關(guān)于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分的Hermite-Hadamard型不等式

邱克娥, 彭長(zhǎng)文

(貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 貴州 貴陽(yáng) 550018)

關(guān)于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分的Hermite-Hadamard型不等式

邱克娥, 彭長(zhǎng)文

(貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 貴州 貴陽(yáng) 550018)

主要建立2個(gè)關(guān)于已知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的重要Hermite-Hadamard型Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分恒等式,進(jìn)而得到關(guān)于某些特殊凸函數(shù)有意義的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分的Hermite-Hadamard型不等式,如s-凸函數(shù)、m-凸函數(shù)、(s,m)-凸函數(shù)等.這些結(jié)果改進(jìn)了一些文獻(xiàn)中的有關(guān)結(jié)果,并結(jié)合幾個(gè)常用的平均值給出應(yīng)用.

Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分; Hermite-Hadamard型不等式;s-凸函數(shù);m-凸函數(shù); (s,m)-凸函數(shù)

1893年,Hermite和Hadamard給出了著名的Hadamard不等式(也叫Hermite-Hadamard不等式):若f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)凸函數(shù),則有

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)為線性函數(shù)時(shí)成立.近些年來(lái),Hermite-Hadamard不等式受到廣泛關(guān)注并應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際及計(jì)算機(jī)領(lǐng)域,參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3].更有許多學(xué)者對(duì)Hermite-Hadamard不等式做了大量的改進(jìn)和推廣,M.Z.Sarikava等在文獻(xiàn)[4]的定理2中得到:設(shè)0≤a

其中

顯然Hermite-Hadamard不等式是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分的一種特殊形式,只需要α=1.對(duì)于分?jǐn)?shù)積分的有關(guān)結(jié)果,參看文獻(xiàn)[5-7].ZhuC.等在文獻(xiàn)[8]定理2.3中得到如下結(jié)果:

定理1[8]設(shè)a

受上述不等式的啟發(fā),本文主要建立關(guān)于s-凸函數(shù)、m-凸函數(shù)、(s,m)-凸函數(shù)的左Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分的Hermite-Hadamard不等式,其中某些結(jié)果改進(jìn)了上述不等式的結(jié)果.

1 定義和引理

為了方便,首先給出一些記號(hào)、凸函數(shù)的有關(guān)概念以及本文所需要的2個(gè)重要引理.記I是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)子集,即I?R.

定義1[9]設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I?R+上有定義,若對(duì)任意x,y∈I和λ∈[0,1],都有

f(λx+(1-λ)y)≤λsf(x)+(1-λ)sf(y),

其中s∈(0,1],則稱f(x)是I上的s-凸函數(shù).

定義2[10]設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I?R+上有定義,若對(duì)任意x,y∈I和λ∈[0,1],都有

f(λx+m(1-λ)y)≤λf(x)+m(1-λ)f(y),

其中m∈[0，1],則稱f(x)是I上的m-凸函數(shù).

定義3[10]設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I?R+上有定義,若對(duì)任意x,y∈I和λ∈[0，1],都有

f(λx+m(1-λ)y)≤λsf(x)+m(1-λs)f(y),

其中(s,m)∈[0，1]×[0，1],則稱f(x)是I上的(s,m)-凸函數(shù).

不少學(xué)者關(guān)于s-凸函數(shù)、m-凸函數(shù)、(s,m)-凸函數(shù)得到許多Hermite-Hadamard不等式，可以參看文獻(xiàn)[10-12].關(guān)于其他類型凸函數(shù)如MT-凸函數(shù)、Schur-凸函數(shù)、GA-凸函數(shù)的相關(guān)不等式,參看文獻(xiàn)[13-15].

引理1設(shè)a

證明

I1+I2-I3-I4-I5+I6.

(1)

分別積分得

(2)

(3)

且

(4)

且

(5)

(6)

且

(7)

所以將(2)～(7)式代入(1)式可得

(8)

注1在引理1中,令α=1,則有

引理2設(shè)a

證明利用引理1,并注意到區(qū)間[a,mb]?[a,b],則該引理易得.證畢

2 主要結(jié)果及證明

2.1主要結(jié)果通過(guò)引理1和引理2得到如下結(jié)果,其中定理2中的分?jǐn)?shù)積分不等式是定理1中不等式的加細(xì).

定理2設(shè)a

其中,0<α≤1,B是貝塔函數(shù);

其中α>1.

定理4設(shè)a

當(dāng)α≥1時(shí),下列分?jǐn)?shù)積分不等式成立

2.2定理2的證明對(duì)任意t∈[0，1],由引理1及基本不等式(1+t)α<2α有

由于|f′(x)|是定義在[a,b]上的s-凸函數(shù),則對(duì)任意t∈[0，1],對(duì)某些固定的s∈(0,1]有

且

因此

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得到

由于對(duì)任意t∈[0，1],s∈(0,1],有不等式(1+t)s≤1+ts,所以

另一方面,對(duì)任意t∈[0，1],當(dāng)α∈(0,1],有不等式(1+t)α≥2α-1(1+tα),所以

當(dāng)α∈(1,∞)有不等式(1+t)α≥1+tα,所以

綜上所述,當(dāng)α∈(0,1]時(shí)

當(dāng)α∈(1,∞)時(shí)

因此

其中

K′=

定理2得證.

