面獲取姿態變換參數，位置變換參數采用卡爾曼濾波方法進行辨識。

3.2 卡爾曼濾波位置標定仿真及實驗

通過Matlab對2.2節所述的標定方法進行仿真驗證，仿真時假設的名義與實際URDF文件參數如表3所示。由于Baxter的關節存在輕微的抖動現象，而激光跟蹤儀的測量噪聲的數量級遠小于Baxter抖動引起的末端位置噪聲，因此將后者的噪聲歸為測量噪聲，該噪聲通過激光跟蹤儀在Baxter某個固定位形下的采樣點獲得。由于受非幾何參數的影響，Baxter的絕對定位精度較差，由此造成的測量誤差也歸結為測量噪聲。綜上所述，仿真時將噪聲設為均值零，標準差為1 mm的高斯白噪聲。

表3仿真時URDF參數(“×”表示無需標定參數)

Tab.3 The parameters of URDF in simulation (“×” unidentifiable) mm

實驗設置150個機器人位形點作為測量點，末端位置測量值則通過Baxter的正運動學方程加上測量噪聲后求解獲得，這150個測量點差不多覆蓋了Baxter單臂的工作空間?？柭鼮V波進行參數標定時，以表4的名義參數為初始值開始迭代，各個參數濾波過程如圖5所示，圖中的物理量x,y,z分別表示辨識的參數(URDF文件中的xyz參數)。另外取150個位形點用于驗證標定的效果。同樣的，這150個點差不多覆蓋Baxter單臂的整個工作空間。定前后的誤差對比如圖6所示。

表4標定前后的位置誤差對比

Tab.4Thepositionerrorbeforeandaftercalibrationmm

參數平均誤差最大誤差標準差標定前11.831823.21014.3979標定后2.49124.92491.0486

表4列出了標定前后最大誤差、平均誤差和誤差值的標準差。從表中可以看出，標定后機器人的平均位置誤差從11.83 mm減小到2.49 mm，最大誤差也從23.21 mm減小到4.92 mm，標準差從4.40 mm較小到1.05 mm，說明標定后整個工作空間的定位精度都有較大的提升。

3.3 卡爾曼濾波標定實驗及結果分析

本實驗同樣采用圖6所示的實驗平臺。實驗時以Baxter左臂為測量對象，將反射球固定手臂末端的中心點處，通過末端夾持器上的螺紋孔來定位該中心點。測量機械臂300個位形下的關節角度值和末端的位置，其中前150個位形用于卡爾曼濾波標定參數，后150個位形用于驗證標定的結果。每次運動到一個位形，待手臂穩定后，通過訂閱ROS話題(ROS的通信方式，將傳感器數據以話題方式發布)

圖5 幾何參數辨識結果Fig.5 Identified geometric parameters

圖6 仿真標定前后的位置誤差Fig.6 The position error before and after calibration

“robot/joint_states”來獲取關節角度值，通過激光跟蹤儀測量末端的位置值。

卡爾曼濾波進行參數辨識時，以表5所示的名義參數為初始值開始迭代，姿態變換參數采用軸線測量法標定獲得的參數，如表2所示。辨識得到的運動學參數如表5所示；利用測量的150個位形點來驗證辨識結果，得到標定前后的位置誤差如圖7所示。

卡爾曼辨識過程參數的收斂情況與圖5的仿真結果近似，雖然辨識曲線沒有理論上卡爾曼濾波辨識曲線那么平穩，但總體趨勢還是收斂的，且標定后的平均位置誤差從14.21 mm減小到6.25 mm，說明標定后的模型參數趨近于真實值。但是標定后仍然存在較大的定位誤差，說明Baxter機器人的絕對定位精度受非幾何參數的影響很大。Baxter關節采用SEA驅動器，具有較大的柔性，受連桿重力影響會發生偏轉，從而產生關節轉角誤差，因此一般需要建立準確的重力補償模型對關節偏轉進行補償。另外，Baxter關節減速器采用精度不高的齒輪傳動機構，齒輪間隙、回程誤差等也會影響機器人的定位精度。

表5KF標定前后的URDF參數(“×”表示無需標定參數)

Tab.5 The URDF parameters before and after KF calibration (“×” unidentifiable) mm

圖7 標定前后的位置誤差Fig.7 The position error before and after calibration

本研究也嘗試采用幾種常用的標定方法(擴展卡爾曼濾波、最小二乘法、軸線法)對Baxter進行標定，標定結果如表6所示。最小二乘法、EKF(擴展卡爾曼濾波)和軸線測量方法獲得的標定結果沒能改善模型的精度，主要原因在于最小二乘法對測量的誤差比較敏感，辨識的參數將會偏離實際運動學參數；EKF標定時需將運動學模型轉化為線性的誤差模型，而且標定的參數較多且測量誤差較大，測量協方差矩陣比較難調整，可能導致某些參數不能較好的收斂，從而導致辨識參數偏離實際參數；軸線測量法標定時，對求解出來的軸線方程的精度要求很高，但Baxter本身關節柔性較大，非幾何參數對關節運動影響很大，故難以保證軸線方程的精度。因此上述方法并不適用于標定Baxter機器人，而采用筆者提出的分步標定方法可以減小模型的誤差，獲得較好的運動學參數。

表6 標定前后的位置誤差對比

4 結束語

首次操作機器人之前，需要對機器人的運動學模型參數進行標定。本研究針對ROS的通用機器人模型及Baxter機器人關節柔性等非幾何參數誤差較大的條件下，提出了適合該機器人的標定方法。筆者詳細分析了基于ROS的Baxter機器人的運動學模型及標定模型，根據該模型的特點提出了分步標定的方式。傳統的標定方法并不能達到預期的標定結果，且大部分解算過程較為復雜。結合軸線測量法和卡爾曼濾波的標定方法，能夠很好地分別標定出機器人模型的姿態變換參數和位置變換參數，特別適用于標定參數較為復雜，且非幾何參數誤差較大機器人。文中的運動學解算方式及標定方法具有一定通用性，可為基于ROS開發的機器人的URDF文件參數標定提供參考。

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國家自然科學基金資助項目(51505151)；廣州市科技計劃資助項目(2015090330001)；機械系統與振動國家重點實驗室課題資助項目(MSV 201605)

2016-01-03；

2016-03-18

TP242； TH113.2

陳勛漫，男，1992年1月生，碩士、工程師。主要研究方向為雙臂機器人的運動控制及視覺伺服。

E-mail：365743374@qq.com

黃沿江，男，1981年11月生，博士后、副教授。主要研究方向為人機共融機器人技術、工業自動化生產線的設計與優化及機電一體化技術。

E-mail:mehuangyj@scut.edu.cn