大型結構地面模態試驗測點選擇與優化

戴冠幫， 紀國宜

(1.國營蕪湖機械廠結構部 蕪湖，241007) (2．南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.05.020

大型結構地面模態試驗測點選擇與優化

戴冠幫1， 紀國宜3

(1.國營蕪湖機械廠結構部 蕪湖，241007) (2．南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)

為了解決一般傳統的優化算法對于大型結構測點的優化配置的失效問題，針對傳統優化算法的缺點，對大型結構的模型縮聚技術做了進一步的改進和完善。引入了一個反映高階模態貢獻比例的權重系數，由此提出了一種基于有效獨立法的混合優化算法：基于有效獨立法的加權平均模態應變能系數法。經火箭仿真實例對上述方法及Guyan縮聚基于模態應變能系數有效獨立法、改進后Guyan縮聚基于模態應變能系數有效獨立法得到的測點配置效果進行了比較。結果表明：提出的測點優化算法有效地防止了測點分布聚集現象，而且都最大可能保證了所有模態應變能的貢獻和較優布置測點具有較大能量的要求，并用實際的GARTEUR飛機模型對該方法進行了模態試驗驗證。試驗結果表明，該算法保證了監測模態的完整性和線性無關性。

測點優化配置； 有效獨立法； 模態保證準則； 自由度縮聚； 權重系數； 模態應變能

引 言

振動測試技術是通過模態試驗采集數據信息分析結構動態響應的一種模態分析方法[1]。在采集數據信息時,若采用的測點優化配置方案不適當,將會導致得到的數據信息不夠全面、準確，并且傳感器及其配套器件就很昂貴，尤其是對大型復雜結構，振動測試實驗將需要很大的成本。考慮到經濟成本和實用性,試驗時需要用最少的傳感器獲得最完整和最精確的數據，因此如何選取最佳的測點優化配置方案，是非常具有研究和實際應用價值的。

測點位置的選擇和數量確定的最原始的方法是依靠試驗人員對結構動態響應特性的認識及經驗，而沒有科學的分析方法來確定傳感器的位置和數量，這樣測量得到的結果的準確度會降低。近些年，國內外的一些科研工作者開始把一些先進算法引入到測點優化領域。目前,測點優化配置大致可分為非傳統優化算法和傳統優化算法兩大類。非傳統優化算法有小波法、粒子群算法、人工神經網絡法和遺傳算法等[2]。傳統優化算法主要有最小MAC(modal assurance criterion,簡稱MAC)法[3]、有效獨立法[5-6]、Guyan縮減法[7-8]和能量法[9-10]等。每種優化算法都有其應用范圍、優勢和局限性[10]。對于大型復雜結構，由于其目標模態振型分布差異性大，且計算自由度多，若僅僅只用某一種優化算法進行測點優化配置，很可能會造成結構的重要模態信息丟失，優化配置質量差等。

為了能夠較好地解決這些問題，筆者提出一種基于有效獨立法的混合優化布置算法。首先，利用改進后的模型縮聚技術，刪除那些不需要的、影響極小或固定的節點，對模型進行精簡；然后，引入了一個反映高階模態貢獻比例的權重系數，盡最大可能保證了所有模態應變能能的貢獻和較優布置測點具有較大能量的要求；最后，將火箭結構模型作為算例，對其進行測點優化與配置，并經GARTEUR飛機[1]模態試驗驗證了筆者提出的基于有效獨立法的混合優化算法，該方法能夠解決一般傳統優化算法對于大型結構測點優化配置的失效問題。

1 優化布置理論及評價準則

1.1 有效獨立法

(1)

其中：Ψ為Fisher矩陣的特征向量；λ為相應特征值；{I}i為第i行所有系數和；E表示給定測點位置對目標模態振型Φ線性不相關性貢獻的大小。

1.2 模態應變能法

模態應變能法[13-14]布置傳感器的步驟與有效獨立法相似，主要不同點是模態應變能法是通過將測點選擇在結構模態應變能最大位置，而不是依據Fisher矩陣行列式值最大來選擇測點的位置，故其選取最優測點準則就是結構在這些測點處的模態應變能最大。模態應變能法最大的優點就是即使在較大噪聲等惡劣環境中應用此方法，效果仍然很好。模態應變能(modal station energy,簡稱MSE)的表達式為

MSE=ΦTKΦ

(2)

