函數間斷點的分類及其計算方法

李一帆

摘 要：氣溫變化、植物生長都是連續變化的，這種現象在函數關系上反映就是函數的連續性。但有些函數在其定義域內會出現不連續的情況，即斷開的情況，這樣的點是函數的間斷點，本文就來討論這樣的點的類型及其計算方法。

關鍵詞：不連續 間斷點 分類 計算方法

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）09（b）-0218-02

我們知道，在數學中，基本初等函數在其定義域內都是連續的，但其他類型的函數存在間斷點，討論函數間斷點的類型和如何計算的間斷點是本文的重點內容。

1 函數的間斷點

1.1 間斷點的概念

定義：如果函數在處不連續，則稱為函數的一個間斷點。

1.2 產生間斷點的原因

（1）在處沒有定義

例如：在處沒有定義。

（2）在處沒有極限

例如：當時沒有極限。

（3）

例如：當時。

1.3 間斷點的分類

定義：如果是間斷點，當在左右極限都存在時，則稱為第一類間斷點。若及中至少有一個不存在，則稱為第二類間斷點如圖1。

間斷點類型可如圖2～4所示。

2 函數間斷點的計算方法

例1：求函數的間斷點，并判斷其分類。

解：因為函數在處沒有定義，可以先考察函數在該點處的左右極限。

左極限：

右極限：

所以，

但在沒有定義

因此，是第一類間斷點，且是可去間斷點。

例2：判斷函數的間斷點的類型。

解：是分段函數，是其間斷點。

下面分析在處的左右極限。

左極限：

右極限：

則：

因此，是第一類間斷點，且是跳躍間斷點。

例3：求正切函數的間斷點及其類型。

解：正切函數在處沒有定義，且因此，是正切函數的第二類間斷點，且是無窮間斷點。

例4：求正弦函數的間斷點及其類型。

解：正弦函數在點處沒有定義，且當時，的函數值在-1和1之間無限次的變動，因此在點的極限不存在，所以，是的第二類間斷點，且是振蕩間斷點。

3 結語

間斷點是不連續函數的重要特征，可去間斷點或跳躍間斷點是函數在該點的左極限、右極限都存在，但第二類間斷點是左、右極限至少有一個不存在。函數的間斷點在實際生活中也具有十分重要的作用。

參考文獻

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