基于灰色算子的分形法及應用

周偉杰，黨耀國，顧榮寶

(1.常州大學商學院，江蘇 常州 213164； 2.南京航天航空大學經濟與管理學院，江蘇 南京 211106;3.南京財經大學金融學院，江蘇 南京 210046)

基于灰色算子的分形法及應用

周偉杰1，黨耀國2，顧榮寶3

(1.常州大學商學院，江蘇 常州 213164； 2.南京航天航空大學經濟與管理學院，江蘇 南京 211106;3.南京財經大學金融學院，江蘇 南京 210046)

在灰色緩沖算子和灰色調整系數的框架下，構造灰色算子，提出了權重可調的加權移動平均去趨勢法，進一步將其拓廣為多重分形加權移動平均去趨勢法。算法表明原有的移動平均去趨勢法及其多重分形形式分別是加權移動平均去趨勢法及其多重分形的特例。用帶波動和線性趨勢的分形高斯噪聲與二項式多重分形進行數值模擬，表明權重為6的中心加權移動平均去趨勢法及其多重分形能有效地去除序列趨勢，計算出的Hurst值和多重分形譜f()比原有算法更接近真值。將權重為6的中心加權移動平均去趨勢法及其多重分形分析南京市氣溫序列的長記憶性與多重分形性，結果表明從1951-2008年，七月份氣溫增速要明顯小于一月份的增速，一月份和七月份氣溫都存在長記憶性，但七月份氣溫序列的長記憶性要高于一月份，表明一月份和七月份氣溫序列均可預測，七月份的可預測性更高些，這為通過預測對氣溫災害風險防范提供了可行性；此外，一月份、七月份的氣溫序列均有多重分形性，說明可從多標度角度對其建模分析。

灰色算子；加權移動平均去趨勢法；多重分形加權移動平均去趨勢法；長記憶性

1 引言

分形特征和長記憶性普遍存在于自然界和社會科學中[1-2]。計算單分形和多重分形的方法有很多，比如結構函數法、去趨勢波動法(Detrended Fluctuation Analysis,簡記為DFA)、配分函數法、小波領袖多重分形法等[3-4]。英國水文學家Hurst提出的重標極差R/S分析法是研究時間序列分形特征最基本的方法[5]，然而經典的R/S分析難以區分短期和長期記憶性[6]。Peng 等在研究DNA分子鏈內部相關性時提出的去趨勢波動法(DFA)[7]，與R/S分析法相比，它更具有穩健性[8]。DFA及其多重分形去趨勢波動法(Multifractal Detrended Fluctuation Analysis，簡記為MFDFA)已被用于生物、醫學、自然、地質、水文、氣候、金融等序列的結構分析中[9]。最近，Alessio等[11]將Vandewalle 和Ausloos[10]提出的移動平均技術進行了推廣，提出了移動平均去趨勢法(Detrended Moving Average，簡稱DMA法)，由于DMA可以在無任何假定條件下處理非平穩信號的長記憶性(相關性)，已在實際序列中得到廣泛應用[12-14]。進一步的數值模擬表明DMA算法在某些方面要優于DFA算法[15-16]。在DMA的基礎上，Gu 和Zhou提出多重分形移動平均去趨勢法(Multifractal Detrended Moving Average, 簡記為MFDMA)，數值模擬結果表明，MFDMA在多重分形分析方面要優于多重分形去趨勢波動法[17]。

DMA算法在計算時間序列{x(t)}某點x(t0)的趨勢時采用均值化算子，即取x(t0)周圍s個點平均值作為x(t0)的趨勢。然而，在實際生活中時間序列各點之間是相互聯系的，與x(t0)相近點的關聯性一般要大于遠離x(t0)的點。根據這一原則，在計算某點的趨勢時應該給予鄰近點更大的權重，為此可以構造加權去趨勢算子。由劉思峰[18]提出的灰色緩沖算子從把握真實行為序列的變化規律出發，弱化沖擊擾動因素，光滑原始序列，使時間序列的預測精確性得到進一步提高。如劉以安等[19]利用灰色緩沖算子提高了雷達系統的跟蹤精度。吳正朋等[20]構造一類新弱化灰色算子，使模型精度得到提高。此外，灰色系統理論中灰類調整系數具有鄰近某個灰類其權重較大的特點[21]。因此，本文借鑒緩沖算子能析出序列變化趨勢及灰類調整系數能區分因素重要性的特點，先將灰色緩沖算子與灰色調整系數結合構造出灰色算子，進而提出權重可調的加權移動平均去趨勢法(Detrended Weighted Moving Average，簡記為DWMA)，用于計算時間序列的長記憶性，即Hurst指數，簡記為H。進一步將DWMA拓展為多重分形形式(Multifractal Weighted Detrended Moving Average，簡記為MFDWMA)。類似Peng等[7]的做法，通過數值模擬，來檢驗加權移動平均去趨勢法的效果。

