定子橡膠襯套生熱影響因素分析

張 強 蔣 豹 劉昱良 高 磊 張曉光

(東北石油大學機械科學與工程學院)

定子橡膠襯套生熱影響因素分析

張 強 蔣 豹 劉昱良 高 磊 張曉光

(東北石油大學機械科學與工程學院)

將金屬轉子處理成剛體，橡膠襯套定子處理成彈性體，材料選取Mooney-Ritalin本構模型，采用平面應變單元，建立定轉子接觸非線性有限元模型。分析了材料硬度、轉速、損耗因子和流體壓力對橡膠襯套滯后生熱和摩擦生熱的影響，其中滯后生熱引起橡膠襯套溫升起主要作用，橡膠硬度使溫升略有減小，轉子轉速和損耗因子均導致溫升顯著增加，非均勻壓力能夠降低橡膠襯套溫升。

定轉子 剛柔接觸 非均勻壓力 滯后生熱 摩擦生熱

定轉子是采油螺桿泵和螺桿鉆具的核心部件，滯后和摩擦生熱會引起橡膠襯套溫升，對橡膠襯套性能有重要影響。定子橡膠對溫度非常敏感，在實際工況條件下，由于井底溫度、滯后生熱及摩擦生熱等因素，引起定子橡膠襯套溫度升高，產生溫脹。當溫脹高于橡膠材料所允許的最大值時，定子橡膠襯套的工作性能變差，工作扭矩增加，發生早期失效，極大地縮短了定子的使用壽命[1]。

定子橡膠襯套滯后生熱和摩擦生熱情況較為復雜，目前研究者對滯后生熱進行了深入研究，并且普遍將熱力耦合分析分解為變形分析、損耗計算和熱傳導分析這3個部分。分析了材料硬度[2,3]、泊松比[2,3]、過盈量[4～6]、轉速[2～7]、井溫[2,3]、靜壓[2,3]及壓差[2,3]等因素對定子滯后生熱的影響。Bratu C認為定轉子摩擦生熱引起的溫升是壓力梯度、轉子轉速和摩擦系數的函數[8,9]。薛建泉等考慮橡膠襯套的滯后生熱和定轉子摩擦生熱的共同作用，采用單向解耦法，研究了過盈量和轉速對定子溫升的影響[5]。

但在滯后生熱和摩擦生熱雙熱源共同作用下，考慮腔室壓力的作用方式、定子材料硬度、轉子轉速及橡膠損耗因子等綜合影響因素，研究定子溫升的影響還未見報道。鑒于此，筆者采用二維平面模型，建立了定轉子接觸非線性有限元模型，動態施加腔室流體壓力，采用單向熱力耦合法，分析以上因素對橡膠襯套滯后生熱和摩擦生熱的影響，進行滯后生熱和摩擦生熱的溫升對比，找出定子溫升熱源的主要因素。

1 定子溫升理論分析

1.1 基本假設

定子橡膠滯后生熱和摩擦生熱采用以下假設：

a. 定子橡膠襯套材料各向同性，忽略溫度對橡膠材料參數和熱力學參數的影響；

b. 定子橡膠襯套軸向無熱傳導過程，即軸向無溫度梯度，定子和轉子的配合在各個截面相同，簡化為二維平面熱傳導問題；

c. 定子橡膠襯套體積不可壓縮，不考慮化學溶脹和熱溶漲對橡膠材料屬性的影響，溶漲產生的物理變化僅反映為橡膠材料體積的變化；

d. 定轉子摩擦產生的熱量不向周圍流體傳遞，部分傳入橡膠襯套，部分傳入轉子，熱流是一維的，沿接觸面法向向定子橡膠襯套傳遞；

e. 不考慮橡膠襯套的熱輻射；

f. 忽略橡膠松弛的影響。

1.2 橡膠滯后生熱

工作過程定子橡膠應力σ和應變ε分別為：

ε=εmaxsinωt

(1)

σ=σmaxsin(ωt+δ)

(2)

式中t——時間，s；

εmax——最大應變；

σmax——最大應力，MPa；

ω——變形頻率，rad/s；

δ——損耗角，即滯后角，rad。

根據定子橡膠生熱機理，轉子在定子襯套中滾動一周產生的能量損失為：

(3)

(4)

式中E——彈性模量，MPa；

E′——損耗模量，MPa；

tanδ——損耗因子。

轉子在定子襯套中滾動一周單位時間內產生的能量，即平均生熱率為[1]：

(5)

式中n——轉子轉速，r/s；

T——轉子在定子襯套中滾動一周單位時間，s。

1.3 摩擦生熱分析

摩擦生熱以熱流的形式流入定子和轉子。與定子橡膠材料的特性相比，轉子可視為剛體，摩擦生熱產生的溫升對定轉子接觸面接觸壓力的影響是通過溫升引起的定轉子熱脹產生應變而發生的，故可忽略溫升對轉子應變的影響，只考慮溫升對定子橡膠襯套應變的影響，進而只分析流入定子的熱流。