其中：K為剛度矩陣；Φ∈Rn×p為模態矩陣，p為目標模態數，n為自由度數。

模態應變能法最大的優點就是即使在較大噪聲等惡劣環境中應用此方法，效果仍然很好。

1.3 模態保證準則

模型結構各固有模態振型在節點上的值形成了一組正交的向量，但測量點數不可能等于結構模型的節點數，尤其是大型復雜結構，結構模型的節點數要遠遠多于測量點數，再加上測試精度及環境噪聲對測量影響，這樣測得的目標振型就不能保證它的正交性了。故在選擇測點時，既要最大程度保存結構模型動態特性的完整性，又要盡可能地保證模態振型之間的空間交角盡量大。MAC矩陣(模態保證準則矩陣)[15]是很好的模態向量正交性評價準則，MAC矩陣計算公式為

(3)

其中：Φi與Φj分別為第i階和第j階模態向量。

判斷兩相應模態振型的正交性的方法是：通過檢查每階模態振型在測量自由度上形成的MAC陣的非對角元的大小，一般認為當MAC<0.25時，則近似認為兩個向量相互正交，當MAC>0.9時，則兩個向量相關。

2 基于有效獨立法的混合優化算法

隨著對模型計算精度要求的越來越高，特別是大型的復雜結構，十萬、百萬數量級的自由度很常見，若將這些自由度都放入待選測點集合，計算量將非常大，可能導致計算無法進行，然而模型縮聚技術能夠很好地解決這一問題，刪除那些不需要、不影響和固定約束的自由度，選擇主要影響因素或需要的自由度，對模型進行精簡。Guyan模型縮聚法忽略了結構的慣性量，只有當被縮減的自由度所對應質量極小時，誤差才較小，否則該方法會有較大誤差，因此對大型復雜結構，結構的慣性量影響不能忽略。針對此不足做出有效改進，推導出一系列公式。

傳統的方法認為模態應變能主要集中在結構的低階模態，高階模態對結構的模態應變能貢獻較小。但對大型復雜結構，高階模態對模態應變能的貢獻不容忽略[16]。對此，筆者提出一個反映高階模態貢獻比例的權重系數，這樣不僅滿足了所選測點具有較大能量的要求，而且考慮了所有階模態對模態應變能的有效作用。

2.1 縮聚改進

設一個n自由度系統的剛度矩陣為K,質量矩陣為M,特征對為λj和φj(j=1～n)，振型為

(4)

相應地,結構振動特征方程為

(5)

由方程(5)的第2式可得

(6)

方程(6)按Neumann級數展開可得

(7)

其中：“O”表示高階無窮小。

方程(7)省略高階項得

(8)

由方程(5)的第1式可得

(9)

對于大多數結構的有限元模型,質量矩陣一般采用對角矩陣,則有

Mm s=Ms m=0

(10)

方程(10)代入(9)整理可得

(11)

方程(10),(11)代入式(8)整理可得

(12)

由方程(12)可得

(13)

故改進的縮聚公式為

(14)

其中：轉換矩陣T為

(15)

方程(15)和(13)代入式(5)可得

(16)

方程(16)兩邊左乘TT可得

(17)

令

Kr=TTKT

(18)

Mr=TTMT

(19)

(20)

得

Kr=Km m+XTKs m+Km sX+XTKs sX

(21)

Mr=Mm m+XTMs m+Mm sX+XTMs sX

(22)

把式(9)代入式(20)得

Mr=Mm m+XTMs sX

(23)

則縮聚后的特征方程為

(24)

2.2 權重系數

對大型結構，各階模態的振動分布差異性大，故高階模態對模態應變能的貢獻不可忽略。為考慮所有階模態應變能的貢獻性和提高結果的精確性，用一個反映高階模態貢獻比例的權重系數來對模態振型矩陣進行修正，權重系數由式(25)來計算

(25)

其中：ωi為第i階頻率；ci為第i階權重系數。

2.3 混合優化算法

大型復雜結構每階模態的能量分布不均勻，模態應變能法對測量點的挑選是根據該測量點在全部目標模態下的總應變能，這將會造成部分目標模態的信息丟失[17]。對于這種情況，在筆者提出的算法中，測量點的選取是根據各個測量點的平均模態應變能系數進行篩選的。根據式(2)得：第i個自由度在第n階的模態應變能系數[18]，即

(26)

則可得第i個自由度平均模態應變能系數[17-18]

(27)

結合式(1)與式(27)，可得基于有效獨立法的加權平均應變能系數法[18]

(28)

通過迭代計算E′，選擇E′最大元素所對應的測量點，直到全部挑選的測量點所對應的MAC矩陣非對角元素最大值滿足收斂條件。為了使測點不聚集，在每添加一個測量點時，都必須檢驗此測量點是否滿足與全部已挑選的測量點之間的距離都比最小距離Di大的條件，即

Di=Dlgξmin/lgξi

(29)