在實證部分，將上述模型用于分析南京市氣溫序列的長記憶性。氣溫與人們社會生產生活息息相關，特別是高溫、低溫氣候會影響到工業生產以及農作物生長等，因此對氣溫變化規律的把握可以減少災害，防范風險。由于影響氣溫的因素有很多，促成氣溫是一個復雜的非線性系統，利用一般的線性模型(例如Auto Regressive Moving Average模型，簡記ARMA)難以深入研究氣溫的結構特征。而Madbollettt提出的分形技術，通過消除序列的趨勢性來研究序列內部的相關性，可應用于非線性學科的分析研究中。如王鵬和袁小麗[22]基于金融資產多重分形特征提出的多標度分形非對稱測度，能提高VaR精度。Kalamaras等[23]利用多重分形法分析了希臘克里特島日氣溫序列，表明序列具有長記憶和多重分形性。Mali[24]利用MFDFA法研究了1850-2012年全球月度氣溫序列，結果表明氣溫序列的長記憶性以及分布特征是其產生多重分形性的主要原因，序列的多重分形可用二項式多重分形擬合。根據Pincus和Kalman[25]對長記憶與近似熵關系的研究，序列的長記憶性越強，其可預測性也越強。故整確探測出序列的長記憶性是建模預測的基礎。本文利用DWMA和MFDWMA法，以南京市一月份和七月份氣溫為研究對象，分析其長記憶性和多重分形性，并與DMA和MFDMA算法比較，檢驗新算法的有效性。

2 加權移動平均去趨勢法(DWMA)

2.1移動平均去趨勢法(DMA)

步驟1. 設{x(t)}為一時間序列，t=1,2,…,N,

(1)

步驟2.計算移動平均趨勢：

(2)

步驟3.計算序列殘差：

(3)

(4)

F(s)∝sH,

(5)

對式(5)兩邊取對數，通過最小二乘擬合可計算H值，顯然，F(s)與s之間的冪律性越好，則lnF(s)與lns的線性性也好，這樣計算出的H值也更具有可信性。一般而言，H∈[0,1],當H=0.5時，時間序列中不存在相關性。當H≠0.5時，序列存在長記憶性，序列之前變動趨勢會影響以后走勢；0

2.2灰色算子

DMA算法在計算x(t0)點的趨勢時，采用均值化算子，而在實際中，時間序列的發展具有內在聯系性，與x(t0)鄰近點的變化趨勢對x(t0)的影響要比遠離x(t0)點更加重要。為此，建立加權移動平均去趨勢法，圖1表示DWMA構建路線圖。

圖1 加權移動去趨勢構建路線圖

定義 1[21]設X為系統行為數據序列，D為作用于X的算子，X經過算子D作用后所得序列記為XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d),稱D為序列算子，XD為一階算子作用序列。

定義 2[21]稱滿足不動點、信息充分利用、解析化和規范化三公理的序列算子為緩沖算子。

定義 3[21]設有s個不同的決策灰類，令

(6)

定義4 設{x(t)}為一時間序列，t=1,2,…,N。

當θ=0時，t=1,2,…,N-s+1,令：

(7)

(8)

(9)

性質 1當λ>0時，x(t0)鄰近點在算子中的權重大于遠離x(t0)的點，即：

當λ<0時，則情況相反。

性質 3 當λ=0時，均值化算子是灰色趨勢算子的特例。

2.3加權移動平均去趨勢法(DWMA)