摩擦生熱的總熱流密度為：

qf=fpv

(6)

式中f——摩擦系數；

p——定轉子接觸壓力，Pa；

v——定轉子接觸面相對滑動線速度，m/s。

由于定子與轉子材料特性引起傳熱性能不同，故摩擦生熱產生的熱量可分解成(下角r表示定子，s表示轉子)[5]：

qf=qr+qs

(7)

qr=k·qf

(8)

(9)

式中c——材料比熱容，J/(kg·℃)；

k——定子熱流分配系數；

λ——材料導熱系數，W/(m·℃)；

ρ——材料密度，kg/m3。

1.4 熱傳導微分控制方程

將滯后生熱的定子內熱源生熱率q′代入熱傳導微分控制方程[10]，得：

(10)

式中T′——溫度，℃；

λx、λy——在坐標系x、y方向的熱傳導系數，W/(m·℃)。

定子初始邊界條件為恒溫場，溫度等于井下溫度。除了定子內部滯后生熱邊界條件，式(10)的邊界條件還有摩擦生熱定子熱流密度，由式(8)求出。

2 有限元模型

2.1 結構簡化

由于轉子和定子外面的鋼套與定子橡膠相比彈性模量很大，為簡化模型，將定子鋼套去掉，定子處理成彈性體，定子橡膠材料本構模型選用Mooney-Rivlin模型。轉子簡化成剛體。

2.2 單元離散

采用ANSYS有限元軟件，為提高計算精度，將定子橡膠幾何面離散成PLANE183平面應變單元，該單元是高階二維八節點單元，具有二次位移函數，能很好地適應定子不規則輪廓的網格劃分。轉子簡化成剛體，不需要對轉子幾何面進行網格劃分，只需對其輪廓線進行單元離散。

定子內表面輪廓線設置成接觸面，依附CONTA172接觸單元；轉子外輪廓線設置成目標面，離散成TARGE169目標單元。目標面和接觸面之間構建剛柔接觸對，建立如圖1所示的定轉子剛柔接觸有限元模型。模型中，轉子剛體目標面由TARGE169目標單元和pilot節點組成，pilot節點位于轉子剛體的中心。

圖1 定轉子剛柔接觸有限元模型

2.3 位移邊界條件

省去定子鋼套，在定子橡膠外圓輪廓節點施加固定約束。轉子在定子平面上的運動可以分解為兩個運動：公轉運動，即動圓圓心o1繞定圓圓心o的圓周運動；自轉運動，即動圓繞自身圓心o1的運動。設自轉角速度為ωz，公轉角速度為ωg，則有：

ωg=-3ωz

(11)

轉子公轉轉速是自轉轉速的3倍，公轉方向與自轉方向相反。

在有限元分析中，為了實現轉子的自轉和公轉，需要在轉子圓心o1(在轉子剛體的pilot節點)施加一個強制位移和一個自轉角。如圖1所示，以o為原點，取動坐標系x1o1y1，假設偏心距為e，圓心o1相對于坐標系xoy轉過的角度為ωgt，則施加在轉子圓心上的邊界條件為：

(12)

其中，ux、uy為公轉運動的強制位移，ωz為自轉運動的轉角，t為計算時間。

2.4 流體壓力邊界條件

在一個自轉周期內，每一個轉子齒凸依次與每一個定子齒凹嚙合，形成12次嚙合，轉子公轉3周，所以12次嚙合內形成3次循環，每次循環有4次嚙合，每個腔室的流體壓力則在一次循環的4次嚙合內變換，在一個自轉周期內完成3次循環。根據接觸區域的接觸壓力的變化情況，來具體施加每個腔室的流體壓力，設轉子轉動過程中4個腔室的流體壓力值為p1>p2>p3>p4。有接觸壓力的區域，不施加腔室流體壓力；沒有接觸壓力的區域，施加腔室流體壓力。根據轉子的自轉和公轉時間，判斷定轉子無接觸區域的腔室是吸液腔還是排液腔，以及根據時間來確定每個腔室施加的流體壓力。在其中某兩個時刻，形成的3個腔室和4個腔室的壓力施加示意圖如圖2所示。

