歷史讓概念不再冰冷教學改革實踐研究

聶晶品++陸廣地

摘 要：復數的概念（第一課時）關鍵問題是：為什么引入復數、怎么引入復數（虛數單位i的引入）、什么是復數、復數怎么分類，從教材結構分析教材是按照關鍵問題呈現，但復數比之前學過的數更抽象，尤其是虛數單位i引入，會引發學生認知上沖突、心理上排斥，如果在教學中按部就班呈現，使得數學課堂顯得“冰冷”，失去讓學生體會數學感性一面，本文展示從研究歷史來更好地理解概念，在教學中更好地讓學生體會概念產生“火熱”一面。

關鍵詞：復數的概念 數系擴充史 教學感悟

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）09（b）-0124-02

《復數的概念》是五年制高職《數學（第四冊）》第17章復數及其應用的起始課，教材章首語簡要說明虛數引入是由解方程產生，并簡要介紹復數在一些實踐應用。對復數的概念（第一課時）關鍵問題是：為什么引入復數、怎么引入復數、什么是復數（虛數單位i的引入）、復數怎么分類，分析教材中復數概念呈現方式：復數產生背景→探究歷史名題→介紹虛數i→復數的相關概念→思考交流→對概念理解應用。教材是按照關鍵問題呈現，但復數概念比較抽象，尤其是虛數單位i引入，會引發學生認知上沖突，筆者在實際教學中嘗試引導學生回顧數系擴充史來引入復數的概念。

1 研究歷史理解概念

從歷史發展來看，早在公元3世紀，丟番圖在《算術》中就遇到了二次方程無解的問題，但此后的數學家都一致認為當判別式小于零時方程是無解的。復數歷史的真正開端是16世紀，意大利數學家卡丹在解決著名問題：“將10分成兩部分，使它們的乘積等于40”時首次給出了形如“5+和5-兩個解，但他認為這是不可能的情形。二十幾年以后，另一位意大利數學家邦貝利解三次方程時也發現一組“不可能的情形”這令邦貝利非常吃驚。為了更進一步探索，他提出設想解決了矛盾，還由此給出了虛數運算法則。但是，邦貝利的發現并沒有改變虛數的“命運”，直到德國著名數學家萊布尼茨在研讀邦貝利的《代數學》一書時，對邦貝利的討論并不滿意，因此對其進行了更加深入的研究時，又一次遇到了“不可能”的情形，隨后，萊布尼茨利用上述方法從理論上證明了卡丹公式在“不可能”的情形下也是成立的，虛數并不是求根的障礙。

研究歷史，能使我們對虛數單位的產生過程獲得深刻認識，歷史上數學家并不是直接面對x2=-1來擴充實數系的，而是因注意到兩個數的和的存在讓我們沒有理由去懷疑兩個加數的存在，于是只有一種可能，那就是還存在除了實數之外的數。這促使數學家們創造出了虛數單位i，這也是數學家研究動機的源頭。

2 歷史讓概念不再冰冷教學實踐

張奠宙教授指出，一般把數學成果分為3種不同的形態：第一種是數學家建構數學思想、發現數學定理時的原始形態；第二種是公開發表的，寫在論文里、教科書上的學術形態；第三種是數學教師在課堂教學中的教育形態。對于數學教師，其主要責任是如何把數學的原始形態、學術形態轉化為學生容易理解的教育形態，以揭示“冰冷美麗”背后“火熱的思考”的數學本質”[2]。筆者通過研究歷史對復數概念引入設計了如下問題情境。

問題1：回顧將10分成兩部分，使得二者的乘積為40，求這兩個數。

問題2：思考這問題在實數范圍無解，但卻存在這兩數的和、積是確實的實數，請大家思考這意味著什么？

教師引導學生研究上述兩問題本質是揭示引入新數必要性，上述兩問題解決了為什么引入復數。緊接是怎樣引入復數，實質是讓學生理解對虛數單位i引入必要性。

以下是虛數單位i的引入的教學實錄。

師：實際從數系擴充史中我們不難發現這樣現象，當生活中和數學內部出現原有數系無法表達數時，我們會引入一個新的數……（數的發展回顧與小結）

師：現在，我們回到剛才的問題存在這兩數的和、積是確實的實數，而解方程時卻發現這樣問題沒有實數解，這個問題如何解決呢？

生1：說明應該引入一個新數。

師：什么新數？（用什么表示）

生：……

師：上述問題簡單化實質是一個什么樣數平方后是負數？（看學生反應）

師：轉化式子是？2=-4，？2=-9，？2=-100，…。要是一個新數平方為這樣負數，如果我們每個式子創造一個新數是不可能，我們想如何找到這些問題的共同點？

生：……

生2：就是要使這個數的平方等于-1。（但不知用什么表示好）

師：為什么把上述式子歸結為？2=-1？

生2：？2=-1×4，？2=-1×9，？2=-1×100，…，只要引入一個新數，使得新數的平方等于-1，這些式子就都可表示，只是這樣數怎么表示不知道。

師：很好，這也是16世紀數學家思考過問題（PPT顯示：數學家歐拉用i表示這個數。數學史料及時介入）；現在，我們知道-1可以開平方根了，-1的平方根是多少？

生3：i（-i稍后得出，開始學生不知道有）。

師：也就是說-1的平方根為±i，或說方程x2=-1，x=±i。

師：回到前面的問題，如x2=-4，則x=？

生4：x=2i。

師：是2i？

生5：還有-2i。

師：對，由此可看出虛數單位i可以與實數2相乘。

師：虛數單位i不僅與實數可以相乘，而且也可與實數進行加減乘除四則運算，實數與虛數單位i的基本的乘法與加法運算自然就產生了一個新的數——復數。（隨后引導學生學習什么是復數、復數的代數形式、復數的分類、復數概念應用）

3 教學反思

借助數學史中名題：兩個數的和積存在這兩個數怎能不存在，教師抓住時機讓學生在自由言說中發現引入新數的必要性，這是本次課難點也是本次課亮點地方，教師這樣做對于突破教學難點起到了很大的作用，同時讓學生看到了數學是充滿生機和不斷發展的，這是本次課的亮點地方。

基于歷史的概念教學不僅讓數學知識不再冰冷，還能培育學生核心價值觀。中共18大以來，社會主義核心價值觀是當前中國文化的主流要求，各級部門要求將其貫穿到社會的所有部分，當然應該在教育的整個過程體現。數學文化用文化的力量調動學生的學習興趣，用科學的價值啟發學生的創新精神，用先進思想培育學生的情操，用人文情懷影響學生的正確觀念，用數學史（包含中國數學史）中代表性人物與思想熏陶學生的核心素養。這些都與核心價值觀的要求無論在外在目的與內在的重心是一致的。

參考文獻

[1] 張奠宙.微積分教學：從冰冷的美麗到火熱的思考[J].高等數學研究，2006（2）：2.

[2] 張奠宙.關于數學知識的教育形態[J].數學通報，2001（4）：2.

[3] 陳鋒，薛鶯.從課堂“微探究”談初中數學有效教學[J].中學數學教學參考（中旬），2013（4）：10.

[4] 張奠宙，張蔭南.新概念用問題驅動的數學教學[J].高等數學教育，2004，7（3）：8-10.endprint