2.4數值模擬

在數值模擬部分，通過小波變換隨機產生長度為10000，H=0.1、H=0.3、H=0.5、H=0.7和H=0.9的分形高斯噪聲(Fractional Gaussian Noise，簡記為FGN)，同時加入人工波動趨勢s=0.01sin(2πt/10000)和線性趨勢l=0.000005t(t=1:10000)，用以檢驗DWMA的效果以及λ取值對H值的精度影響。圖2為含趨勢的分形高斯噪聲。在數值模擬中，先取λ=0,1,2,…,20對1000條分形高斯噪聲進行了模擬，發現計算出H的精度呈U型，λ=6時精度最高，這與性質2中λ取值不宜過大是一致的。為了節省空間和討論方便，沒有給出全部結果(如需要，可與作者聯系)，只取λ=6的DWMA與 DMA(即DWMA(λ=0))算法進行比較。此外，主要考慮向后、中心、向前加權移動去趨勢算法，即θ=1、θ=0.5、θ=0。標度s的范圍取為10∶2000。在模擬中，λ=6、θ=0.5時的DWMA去趨勢效果較好，計算精度也較優。為了能清楚地表示出加權移動平均去趨勢法效果，給出了中心DWMA (θ=0.5)，權重調整系數λ=0和6時標度s和波動函數F(s)雙對數圖，見圖3。對于其它λ和θ值的雙對數圖在此省略。

圖2 帶趨勢分形噪聲H=0.9 (a)無趨勢 (b)波動趨勢 (c)線性趨勢

圖3 趨勢下s和F(s)的雙對數圖(a) λ=0, θ=0.5 (b) λ=6, θ=0.5 (c) λ=0, θ=0.5 (d) λ=6, θ=0.5

對于DMA算法，從圖3(a)和(b)可以看出，在s=1000處出現交叉現象，這是由于在進行數值模擬時，時間序列中加入了波動和線性趨勢，根據文獻[7]，趨勢和帶噪信號之間的競爭導致雙標度的產生；對于λ=6的DWMA，圖3(c)和(d)標度s和波動函數F(s)的雙對數圖幾乎成一條直線，從而說明DMA可能并沒有完全或者只是去除部分趨勢，而λ=6時的中心DWMA去趨勢效果較好，能控制標度較大時標度和波動函數之間的冪律性。為了檢驗中心DWMA計算H值的精度性，記數值模擬出的Hurst值為h，結果見表1。

表1 帶趨勢分形噪聲模擬的h值

從表1可以看出，若權重調整系數λ不變，中心DWMA (θ=0.5)所計算出的h值與真值H比較接近。當H≤0.5時，無論在波動趨勢或是線性趨勢下，向后(θ=1)、向前(θ=0) DWMA計算出的h值比H>0.5時更遠離真實值；甚至對于H=0.1、H=0.3計算出的結果基本不可信。若位置參數θ不變，除了在波動趨勢下H=0.3和H=0.5時，由DWMA (λ=6)計算的h值比DMA(即DWMA(λ=0))法更遠離真實值，其余均優于DMA法。因此，總的來說，取λ=6,θ=0.5時的DWMA法模擬出的h值與真值更接近，去趨勢效果也較好，可用于時間序列分析中。

3 多重分形加權移動平均去趨勢法(MFDWMA)

將加權移動平均去趨勢法(DWMA)中的均方根波動函數F(s)拓展為q階波動函數Fq(s),可得到DWMA的多重分形形式——多重分形加權移動平均去趨勢法(MFDWMA)，算法的步驟1～4與DWMA相同，步驟5～步驟6為：

步驟 5.計算q階波動函數：

(10)

(11)

步驟 6.對于不同標度s,若F(s)與s之間存在冪律性，則有：

Fq(s)∝sh(q),

(12)

對式(12)兩邊取對數，通過最小二乘擬合可計算h(q)值。時間序列的多重分形性可通過分析廣義Hurst指數h(q)與q的依存關系來判斷。由式(12)構造標度指數τ(q)：

τ(q)=qh(q)-1,

(13)

若標度指數τ(q)為q的非線性函數，則時間序列具有多重分形性。通過勒讓德變換，可計算多重分形兩個最重要的參數，奇異指數α和多重分形譜f(α)：

α(q)=h(q)+qh′(q),

(14)

f(α)=q[α-h(q)]+1

(15)

