排列組合與概率問題在高考中的運用研究

劉 丹

（吉林省乾安縣第七中學 吉林乾安 131400）

排列組合與概率問題在高考中的運用研究

劉 丹

（吉林省乾安縣第七中學 吉林乾安 131400）

排列組合以極概率問題近年來在高考中時常出現，對于高中學習來說，這類數學問題如果能在平時多加練習并認真掌握其要領，可以在高考中應付自如，從而在考試中得心應手?；诖?，本文分析了高考中的幾種數學類型題目，并認真給予解答，以便能給高中學生在學習排列組合與概率問題等方面提供借鑒。

相互獨立事件 組合數計算 互斥事件 高考研究 排列 組合 概率

排列組合與概率問題在高考以及生活各種考試中常有出現，對于高中學生尤其是文科學生來說覺得是非常難對付的。對此，本文在此方面通過幾個這方面的例題進行了相應的分析研究。

例1.甲、乙兩人進行射擊比賽，每次射擊是相互獨立事件規則如下：如果某人一次擊中，則繼續射擊；如果一次擊不中，就由對方接替射擊。已知甲、乙二人每次擊中的概率均為，如果兩人一共射擊3次，且第一次由甲開始射擊。求：（1）甲恰好擊中2次的概率；（2）甲恰好擊中1次的概率。

通過排列組合方面的分析我們發現，學生對于概率問題的考查常限于（1）相互獨立事件同時發生的概率和條件概率問題的考查；（2）互斥事件有一個發生的概率問題。在分析是獨立事件還是互斥事件時，一般看事件的發生是分步進行的還是分類進行的。分步進行的考慮獨立事件的問題，分類討論的考慮互斥事件的問題時，要注意分類的原則要清晰。

例2.一個口袋內裝有大小相同且已編有不同號碼的4個黑球和3個紅球，某人一次從中摸出2個球。則（1）如果摸到的球中含有紅球就中獎，那么此人摸球一次中獎的概率是多少？（2）如果摸到的2個球都是紅球，那么就中大獎。在有放回地3次摸球中，此人恰好有兩次中大獎的概率是多少？

解析；（1）設從口袋中摸出的2個球中含有紅球的事件為A，則：所以此人中獎概率是

（2）設從口袋中摸出的2個球都是紅球為事件B，則P（B）=C32/由于有放回地3次摸球，每次是否摸到兩個紅球之間沒有影響，所以3次摸球恰好有2次中大獎相當于3次獨立重復實驗，根據n次獨立重復試驗中事件恰好好生在k次的概率公式得到：所以，此人恰好2次中大獎的概率是。

通過上例試題我們發現，此類問題解答的關鍵是處理n次獨立重復的實驗中，事件A恰好有k次發生的概率問題。對于這類問題我們應當注意以下幾點；一是判斷事件是不是將一個試驗重復做n次，二是要找清楚在一次試驗中事件A發生的概率，三是找到題中事件A恰好發生多少次。然后利用n次獨立重復試驗事件A恰好有k次發生的概率公式計算即可。這類問題的難點在于有些問題不是直接說明n次獨立重復試驗，比如說種1000粒種子的發芽問題，1升水中細菌的個數問題等等，突破這個難點的關鍵是要從個體出發考慮問題，即考慮1粒種子的情況，1個細菌的情況等等。

例3.有12名劃船運動員，其中有3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，其余5人既會劃左舷也會劃右舷。現在要從12名運動員中選出6人平均分在左、右兩舷參加劃船比賽，問有多少種不同的劃法？

解析：設集合A＝只會劃左舷的3個人；集合B＝只會劃右舷的4個人，集合C＝既會劃左舷又會劃右舷的5 個人。則可根據題意進行先分類，劃左舷的3 個人中，有以下幾種情況（1）A中有3 人；（2）A中有2人，C中有1人；（3）A中有1 人，C中有2 人；（4）C中有3 人。

在第（1）種情況中，劃左舷的人已選定，劃右舷的人可以在B∪C中選3人，即有C93種選法。因為是分步問題，所以有種選法；在第（2）種情況中，劃左舷的人在A中已選定2人，有種選法，在C中選1人，有種選法，劃右舷的在B∪C中剩下的8個人中選3人，有種選法。因為是分步問題，所以有種選法；類似地，在第3種情況中有種選法；在第4種情況中有種選法。

答：一共有2174種不同的選法。

由例3中我們可以看出，排列中，必須相鄰的問題用捆綁法；必須不鄰的問題用插空法；將方法總數分成方法數相等的幾類取符合條件的某些類的問題，用乘系數的方法。所有方法貫穿一個意識即特殊元素優先考慮的意識。在組合中，平均分堆問題要除以堆數的全排列；相同元素的分配問題采用隔板法等等。

例4.已知甲盒內有大小相同的3個紅球和4個黑球，乙盒內有大小相同的5個紅球和4個黑球?，F從甲、乙兩個盒內各任意取2個球。求：（1）取出的4個球中均為紅球的概率；（2）取出的4個球中恰好有1個紅球的概率。

解析：（1）設從甲盒中取出2個球均為紅球的事件為A，從乙盒中取出的2 個球均為紅球的事件為B。由于A，B事件相互獨立，且P因此，取出的4個球均為紅球的概率是

（2）設從甲盒中取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒中取出的2個球均為黑球的事件為C。從甲盒中取出的2個球均為黑球；從乙盒中取出的2個球，1個是紅球，1個是黑球的事件為D。由于事件C、D為互斥事件，且有：

所以取出的4個球中恰好有1個紅球的概率為P（C+D）=P（C）

從例4中我們可以看出，排列組合以及概率中，將取球的問題從甲乙兩個盒子結合起來，問題進行一次轉化就可以了。

劉丹（1983年-），女，漢族，吉林乾安人，現任職于吉林省乾安縣第七中學，研究方向：高中數學。