對偏微分方程求解方法的相關分析

趙哲衡

摘 要：偏微分方程作為高等數學中的一種方程式，自身的實用性較強，在現實生活中具有重要的地位，被廣泛應用于各個學科當中。偏微分方程的求解方法較多，運用不同的方程求解方法能夠得到不同的方程解，方程解主要包括周期解、復線孤子解、橢圓函數解等。本文重點研究偏微方程求解方法，從（2+1）維耗散長水波方程的孤波解方法、HBK方程的三種Darboux變換求解方法和BK方程的Backlund變換及對稱三方面內容進行分析。

關鍵詞：偏微分方程；求解方法；變換

中圖分類號：O175.29 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）19-0208-02

偏微分方程作為非線性科學領域中的一項重要研究內容，方程自身具有較強的復雜性，大多數偏微分方程的精確性不高，方程的精確求解尚不完全，確保偏微方程求解方法的精確性，成為專家學者重點研究內容。但是從過去的研究情況上來看，無法精確的求出偏微分方程解，相關的研究人員通過多年來的研究及實驗，現總結出了以下三種研究方法，具體分析了偏微分方程的求解方法，確保了求解方法的合理性，有助于提升方程求解效果，提升了偏微分方程的精確性。

1 （2+1）維耗散長水波方程的孤波解方法

1.1 雙曲正切法

雙曲正切法函數是由Malfliet等人提出的一種非線性求解方法。在90年代中期對該方法進行了改進，將計算機代數與雙曲正切法有機的結合在一起，對非線性偏微分方程進行求解，提高了偏微分方程的精確性。偏微分方程求解方法通過采用各種方法，將偏微分方程約化為常微分方程，在通過不同的方程求解方法來完成對偏微方程的孤立波解。方程求解需要按照如下步驟執行：將偏微方程轉換為常微分方程；在利用雙曲正切法求解時，運用雙曲正切函數將方程解進行組合和疊加；對常微分方程中的非線性代數方程組進行求解；利用吳消元法求解；將所獲得的方程解帶入到原方程式中進行驗證[1]。

例如，方程有解，需要按照公式進行求解：將利用齊次平衡法進行求解，得，n=1，。

其中，當b<0時，所求出的方程解為

，。

當b=0時，所求出的方程解為

，

當b>0時，所求出的方程解為

，。

1.2 投影Riccati法

投影Riccati法主要是利用計算機來直接進行求解的過程，通過在Riccati方程中尋找NEEs的形式來求出新的孤波解，將這個解構成初等的函數多項式。在利用投影Riccati法對偏微分方程進行求解時，需要按照以下步驟進行：針對已經給定的非現象發展方程，將方程中的自變量設置為X，t，做航波變換，會得出一個微分方程；對偏微分方程中的微分方程組進行求解，運用平衡最高階導數項和非線性項進行求解[2]。

設有解，需要按照如下公式對方程進行求解：

1.3 齊次平衡法

齊次平衡法作為非線性偏微分方程中的一種重要求精確解方法，提升了非線性發展方程中的精確解，是一種偏微分方程求精確解的重要方法，該種方法給非線性發展方程的求解工作提供了較大的便利。齊次平衡法在求解過程中，主要包括以下四個步驟：需要利用非線性項及最高階導數項，來求出平衡階數m，n；了解所要求解的式中是否存在單變元函數f=f（）；明確式中是否存在，是否能夠構成線性組合系數，明確與線性組合系數之間的關系，求出組合洗漱中的（1，1）擬解；如果前三步都能夠確保準確無誤，在計算第四步時，通過計算，來獲取（1，1）的準確解。

1.4 Jacobi橢圓函數法

Jacobi橢圓函數法是建立在Jacobi橢圓余弦函數及正弦函數的基礎上發展起來的嚴重函數，該種方法在實際的應用過程中，建立在方程復數解及實數解的基礎上。為了加大對非現象問題的研究力度，需要通過非線性偏微分方程來對該項問題進行研究及分析，尋找到非現象偏微分方程的精確解，提升了非現象波動方程的意義[3]。例如，在運用Jacobi橢圓函數法來解方程時，投影Ricdati方程通常用如下式表示：或表示，式中的p，q，r為人以常數，一般的Jacobi橢圓函數方程為

2 HBK方程的三種Darboux變換求解方法

Darboux變換主要是根據HBK方程的Lax來對譜參數及其位勢間的變換關系進行研究和分析，結合實際的研究結果，利用HBK方程對已經得到的“種子解”進行計算，以此來獲取新的精確解。Darboux變換在進行求解的過程中，需要是結合孤子方程中的精確解來對方程進行求值，Darboux變換能夠確保方程解題的精確性。但是由于在實際的解題過程中，經常出現一些孤子方程Lax很難獲得情況，因此，不是所有的孤子方程在解題過程中都可以利用Darboux變換法進行求解。下面結合目前已經的HBK方程的Lax，對三種Darboux變換方程解題方法進行研究和分析[4]。