奇異指數α(q)和多重分形譜f(α)描述了時間序列的奇異程度。根據MFDWMA的構造來看，原有的多重分形移動平均去趨勢波動(MFDMA)是其λ=0時的特例。利用二項式多重分形x(k)=an(k-1)(1-a)nmax-n(k-1),k=1,2,…,T,T=2nmax,nmax=10,對新算法進行數值模擬。同時為了比較MFDMA與MFDWMA去趨勢效果，在二項式多重分形中加入波動趨勢0.0001sin(2π(1:1024)/1024)和線性趨勢0.000005(1∶1024),見圖4。α(q)和f(q)的解析值見文獻[17]。

在分析MFDMA和MFDWMA去趨勢效果和計算多重分形參數精度時，類似于分析DWMA算法精度，也采用向后(θ=0)、中心(θ=0.5)、向前(θ=1)三種位置參數來分析。在對權重系數λ選取時，發現λ∈[5,10]時，MFDWMA求解的多重分形參數值較為精確，限于篇幅，暫未給出(若需要，可聯系作者)。由于有時需要同時對金融時間序列的單分形和多重分形進行分析，DWMA在計算序列單分形時候取λ=6，因此為了計算的方便性，在利用MFDWMA計算序列多重分形時，也取λ=6。

圖4 二項式多重分形及其加波動和線性趨勢后的二項式多重分形

圖5 MFDMA和MFDWMA的去趨勢波動函數圖

圖5為去趨勢波動函數Fq(s)與標度s之間的雙對數圖，可以看出，無論對于加入波動或是線性趨勢的二項式多重分形，MFDWMA(λ=6，θ=0.5)計算出的波動函數lnFq(s)與標度lns的線性性(相應于Fq(s)與s之間的冪律性)要好于MFDMA(θ=0.5)，這樣計算出的H(q)也更具可信性。對于向后(θ=0)、向前(θ=1)也發現具有類似特征，限于篇幅，暫未給出(若需要，可聯系作者)。圖6為加入波動趨勢和線性趨勢的二項式多重分形譜，α和f(α)為多重分形參數。圖6(a)和(b)中不帶符號的黑色實線為加趨勢前的二項式多重分形譜解析值，可看出無論是加入波動趨勢或是線性趨勢，在MFDWMA(λ=6，θ=0.5)計算下的多重分形譜，即帶菱形符號的墨綠色實線與解析值最為接近。同時，總的來說，相應于三種不同位置參數的MFDMA和MFDWMA(λ=6)，MFDWMA(λ=6)計算出的多重分形比MFDMA更接近解析值。因此，考慮序列內部相互關系的MFDWMA在計算多重分形時更有優勢，MFDWMA(λ=6，θ=0.5)和DWMA(λ=6，θ=0.5)在計算序列單分形和多重分形是較為理想的算法。

4 實證分析

在實證部分，分析南京市氣溫序列的長記憶與多重分形性。南京市地處長江中下游流域，江蘇省西南部，處在亞熱帶季風區域，濕度大、夏季受歐亞大陸低氣壓影響，雨水充沛、較為炎熱，并且持續的時間較長，冬季受歐亞大陸氣團影響較大，比較寒冷、干燥，是典型的內丘陵氣候，與武漢、 南昌、重慶并稱為中國的“四大火爐”。表2為南京市1951-2008年一月份和七月份的氣溫序列統計表。一月最高溫、最低溫、平均溫表示1951-2008年一月份每日最高氣溫、最低氣溫、平均氣溫組成的序列，每條序列長度均為1798個。七月最高溫、最低溫、平均溫的表示含義和一月份相同。從表中可以看出，南京市一月份氣溫的最大值、最小值分別為21℃、-14℃，二者相差35℃，平均氣溫為2.31℃。七月份氣溫的最大值、最小值分別為39.7℃、16.8℃，二者相差22.9℃，平均溫度為28.06℃。偏度系數除一月份最高溫其余5條序列均為負數，說明在這些序列的分布具有左偏性，序列中氣溫處于高位的情形較少。從正態性檢驗(JB)來看，序列的分布均不服從正態分布。單位根檢驗(ADF和PP)表明一月份氣溫序列是平穩的，七月份序列具有非平穩性。圖7為南京市1951-2008年一月份和七月份氣溫的日數據和年平均數據序列，圖中虛線為線性趨勢線。圖7.a1、a2、a3、c1、c2、c3表示南京市1951-2008年一月份日最高、日最低、日平均氣溫和七月份日最高、日最低、日平均氣溫序列。從各個子圖的線性趨勢線來看，其斜率均為正數，表明南京市氣溫在一月份、七月份氣溫總體呈上升趨勢，但對于日數據來說，上升變化是很微弱的。為了更清楚地反映上升趨勢的強度，在圖7.b1、b2、b3、d1、d2、d3中分別做出一月份、七月份最高氣溫、最低氣溫、平均溫度的年平均序列圖(共有58個數據)，及其線性趨勢線。從中可以看出，南京市1951-2008年一月份的年平均最高氣溫、最低氣溫、平均氣溫的增幅分別為0.14℃ /10a，0.3℃ /10a，0.2℃ /10a，表明在一月份，南京市最高氣溫每10年增長0.14℃，平均氣溫增長0.2℃，最低氣溫增長最快，每10年增長0.3℃。南京市1951-2008年七月份的年平均最高氣溫、最低氣溫、平均氣溫的增幅分別為0.045℃/10a，0.08℃/10a，0.103℃ /10a，表明在七月份，南京市最高氣溫每10年增長0.045℃，最低氣溫增長0.08℃，平均氣溫增長最快，每10年增長0.1℃，但對于每類氣溫，七月份增速要小于一月份的增速。