2.5 計算方法

將定子熱力耦合分析分解為定子變形有限元分析、滯后生熱和摩擦生熱理論計算和熱傳導有限元分析。

定子變形有限元分析：根據定轉子剛柔接觸有限元模型，轉子在定子襯套中滾動一周內，可計算出式(1)、(2)中定子的應力應變，也可計算出式(6)中定轉子的接觸壓力p。

圖2 腔室壓力邊界條件示意圖

滯后生熱和摩擦生熱理論計算：由式(5)計算出平均生熱率q′，由式(8)計算出流入定子的熱流密度qr。

熱傳導有限元分析：將變形分析的定子結構單元PLANE183，轉換成熱傳導分析的熱單元PLANE77。根據井底初始溫度，施加生熱率和熱流密度，便可計算出定子熱傳導微分控制方程式(10)的溫度場分布。

3 計算結果與比較

3.1 計算參數

定轉子選取普通內擺線等距線型，定轉子頭數3/4，等距半徑系數為2，定子內徑58mm，定子外徑67mm，滾圓半徑1mm，導圓外徑3mm，偏心距9.667mm，轉子半徑48.333mm，定轉子初始間隙0.01mm。

轉子密度為7 800kg/m3，彈性模量為210GPa，導熱系數為49.3W/(m·℃)，比熱容為564J/(kg·℃)。

定子橡膠Mooney-Rivlin模型的C10常數取1.879MPa，C01常數取0.038MPa，彈性模量取11.49MPa，泊松比取0.499 6。定子密度1 200kg/m3，導熱系數0.164 5W/(m·℃)，比熱容840 J/(kg·℃)，熱膨脹系數0.00001。

井底溫度取50℃，定子溶脹率取4%，4個腔室壓力依次取1.5、1.2、0.8、0.5MPa，轉子自轉轉速取150r/min。

3.2 腔室流體壓力施加方式的影響

定轉子的溫度場會因為腔室內流體壓力的施加情況不同而有所差異，為了探究溫度場在不同情況下的變化是否一致，對腔室壓力3種施加方式對結果的影響進行分析：不施加內壓；施加1.5MPa均勻內壓；4個腔室分別施加1.5、1.2、0.8、0.5MPa的非均勻內壓。

圖3是3種液壓施加情況下橡膠襯套的滯后生熱溫度云圖，3種情況最高溫度均發生在定子齒凸，但生熱情況有所區別。不施加流體壓力時，節點生熱率分布均勻，定子內側的節點生熱率分布關于坐標軸對稱，定子外側則關于原點旋轉對稱，且溫度分布關于坐標軸對稱；施加均勻內壓時，定子的節點生熱率近似于關于原點旋轉對稱，在初始嚙合位置處的定子齒凹中點生熱率最大，但溫度分布則關于x軸對稱而不是關于y軸對稱，這是由于施加均勻內壓時，轉子與定子接觸位置未能施加流體壓力，定轉子初始嚙合位置關于x軸對稱，初始時刻施加的流體壓力也關于x軸對稱，轉動一個周期后又回到初始嚙合位置，從而使得溫度分布關于x軸對稱而不是關于y軸對稱；施加非均勻內壓時，節點生熱率在定子內側分布不均勻，溫度分布也有細微差別。圖4為3種液壓施加情況下橡膠襯套的摩擦生熱有限元云圖，3種情況下橡膠襯套滯后生熱溫升與摩擦生熱最大溫升數值見表1。

圖3 滯后生熱溫度云圖

圖4 摩擦生熱溫度云圖

表1 滯后生熱與摩擦生熱計算結果

比較3種情況，施加內壓相比于不施加內壓的最大溫升明顯增大，可見內壓對溫度場的影響不可忽略。雖然3種情況對摩擦生熱的影響有所不同，溫升不一樣，溫度分布也有差別，但對各種情況而言，摩擦生熱引起的溫升相比于滯后生熱引起的溫升均相差甚遠，占比不到2%。由筆者研究所得結果分析可知，滯后生熱是定轉子溫度場的主要熱源之一，相比之下忽略摩擦生熱的影響是合理的，故筆者后續研究也忽略了摩擦生熱的影響，只研究滯后生熱帶來的影響。

3.3 定子材料硬度的影響分析

根據文獻[11]，不同材料硬度的橡膠襯套有限元結果見表2。隨著材料硬度的增加，定子橡膠襯套的最大生熱率逐漸減小，最高溫度逐漸降低，最大溫升減小。相比于節點生熱率，溫度減小更加均勻。但總的來說，無論是節點生熱率還是溫度，變化都較為平緩。

表2 不同材料硬度的橡膠襯套有限元結果

3.4 轉子轉速的影響分析

不同轉子轉速的橡膠襯套有限元結果見表3。隨著轉速的增加，定子橡膠襯套的最高溫度、溫升、最大生熱率均近似于線性增加，最大生熱率增加趨勢比最高溫度、溫升快，轉速越高生熱越快。轉速的增加對節點生熱率、溫度的影響明顯。橡膠襯套的滯后生熱隨著轉速增加而急劇升高，溫度變化非常大，過高的轉速導致滯后生熱產生過高的溫度，使橡膠襯套受高溫而失去其原有的性能，受到破壞，影響定轉子的工作效率。因此，在其他條件不變的情況下，轉子采用合理的轉速可以避免橡膠襯套受熱過高而失效。