注2在定理2中取α=s=1,則

得到文獻(xiàn)[11]中的結(jié)果.該結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果.

且

與定理2證明類似可得,定理3結(jié)論成立.證畢.

2.4定理4的證明由于|f′(x)|是定義在[a,b]上的可測(cè)(s,m)-凸函數(shù),對(duì)任意t∈[0，1],對(duì)某(s,m)∈(0,1]2,

且

與定理2證明類似可得,定理4結(jié)論成立.證畢.

3 應(yīng)用

對(duì)任意實(shí)數(shù)α,β,α≠β，考慮文獻(xiàn)[12]中的以下平均值:

命題1設(shè)a,b∈R,a

證明設(shè)f(x)=xn,α=1,應(yīng)用定理2即可證.證畢.

命題2設(shè)a,b∈R,a

證明設(shè)f(x)=1/x,α=1,應(yīng)用定理2即可證.證畢.

命題3設(shè)a,b∈R{0},ab-1,0?[a,b],n∈Z且|n|≥2,則

同時(shí)

證明在命題1及命題2中,做替換a→b-1,b→a-1即可證.證畢.

致謝2015年省級(jí)本科教學(xué)工程建設(shè)項(xiàng)目(黔教高發(fā)[2015]337號(hào))和基于ACM/ICPC問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》課程教學(xué)改革項(xiàng)目(黔教高發(fā)[2015]337號(hào))對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

[3] CAL J, CARCAMOB J, ESCAURIAZA L. A general multidimensional Hermite-Hadamard type inequality[J]. J Math Anal Appl,2009,356(2):659-663.

[4] SARIKAYA M Z, SET E, YALDIZ H, et al. Hermite-Hadamard’s inequalities for fractional integrals and related fractional inequalities[J]. Math Comput Model,2013,57(9/10):2403-2407.

[5] DAHMANI Z. New inequalities in fractional integrals[J]. Nonlinear Sci,2010,9(4):493-497.

[6] DAHMANI Z. On Minkowski and Hermite-Hadamard integral inequalities via fractional integration[J]. Ann Funct Anal,2010,1(1):51-58.

[7] Dahmani Z. On some new fractional integral inequalities[J]. Inter J Math Anal,2010,4(4):185-191.

[8] ZHU C, FECKAN M, WANG J. Fractional integral inequalities for differentiable convex mappings and applications to special means and a midpoint formula[J]. J Appl Math:Statistics and Informatics,2012,8(2):21-28.

[9] HUDZIK H, MALIGRANDA L. Some remarks ons-convex functions[J]. Aequationes Mathematicae,1994,48(1):100-111.

[10] TUNC M. On new inequalities form-convex functions via Riemmann-Liouville fractional integration[J]. Filomat,2013,27(4):559-565.

[11] KIRMACI U S. Hermite-Hadamard type inequalities fors-convex functions[J]. Appl Math Comput,2007,19(3):26-35.

[13] CHU Y M, KHAN M A, KHAN T U, et al. Generalizations of Hermite-Hadamard type inequalities for MT-convex functions[J]. Nonlinear Sci Appl,2016,9(6):4305-4316.

[14] CHU Y M, WANG G D, ZHANG X H. Schur convexity and Hadamard’s inequality[J]. Math Ineq Appl,2010,13(4):725-731.

[15] ZHANG X M, CHU Y M, ZHANG X H. The Hermite-Hadamard type inequality of GA-convex functions and its application[J]. J Ineq Appl,2010,11(1):1-11.

On Hermite-Hadamard-type Inequalities for Riemann-Liouville Fractional Integrals

QIU Ke’e, PENG Changwen

(InstituteofMathematicsandComputerScience,GuizhouNormalUniversity,Guiyang550018,Guizhou)

In this paper, we explore two important Hermite-Hadamard-type fractional integral identities including the first-order derivative of a given function. With the help of the fractional integral identities, some interesting and important Hermite-Hadamard’s inequalities involving Riemann-Liouville fractional integrals fors-convex,m-convex, (s,m)-convex functions are established, respectively. The results obtained in this paper provide a refinement of previously known results in the literature and some applications to special means of real numbers.

Riemann-Liouville fractional integrals; Hermite-Hadamard type inequalities;s-convex functions;m-convex functions; (s,m)-convex functions

2016-02-15

貴州省科學(xué)技術(shù)基金(黔科合J字[2014]2142)、貴州省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目(黔教合KY字[2015]422號(hào))和卓越工程師教育培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目(黔教高發(fā)[2013]446號(hào))

邱克娥(1986—),女,講師,主要從事函數(shù)論的研究,E-mail:qke456@sina.com

O122.3

A

1001-8395(2017)05-0644-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.014

2010MSC：26A15; 26A51

(編輯 李德華)