根據DWMA和MFDWMA法，做出波動函數F(s)與時間標度s之間的雙對數圖，以求出序列長記憶性的Hurst指數，見圖8。其中帶星號，位于毎幅圖形上部分的曲線為在原有的DMA(= 0.5)下做出的雙對數圖，帶加號，位于圖下部分的曲線即為本文提出的改進分形法(DWMA，λ= 6，= 0.5)做出的圖。圖中H表示Hurst指數，R2為線性擬合度。圖8.a1、a2、a3表示一月份最高溫、最低溫、平均溫的波動函數與時間標度之間的雙對數圖。從三個子圖中可以看出，兩種方法做出雙對數圖的線性擬合度非常接近，都在0.94以上，說明得出的標度指數具有可信性。所計算出的Hurst指數均在0.5以上，表明一月份最高溫、最低溫、平均溫均存在長記憶性。然而, 由本文提出的改進分形法(DWMA)計算出一月份最高溫、最低溫、平均溫的Hurst指數均在0.69左右，而由原有的DMA計算出的Hurst指數相差較大。事實上，由于在同一天，最高溫、最低溫、平均溫所受的外部環境相差不大，三者應該具有相類似的結構特征。此外，一月份最高溫、最低溫、平均溫均為平穩序列，因此，對于平穩序列，盡管原有算法所得出冪律性(轉化為雙對數圖，即為線性擬合度)較好，但結果不如本文提出的DWMA法穩定。為此，可選擇DWMA計算出的Hurst值作為評判標準。對于七月份氣溫，圖8.b1,b2,b3刻畫了其波動函數F(s)和時間標度s之間的冪律性，從三個子圖中可以看出，由原有的DMA法做出的雙對數圖，其線性擬合度均在0.75左右，且曲線出現了明顯的震蕩現象，與線性性相去甚遠，故所計算出的Husrt指數真實性也是值得懷疑的。由DWMA(λ= 6，= 0.5)做出波動函數和時間標度之間的雙對數線性擬合度在0.96以上，說明新算法優于原算法。三條氣溫序列的Hurst指數均在0.74左右，表明七月份最高溫、最低溫、平均溫存在長記憶性，且長記憶性要大于一月份各氣溫序列。由于七月份序列具有非平穩性，故從結果來看，DWMA處理非平穩序列的效果要優于DMA法。

圖6 MFDMA和MFDWMA的二項式多重分形譜

均值標準差最大值最小值峰度偏度JBADFPP一月最高溫6.974.1121-5.23.170.2216.76-3-7.15一月最低溫-1.173.7310.5-142.8-0.043.61-18.6-19.46一月平均溫2.313.2612.2-93.09-0.157.23-10.77-12.97七月最高溫32.223.3939.721.52.62-0.5396.27-0.98-0.69七月最低溫24.782.233016.82.68-0.4259.82-0.74-0.42七月平均溫28.062.7234.119.22.42-0.3460.66-0.89-0.49