2.1 HBK方程的第一種Darboux變換

在對HBK方程進行設置時，對第一種Darboux變換方式進行分析時，設公式為：T=A0，通過上式能夠看出，A0、A1、B1、C1、D1是關于x，t的函數。需要將帶入到方程式中，得到如下式：

+

+

=

結合上式所得結果，需要對，i=0，1，2的系數進行比較分析，通過分析可知，公式在i=2時，公式是成立的。

2.2 HBK方程的第二種Darboux變換

在利用第二種方程進行求解時，HBK方程在實際的設置及變換過程中，需要嚴格按照Darboux變換方式，方程用公式表示為T=D0，從以上式中能夠看出，D0，A2，B2，C2，D2都是關于x，t的函數。通過對計算結果進行分析，可知，，i=0，1，2的系數進行比較分析，通過分析可知，公式在i=2時，公式是成立的。其中，當-B2/2=B2/2-；C2/2=-1-C1/2，進而得出D0X/D0-1/2D2+u/2=-D2/2+/2，當i=0時，能夠得出：endprint

D0X/D0A2+A2x-1/2A2u+B2=-1/2A2-C2

D0X/D0B2+B2x-A2v+B2/2u=-B2/2-D2

D0X/D0C2+C2x-C2/2u+D2=A2+C2/2

D0X/D0D2+D2x-C2v+D2/2u=B2+D2/2

2.3 HBK方程的第三種Darboux變換

HBK方程的第三種Darboux變換，用公式表示為：

T=D

設α，δ，A，B，C，D是關于x，t的函數。需要將ax（）+aAx和，axB+aBx和x（+D）+Dx求解，當i=0，1，2的系數進行比較分析，通過分析可知，公式在i=2時，公式是成立的。當i=1時，可知方程式為ax+1/2aA=1/2au=1/2aA-1/2A和方程式-av-1/2aB=1/2aB-；當i=0時可得，axA+aAx-1/2aAu+aB=-1/2aA-；axB+aBx-aAv+1/2aBu=1/2aB-；axC+aCx-1/2+D=aA+1/2aC。

3 BK方程的Backlund變換及對稱

3.1 BK方程的Backlund變換

BK方程主要是運用方程式Broer-Kaup方程來表示，所表示的方程式為：

和公式來表示，該方程式在實際的使用過程中，主要是運用表面色散波的可積模型進行表示，該項方程式在實際的使用貴哦成中，展現出了豐富的可積性質，主要是運用u（x， t）來表示水平速度場，運用v（x，t）來表示偏離頁面平衡位置的高度。BK方程的Backlund變換主要實際的應用過程中主要是運用齊次平衡法思想，要求運用Backlund變換來求出方程解，方程用公式表示為：。該項方程式在實際的誰用過程中，需要確保（uv）x與uxxx保持平衡關系，通過以上方程式的求解能夠得出m1=1.m2=2，將方程假設為：

3.2 BK方程的Backlund對稱

BK方程的Backlund對稱，需要考慮，Broer-Kaup方程中，在方程式及方程式中，要求要滿足以下方程式和方程式t+σx+ux+vσx+ux+σvx+σxxx=0。要求對方程式進行求解，例如，在對方程式σ=a（x，t）ut+b（x，t）ux+d（x，t）u+e（x，t）和方程式=a（x，t）vt+b（x，t）vx+f（x，t）v+g（x，t）中，在對方程進行求解時，將方程式中的a，b，d，e，f，g作為方程式中關于x，t的待定函數，能夠通過這些待定函數來求出函數的偏微分方程[5]。通過以上的敘述，能夠得出以下解：

σ=（2k1t+2k2）ut+（k1x+k3t+k4）ux+k1u-k3

=（2k1t+2k2）vt+（k1x+k3t+k4）vx+2k1v+2k1

4 結語

偏微分方程的精確求解一直以來都是高數方程求解中的一類重要內容，受方程式自身的復雜性影響較大，導致在對方程進行求解時呈現出不精確性，不能確保方程求解的全面性及合理性。因此，為了確保方程求解的精確性，本文從一、（2+1）維耗散長水波方程的孤波解方法、HBK方程的三種Darboux變換求解方法和BK方程的Backlund變換及對稱三方面的內容進行分析，幫助方程能夠快速的進行求解，提升方程解的精確性。

參考文獻

[1]李志華，喻軍，楊紅光.偏微分方程與微分代數方程的一致求解方法[J].中國機械工程，2015，（4）：441-445.

[2]張正林.特征線方法在求解偏微分方程中的應用研究[J].哈爾濱師范大學自然科學學報，2015，（6）：43-46.

[3]馮昭，王曉東，歐陽潔.求解對流占優高階非線性偏微分方程的迎風無單元Galerkin方法[J].工程數學學報，2014，（2）：229-238.

[4]丁亮，張學瑩.應用局部近似特別解方法求解一類偏微分方程[J].江南大學學報：自然科學版，2014，（2）：232-236.

[5]張瑩.特征線方法及其在求解偏微分方程中的應用[J].產業與科技論壇，2016，（20）：46-47.endprint