其中：D為常量，為最小指定距離。

這樣使結構在振動較大的區域布置的傳感器較多，而振動相對平緩的區域的傳感器數就較少，既保證目標模態的完整性和獨立性，又能使測點不聚集。

3 仿真算例

3.1 模型概況

以火箭模型為仿真實例進行測點優化布置，火箭模型共有8 088個單元，7 778個節點， 則有46 668個自由度。火箭模型的材料參數：彈性模量為2.1×1011Pa，泊松比為0.3，材料密度為7 800 kg/m3；四個助推器底部未固定，其材料參數：彈性模量為2.692 307 8×1010Pa，泊松比為0.3，材料密度為2 800 kg/m3。

使用MSC/Nastran提取前20階模態為目標振型。前 20階模態的固有頻率如表1所示。

表1 前20階模態的固有頻率

3.2 測點優化布置及對比

根據改進縮聚法得到質量矩陣， 用權重系數修正后得到模態矩陣， 計算每個自由度的平均模態應變能系數，當指定最小距離選擇為1.1 m，并通過迭代算法篩選出滿足收斂條件的測點，添加到測點集合，測點數到達208時，目標模態振型的正交性已滿足收斂條件，迭代結束。根據每添加一個自由度到測點集合記錄的MAC矩陣非對角元素最大值,繪制MAC收斂圖，對應的MAC矩陣正交圖，以及選擇的測點位置，對火箭進行傳感器布置的效果圖如圖1(a)所示。

運用基于平均應變能系數有效獨立法優化算法，對該模型進行傳感器優化配置，如圖1(b)所示。

根據Guyan縮聚后的質量矩陣，再運用基于平均模態應變能系數有效獨立法優化算法，對該模型進行傳感器優化配置，如圖1(c)所示。

由圖1中(a)～(c)可知,筆者提出的混合優化配置方案對應的MAC非對角元素值最小，布點不聚集，布點效果最好，這說明了由筆者提出的混合優化算法得到的方案不僅最大可能的保留了被測結構的真實和完整的動態特性，而且更好地保證了目標模態振型之間的正交性。

圖1 3種測點優化配置及其對比Fig.1 Three kinds of optimal sensor configuration and contrast

4 模態試驗

GARTEUR飛機模型是由具有12個成員的歐洲航空科技研究組織結構與材料工作組研制的一個典型的標準飛機，該飛機具有真實飛機的密集、高柔度、低模態頻率的特點。利用Patran軟件對GARTEUR飛機建模，用筆者提出的混合優化算法對其仿真，得到優化配置方案，并用此優化方案布點進行模態試驗，得到的模態參數與仿真得到的模態參數進行對比。試驗頻率和仿真頻率對比如表2所示。

MAC矩陣正交圖進行對比如圖2所示。前8階試驗振型圖與仿真振型圖對比如圖3所示。

表2 試驗頻率和仿真頻率對比

圖2 MAC矩陣正交對比圖Fig.2 MAC matrix orthogonal contrast figure

圖3 前8階試驗振型與仿真振型對比圖Fig.3 In the first eight order type of vibration test and simulation mode comparison chart

由試驗和仿真對比可知：試驗頻率和仿真頻率相差微小，低于5%，試驗和仿真的MAC矩陣正交圖十分相似，并且各階振型正交收斂，試驗和仿真的模態振型圖一致。因此，筆者提出的混合優化算法，對結構測點的優化有良好的指導意義，具有很大的工程實用價值。

5 結 論

1) 傳統的Guyan縮聚法忽略了結構的慣性量，當被縮聚的自由度質量較大時會有很大的誤差，而改進縮聚法考慮了結構的一階慣性量，使得布置傳感器的數量由改進前的301個，降為改進縮聚后的235個。MAC矩陣非對角元素最大值由改進前的0.145，降為改進縮聚后的0.096，明顯提高了精度。

2) 引入的權重系數這一參數，不僅在優化算法中發揮了模態應變能能對測點布置的影響，而且盡量地保留了各階目標模態的重要信息。

3) 迭代計算以所選測點對應的MAC最大非對角元素小于0.1為收斂條件，能計算出最佳測點個數和坐標位置，其他的優化配置算法卻沒有給出最佳測點個數和坐標位置這類信息。

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國防軍工資助項目；江蘇高校優勢學科建設工程資助項目

2016-01-27；

2016-05-19

TH113.1； V214.3+3； O324

戴冠幫,男, 1985年10月生，碩士、助理工程師。主要研究方向為機械振動系統的分析、測試及其控制。曾發表《大型結構測點的優化與配置》(《噪聲與振動控制》2015年第35卷第6期)等論文。

E-mail: daiguanbang@sina.com

紀國宜，男，1963年1月生，碩士、副研究員。主要研究方向為振動信號測試與分析、大型結構模態分析及設備狀態在線監測等。

E-mail:jgy@nuaa.edu.cn