圖7 氣溫序列及其趨勢線

利用MFDWMA(λ= 6，= 0.5)，做出南京市一月份、七月份最高溫、最低溫、平均溫序列的多重分形譜，見圖9。可以看出，六條序列均具有多重分形性，多重分形譜圖的左半部分，一月份、七月份的最高溫、最低溫、平均溫的多重分形幾乎重合；在右半部分，最高溫和平均溫的多重分形也是基本相同，最低溫的多重分形比前二者更窄些，暗示南京市最高溫和平均溫序列的內部結構比最低溫序列更復雜些。上述分析表明，盡管南京市一月份、七月份的最高溫、最低溫、平均溫序列多重分形大致相同，但仍存在一定差別，這意味著利用多重分形可以更加細致的分析序列內部結構。

圖8 氣溫序列s和F(s)的雙對數圖

圖9 氣溫序列的多重分形譜圖

5 結語

灰類調整系數，從決策的角度，給予鄰近灰類更大的權重，灰色緩沖算子從把握序列變化趨勢的角度，提高模型精度，將二者結合構造新的灰色算子，用于代替移動平均去趨勢法(DMA)中的均值化算子，從而建立權重可調的加權移動平均去趨勢法(DWMA)，進一步將其拓展為多重分形形式(MFDWMA)。分析指出了DMA(MFDMA)是DWMA(MFDWMA)的特例。數值模擬表明權重為6的中心DWMA(MFDWMA)法能有效地去除序列趨勢，其計算出Hurst、f()的精度優于原有算法。將新方法分析南京市一月份、七月份氣溫序列的長記憶性和多重分形性，結果表明一月份和七月份的最高溫、平均溫和最低溫序列均具有長記憶性和多重分形性，且一月份與七月份的最高溫和平均溫序列的內部結構比最低溫序列更復雜些。這說明一月份和七月份氣溫序列具有可預測性，為通過氣溫預測進行災害防范提供了理論支撐。本文提出的DWMA(MFDWMA)法也可用于生物、醫學、水文、地質等領域中。

[1] Mandelbrot B B. Fractals and scaling in finance [M]. New York: Springer, 1997.

[2] 魏宇.多分形波動率測度的VAR計算模型[J].系統工程理論與實踐, 2009,29(9):7-15.

[3] Jiang Zhiqiang, Zhou Weixing. Multifractal analysis of Chinese stock volatilities based on the partition function approach [J]. Physica A, 2008, 387(19-20): 4881-4888.

[4] 張林, 李榮鈞, 劉小龍. 基于小波領袖多重分形分析法的股市有效性及風險檢測[J]. 中國管理科學, 2014, 22(6):17-26.

[5] Hurst H E. Long team storage capacity of reservoirs [J]. Transactions American Society of Civil Engineers, 1951, 116(76): 770-808.

[6] Lo A W. Long-term memory in stock market prices [J]. Econometrica, 1991, 59(5): 1279-1313.

[7] Peng C K, Buldyrev S V, Havlin S, et al. Mosaic organization of DNA nucleotides[J]. Physical Review E, 1994, 49(2): 1685-1689.

[8] Hu Kun, Ivanov P C, Chen Zhi, et al.Effect of trends on detrendeductuation analysis [J]. Physical Review E, 2001, 64(1): 011114.

[9] Kantelhardt J W, Zschiegner S A, Koscielny-Bunde E, S. et al. Multifractal detrendeductuation analysis of non-stationary time series [J]. Physica A , 2002, 316(4):87-114.

[10] Vandewalle N, Ausloos M. Crossing of two mobile averages: A method for measuring the roughness exponent [J]. Physical Review E, 1998, 58(5): 6832-6834.

[11] Alessio E, Carbone A, Castelli G, et al. Second-order moving average and scaling of stochastic time series [J]. European Physical Journal B, 2002, 27(2): 197-200.

[12] Carbone A, Castelli G, Stanley H E. Analysis of clusters formed by the moving average of a long range correlated time series [J]. Physical Review E, 2004, 69(4): 026105.

