新的Nystrom法解二維第二類Fredholm積分方程

徐 建, 黃 晉

(電子科技大學 數學科學學院， 四川 成都 611731)

新的Nystrom法解二維第二類Fredholm積分方程

徐 建, 黃 晉*

(電子科技大學 數學科學學院， 四川 成都 611731)

基于Nystom方法的定義，利用積分中值定理下的Nystrom方法來解決線性的二維第二類Fredholm積分方程，從而得到積分方程的近似解，并且還對所得的近似解作了相應的誤差估計和收斂性分析.最后，給出了一些相應的數值算例，將數值解與解析解相比較，表明了該方法的可行性和有效性.

Nystrom方法； Fredholm積分方程； 誤差分析

由于積分方程已被廣泛應用于彈性力學、流體力學、計算電磁學、計算生物和熱傳導等實際的工程問題，因此受到很多人的關注和重視.近20年來，很多方法也用來解決第二類Fredholm積分方程，如配置法[1-2]、泰勒多項式逼近法[3-4]、Nystrom方法[5-7]、小波分析法[8-11]、Galerkin方法[12]等.

1 Nystrom方法的基本理論

考慮積分方程

f(x,y), (x,y)∈[a,b]×[a,b],

(1)

其中，f(x,y)是定義在[a,b]×[a,b]上的連續函數，k(x,y,s,t)是連續的核函數.所謂傳統的Nystrom方法：首先定義線性積分算子K是映C[a,b]×[a,b]到C[a,b]×[a,b]的緊算子，并且有

(x,y)∈[a,b]×[a,b].

(2)

由數值積分的插值求積公式有

(x,y)∈[a,b]×[a,b],

(3)

其中，(xm,yt)為[a,b]×[a,b]上的求積節點，m=0,1,2,…,n-1;t=0,1,2,…,n-1，一系列系數a00,a01,…,a0n;a10,a11,…,a1n;…;an0,an1,…,ann為求積系數.為此，根據Nystrom方法，方程(1)的數值解可表示為

φn(x,y)=f(x,y)+

(4)

f(xi,yj),i=0,1,2,…,n-1,j=0,1,2,…,n-1.

(5)

為此，得到的積分方程數值解的方法叫Nystrom法或者叫機械求積法[1].

2 利用積分中值定理下新的Nystrom數值求積法

前面初步介紹了數值積分法，下面對這個方法進行改進，使之更加簡化.在討論新方法之前，需要回顧積分中值定理:

(6)

為此，假設x0=a,…,xn=b，利用積分區間可加性定理有

(7)

(8)

其中xk

令

(9)

其中ck(k=0,1,2,…,n)都是常數.如果ck是能夠被確定的，那么Tn(s,ck)這個求積公式就是精確的；但這只是理論的想法，而實際上Tn比T(s)更難處理，因為常數c和ck都是未知的，很難確定；但是將Tn(s,ck)這個公式應用到求解第二類連續核的Fredholm積分方程的近似解中去，會使計算更加簡單容易.為了使計算方便，通常都是取等距節點

xk=a+kh,k=0,1,2,…,n,

(10)

(11)

對于二維問題，同理可以采用二重積分中值定理，然后再應用于解二維第二類連續核的Fredholm方程中，得到

(12)

其中，0

hct(y))·φ(xm+hcm(x),yt+hct(y)),

(13)

其中，(x,y)∈[a,b]×[a,b]，未知函數cm(x)和ct(y)(m=0,1,2,…,n-1;t=0,1,2,…,n-1)分別依賴于x和y，且0

cm(x)=cm，ct(y)=ct，

(14)

其中,cm和ct都是常數，且0

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·φ(xm+hcm,yt+hct),

其中,(x,y)∈[a,b]×[a,b]，0

下面定義積分算子

hct)·φ(xm+hcm,yt+hct),

(15)

且有如下定理：

證明對于?φ∈C[a,b]×[a,b]，并且‖φ‖≤1,由于

而

hcm,yt+hct)·φ(xm+hcm,yt+hct)|≤

所以

(19)

即

又因為積分核函數k(x,y,s,t)是連續函數，所以必然存在一點(m0,n0)∈[a,b]×[a,b]使得

(20)

另外，若選擇φ0∈C[a,b]×[a,b]，‖φ0‖=1，且

k(m0,n0,xm+hcm,yt+hct)·φ0(xm+hcm,yt+hct)=

|k(m0,n0,xm+hcm,yt+hct)|,

m=0,1,2,…,n;t=0,1,2,…,n,

(21)

則可以得到

(22)

而

hcm,yt+hct)·φ0(xm+hcm,yt+hct)=

(23)

因此，定理得證.

通過以上求積公式的算法構造，可得到方程(1)的近似解

(x,y)∈[a,b]×[a,b],0

(24)

i=0,1,2,…,n-1;j=0,1,2,…,n-1.

(25)

也即原算子方程

φ-Kφ=f,

(26)

可以近似為算子方程

(27)

3 收斂性分析和誤差分析

對于以上的算法是否有效呢？得到的解是否收斂呢？誤差是否合理呢？這些都是值得去研究和討論的；為此，就需要進一步對解的收斂性做判斷，以及對誤差進行分析.首先，為了方便討論，令

其中,0

定理2如果函數s(x,y)[a,b]×[a,b]上是連續的，并且滿足利普希茨條件[1]：

1)‖s(x1,y)-s(x2,y)‖≤L1‖x1-x2‖,

2)‖s(x,y1)-s(x,y2)‖≤L2‖y1-y2‖，

其中L1和L2都是大于0的常數,則有

(29)