表3 不同轉速的橡膠襯套有限元結果

3.5 定子損耗因子的影響

不同損耗因子的橡膠襯套溫度場有限元結果見表4。損耗因子增大，橡膠襯套的最大生熱率、最高溫度、溫升都增加。損耗因子增大，對橡膠襯套的節點生熱率、溫度影響巨大，而且無論是節點生熱率還是溫度，增速都很平穩，近似于線性增加。

表4 不同損耗因子的橡膠襯套有限元結果

損耗因子導致節點溫度差異巨大，橡膠材料的損耗因子是根據材料特性而定的，為了使定轉子達到最佳工作效率，有必要進一步研制具有合適損耗因子的橡膠材料，使橡膠襯套的生熱量控制在合適的范圍內，避免橡膠襯套因溫度過高而破壞。

4 結論

4.1 將金屬轉子處理成剛體，橡膠襯套定子處理成彈性體，材料本構選取Mooney-Ritalin模型，考慮了腔室流體壓力的施加方式，建立定轉子剛柔接觸非線性有限元模型，該模型可有效提高計算效率。

4.2 分析了材料硬度、轉速、損耗因子和流體壓力對橡膠襯套滯后生熱和摩擦生熱的影響，為合理評價定子橡膠襯套溫升具有指導意義。

[1] 魏紀德, 鄭學成, 岳莉,等. 采油螺桿泵定子溫度場數值模擬分析[J]. 石油機械, 2006, 34(2):11～14.

[2] 韓傳軍, 張杰, 劉洋. 螺桿鉆具橡膠襯套的生熱及熱力耦合分析[J]. 四川大學學報(工程科學版)，2012, 44(6):191～196.

[3] 韓傳軍, 張杰, 劉洋. 常規螺桿鉆具定子襯套的熱力耦合分析[J]. 中南大學學報(自然科學版)，2013, 44(6)：2311～2317.

[4] 曹剛, 劉合, 金紅杰, 等. 螺桿泵動力學熱力耦合分析方法研究[J]. 計算力學學報, 2010, 27(5):930～935.

[5] 薛建泉, 張國棟, 吳慎渠, 等. 雙熱源作用下螺桿泵定子非穩態溫度場數值模擬[J]. 中國石油大學學報(自然科學版), 2012, 36(3): 130～134.

[6] 操建平, 孟慶昆, 高圣平, 等. 螺桿泵定子熱力耦合的計算方法研究[J]. 力學季刊, 2012, 33(2): 331～338.

[7] 楊秀萍, 郭津津. 單螺桿泵定子橡膠溫度場分析[J]. 潤滑與密封, 2008, 33(7): 53～55.

[8] Bratu C. Progressive Cavity Pump (PCP) Behavior in Multiphase Conditions[R]. Dallas:Society of Petroleum Engineers, 2005.

[9] Bratu C, Seience L. New Progressing Cavity Pump (NPCP) for Multiphase and Viscious Liquid Production [R]. Dallas:Society of Petroleum Engineers, 2005.

[10] 楊世銘, 陶文銓. 傳熱學[M].北京: 高等教育出版社, 2006：41～45.

[11] 葉衛東, 杜秀華, 宋玉杰, 等.橡膠材料力學參數對螺桿泵密封性能的影響[J]. 潤滑與密封, 2008, 33(10): 70～72.

AnalysisofFactorsAffectingHeatGenerationofStatorRubberLining

ZHANG Qiang, JIANG Bao, LIU Yu-liang, GAO Lei, ZHANG Xiao-guang
(CollegeofMechanicalScienceandEngineering,NortheastPetroleumUniversity)

Through having metal rotor treated as rigid body and the rubber stator lining treated as elastic body and the Mooney-Ritalin material model used as well as the plane strain element adopted, a nonlinear finite element model for stator and rotor contact was established and the effect of material hardness, rotor speed, stator loss factor and fluid pressure on the hysteresis heat and friction heat were analyzed. The results show that, the temperature rise caused by hysteresis heat of the rubber bushing plays a leading role and the rubber hardness causes a slight decrease in the temperature; and the rotor speed and stator loss factor can lead to a significant increase in the temperature and the non-uniform pressure can reduce the temperature rise of rubber bushing.

stator and rotor, rigid-flexible contact, non-uniform pressure, hysteresis heat generation, heat generation through friction

國家自然科學基金項目 (11502051)；黑龍江省自然科學基金項目(12531055)。

張強(1981-)，副教授，從事流固耦合力學的研究，tical2012@163.com。

TQ050.4

A

0254-6094(2017)03-0314-06

2016-09-09)