[13] Serletis A, Rosenberg A A. The Hurst exponent in energy futures prices [J]. Physica A, 2007, 380(13): 325-332.

[14] Ferreira P. Portuguese and Brazilian stock market integration: A non-linear and detrended approach [J]. Portuguese Economic Journal, 2017,16(1):49-63.

[15] Xu Limei, Ivanov P C, Hu Kun, et al.Quantifying signals with power-law correlations: A comparative study of detrendeductuation analysis and detrended moving average techniques [J]. Physical Review E, 2005, 71(5): 051101.

[16] Bashan A, Bartsch R , Kantelhardt J W, et al.Comparison of detrend methods foructuation analysis[J]. Physica A, 2008, 387(21): 5080-5090.

[17] Gu Gaofeng, Zhou Weixing.Detrend moving average algorithm for multifractals[J]. Physical Review E, 2010, 82(1): 011136.

[18] Liu Sifeng. The three axioms of buffer operator and their applications to GM(1,1) prediction[J]. Journal of Grey System, 1991, 3(1): 39-48.

[19] 劉以安, 陳松燦,張明俊,等.緩沖算子及數據融合技術在目標跟蹤中的應用[J].應用科學學報,2006,24(2):154-158.

[20] 吳正朋,劉思峰,米傳民,等.基于反向累積法的弱化緩沖算子序列研究[J].中國管理科學, 2009, 17(3): 136-141.

[21] 劉思峰, 楊英杰, 吳利豐. 灰色系統理論及其應用[M]. 科學出版社, 2014.

[22] 王鵬, 袁小麗. 金融資產收益非對稱性的多標度分形測度及其在VaR計算中的應用[J]. 中國管理科學, 2015, 23(3):13-23.

[23] Kalamaras N, Philippopoulos K, Deligiorgi D, et al.Multifractal scaling properties of daily air temperature time series[J]. Chaos Solitons & Fractals, 2017, 98:38-43.

[24] Mali P. Multifractal characterization of global temperatureanomalies [J]. Theoretical & Applied Climatology, 2015, 121(3-4):641-648.

[25] Pincus S, Kalman R E. Irregularity, volatility, risk, and financial market series[J].Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2004, 101(38): 13709-13714.

TheModifiedFractalMethodsBasedontheGreyOperatorandTheirApplication

ZHOUWei-jie1,DANGYao-guo2,GURong-bao3

(1.Business College,Changzhou University,Changzhou, 213164,China;2.College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106,China;3.School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics Nanjing 210046,China)

Under the framework of grey buffer operator and grey adjustment coefficients, the grey operation is constructed, and the weighted detrended moving average with adjustable weighted coefficients and its multifractal form called as multifractal weighted detrended moving average are put forward. The original detrended moving average is a special of the modified fractal method. Numerical simulation on fractal Gauss noise and binomial multifractal withuctuation and linear trend shows that the centered detrended weighted moving algorithm whose weight is 6 can effectively remove the sequence trend, and the accuracy of Hurst and f() calculated by weighted detrended moving average and multifractal weighted detrended moving average are more close to analytics value compared with original algorithm. In empirical part, the long term memory and multifractality of daily temperature series in Nanjing from 1951 to 2008 by modified methods are investigated. The results show that the growth rate of temperature in July is significantly smaller than that of January; compared to the original methods, the conclusions from modified fractal methods are more close to reality; all temperature sequences have the long term memory feature, but the long term memory of daily temperature series in contained the highest, the lowest and the average temperature are stronger than that in January, which indicates that predictability of temperature in July is higher than that in January. The prediction of temperature series gives a way to manage the temperature disaster risk. Besides, temperature series of Nanjing in January and July possess multifractality, which suggest that the temperature series can be studied from multi scale. Through the shape of multifractal spectrum, it is found that the internal structure of the highest and average temperature sequences are more complex than the lowest temperature sequences whether for January or July.

1003-207(2017)10-0089-11

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.10.010

C931

A

2014-05-22；

2017-07-10

國家自然科學基金資助項目(71701024)

周偉杰(1983-)，男(漢族)，江蘇常州人，常州大學商學院，講師，研究方向：灰色系統、金融工程，E-mail:wjzhou@cczu.edu.cn.

Keywords： grey operator; weighted detrended moving average; multifractal weighted detrended moving average; long memory