證明因為

s(xm+hcm,yt+hct)‖=

s(xm+hcm,yt+hc)-s(xm+hcm,yt+hct)‖≤

‖s(xm+hcm,yt+hc)-s(xm+hcm,yt+hct)‖]≤

其中L1和L2都是大于0的常數.又因為

所以

0<|c-cm|<1， 0<|c-ct|<1,

(31)

從而有

(32)

令

L1+L2=M,

(33)

則有

(34)

為此有

同樣，有如下定理：

定理3如果函數k(x,y,s,t)是在D內上的連續函數，并且滿足利普希茨條件[1]：

1)‖k(x,y,s1,t)-k(x,y,s2,t)‖≤L3‖s1-s2‖，

2)‖k(x,y,s,t1)-k(x,y,s,t2)‖≤L4‖t1-t2‖，

3)‖φ(s1,t)-φ(s2,t)‖≤L5‖s1-s2‖，

4)‖φ(s,t1)-φ(s,t2)‖≤L6‖t1-t2‖，

其中L3、L4、L5以及L6都是大于0的常數，則有

(35)

證明因為

φ(xm+hcm,yt+hct)-

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖≤

φ(xm+hcm,yt+hct)-

k(x,y,xm+hcm(x),yt+hct(y))·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖=

φ(xm+hcm,yt+hct)-

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·

φ(xm+hcm,yt+hct(y))+

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·

φ(xm+hcm,yt+hct(y))-

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))+

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))-

k(x,y,xm+hcm,yt+hct(y))·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))+

k(x,y,xm+hcm,yt+hct(y))·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))-

k(x,y,xm+hcm(x),yt+hct(y))·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖≤

φ(xm+hcm,yt+hct)-

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·

φ(xm+hcm,yt+hct(y))‖+

φ(xm+hcm,yt+hct(y))-

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖+

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))-

k(x,y,xm+hcm,yt+hct(y))·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖+

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))-

k(x,y,xm+hcm(x),yt+hct(y))·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖≤

h3L4‖φ(x,y)‖

h3L3‖φ(x,y)‖

(36)

這里,0

h3L4‖φ(x,y)‖·n2+h3L3‖φ(x,y)‖·n2=

h3·n2(L4+L3)‖φ(x,y)‖=

(37)

若令

L6+L5=M1,L4+L3=M2,

(38)

則有

M2‖φ(x,y)‖],

(39)

從而得到

即定理得證.

M2‖φ(x,y)‖].

(40)

4 具體的算法步驟整理

由于0

可以得到近似解

(42)

之后，再采用求取平均值作為最終的近似結果，即

(43)

5 數值算例

例1[1]考慮二維的積分方程

首先，當取n=5時，得到其解析解u和數值解un的圖像分別如圖1和圖2.

圖 2 當n=5且k=10的數值解曲線

當n=5、10、15,且k=10時,其數值解un和解析解u的絕對誤差見表1.

表 1 誤差分析表

6 結束語

對于多維線性的第二類Fredholm積分方程，積分中值定理下的Nystrom方法是一種簡單有效的方法，并且該方法所得到的數值解的收斂性和誤差估計也得到了分析和證明；但是該方法所達到的計算精度并不高，對它所得到的解進行迭代過后，會達到更高的精度.當然，更好的方法有待進一步研究.

[1] 呂濤,黃晉. 積分方程數值解的高精度算法[M]. 北京:科學出版社,2012:197-215.

[2] GRAHAM I G. Collocation methods for two dimensional weakly singular integral equations[J]. J Austral Math Soc,1981,B22(4):456-473.

[3] 黃勇,李顯方. 二維Fredholm方程的Taylor展開式解法[J]. 數學理論與應用,2007,27(1):92-95.

[4] LIU Y C. Application of the Chebyshev polynomial in solving Fredholm integral equations[J]. Math Comput Model,2009,50(3):465-469.

[5] NELAKANTI G L. Iteration methods for Fredholm integral equations of the second kind[J]. Comput Math Appl,2007,53(6):886-894.

[6] WANG K Y, WANG Q S. Lagrange collocation method for solving Volterra-Fredholm Integral equations[J]. Appl Math Comput,2013,219(21):10434-10440.

[7] ZHONG X C. A new Nystrom-type method for Fredholm integral equations of the second kind[J]. Appl Math Comput,2013,219(17):8842-8847.

[8] XIAO J Y, WEN L H, ZHANG D. Solving second kind Fredholm integral equations by periodic wavelet Galerkin method[J]. Appl Math Comput,2006,175(1):508-518.

[9] 霍春雷,馮象初. 第二類Fredholm積分方程的小波快速算法[J]. 工程數學學報,2003,20(6):42-46.

[10] 張慧. 高階奇異積分方程的小波解法[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2010,33(4):471-473.

[11] 李來,孫經先,趙呂慧子. 一類Hammerstein型積分方程的解[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2011,34(5):646-650.

[12] 黃春妙,王五生. 若奇異非線性迭代積分不等式及其應用[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2016,39(2):214-220.

The Solution of the Second Kind Fredholm Integral Equationunder the New Nystrom Method

XU Jian, HUANG Jin

(CollegeofMathematicsScience,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Chengdu611731,Sichuan)

Based on the definition of Nystrom method, in this paper we use a new Nystyom method under the integral mean value theorem to solve the two-dimendion linear second kind Fredholm integral equation, and get its approximate solution. We also give the corresponding error estimation and convergence analysis for the approximate solution. Finally, a corresponding numerical example is given to show the feasibility and effectiveness of this method.

Nystrom method; Fredholm integral equation; error estimation

2016-04-17

國家自然科學基金(11371079)

*通信作者簡介：黃 晉(1965—)，男，教授，主要從事積分方程高精度算法的研究，E-mail：huangjin12345@163.com

O241.83

A

1001-8395(2017)05-0609-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.008

2010MSC:45B05

(編輯 余 毅)