Sprott-D混沌系統(tǒng)的非線性H∞控制

張中華，付景超

(東北電力大學(xué) 理學(xué)院，吉林 吉林 132012)

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Sprott-D混沌系統(tǒng)的非線性H∞控制

張中華，付景超

(東北電力大學(xué) 理學(xué)院，吉林 吉林 132012)

研究了具有非線性Sprott-D混沌系統(tǒng)的H∞狀態(tài)反饋控制。繪制了系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖和混沌吸引子圖，驗證了系統(tǒng)存在的混沌現(xiàn)象。設(shè)計了非線性H∞狀態(tài)反饋控制器，將Sprott-D混沌系統(tǒng)狀態(tài)控制到給定的平衡點處。

Sprott-D混沌系統(tǒng)；Lyapunov指數(shù)；非線性H∞狀態(tài)反饋

0　引言

自奧特(E.Ott)、格銳柏基(C.Grebogi)和約克(J.A.Yoke)提出了控制混沌的OGY方法，許多混沌系統(tǒng)及混沌控制方法被提出[1-5]。文獻[1]設(shè)計的反饋控制器控制了R?ssler混沌族。文獻[2]應(yīng)用滑模控制方法控制了R?ssler系統(tǒng)族的混沌。文獻[3]設(shè)計的逆反推非線性控制器控制了包括Lorenz-Stenflo(LS)系統(tǒng)和Qi系統(tǒng)在內(nèi)的兩個四維混沌系統(tǒng)的混沌。文獻[4]研究了有兩個非線性項的新混沌系統(tǒng)復(fù)雜動力學(xué)行為，并應(yīng)用負反饋控制方法控制了系統(tǒng)的混沌。文獻[5]應(yīng)用最優(yōu)和自適應(yīng)控制方法控制了兩個自治系統(tǒng)的混沌和超混沌行為。文獻[6]使用延遲反饋控制方法將Sprott-N混沌系統(tǒng)控制到平衡點。文獻[7]研究了Sprott-N混沌系統(tǒng)的平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分岔，并應(yīng)用自適應(yīng)反推控制方法將混沌系統(tǒng)控制到平衡點。

本文針對具有二次非線性項的Sprott-D混沌系統(tǒng)[8]中存在的混沌現(xiàn)象，根據(jù)H∞狀態(tài)反饋控制原理設(shè)計控制器，將系統(tǒng)的混沌軌道控制到平衡點，仿真結(jié)果驗證了控制器的有效性。

1　Lyapunov指數(shù)和混沌吸引子

引理1[8]Sprott-D混沌系統(tǒng)平衡點為O(0,0,0)。a>0時，系統(tǒng)在平衡點O處穩(wěn)定。

Lyapunov指數(shù)(LE)[9]描述了混沌吸引子對初值的敏感性。圖1是a=3,b=3時Sprott-D混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖，可見系統(tǒng)是混沌的。圖2為Sprott-D系統(tǒng)的混沌吸引子圖。

圖1　Sprott-D混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖

圖2　Sprott-D系統(tǒng)的混沌吸引子圖

2　非線性H∞狀態(tài)反饋控制

2.1非線性H∞狀態(tài)反饋控制原理

考慮單輸入單輸出非線性系統(tǒng)[10]：

(1)

其中：x∈Rn為狀態(tài)向量；u為控制變量；w∈Rr為外部擾動變量；y為輸出變量；f(x)、g1(x)和g2(x)為相應(yīng)維數(shù)的光滑映射；h(x)為x的標(biāo)量函數(shù)。如果系統(tǒng)(1)的相關(guān)度為r=n，則當(dāng)滿足條件

時，可通過非線性狀態(tài)反饋

u=α(x)+β(x)v

(2)

和微分同胚坐標(biāo)變換

(3)

將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為一個完全可控的線性系統(tǒng)：

(4)

(5)

(6)

最后，得到系統(tǒng)(4)的非線性H∞狀態(tài)反饋控制律：

(7)

2.2非線性H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計

受控Sprott-D混沌系統(tǒng)如下所示：

(8)

其中：w1、w2和w3為外部擾動變量。控制目標(biāo)是設(shè)計一個H∞狀態(tài)反饋控制器，將系統(tǒng)(1)的狀態(tài)控制到給定的目標(biāo)值xg，xg是系統(tǒng)原點，u是要設(shè)計的控制器。由

可得受控Sprott-D混沌系統(tǒng)(8)的相關(guān)度為3。令：

可得：

且

(9)

且有

(10)

設(shè)η=2，代入下面的里卡蒂(Riccati)矩陣方程：

(11)

其中：

使用MATLAB的‘a(chǎn)re’函數(shù)求解式(11)，得到：

(12)

可得：

p31=64.132;p32=105.337;p33=73.147;

-105.337 1x1+9.015 0x2+73.147 2x3。

(13)

受控系統(tǒng)(8)的H∞狀態(tài)反饋控制器為：

(14)

當(dāng)a=b=3時，得：

(15)

定理1當(dāng)a=b=3時，在控制器(15)作用下，Sprott-D混沌系統(tǒng)被穩(wěn)定到平衡點O(0，0，0)。

2.3數(shù)值仿真

當(dāng)a=b=3，對受控Sprott-D混沌系統(tǒng)(8)施加控制器(15)，控制后系統(tǒng)(8)的波形圖和相圖如圖3和圖4所示。可見混沌系統(tǒng)最終被穩(wěn)定到平衡點O(0,0,0)。

圖3　受控Sprott-D混沌系統(tǒng)(8)的波形圖

3　結(jié)論

本文研究了一類具有簡單二次非線性項Sprott-D混沌系統(tǒng)的混沌行為及控制問題。驗證了系統(tǒng)存在的混沌行為，并應(yīng)用非線性H∞狀態(tài)反饋方法設(shè)計混沌控制器，將Sprott-D系統(tǒng)的混沌狀態(tài)控制到系統(tǒng)的平衡點上，本文為此類混沌系統(tǒng)的控制研究提供了一個借鑒。

[1]CHANG J F,HUNG M L,YANG Y S,et al.Controlling chaos of the family of R?ssler systems using sliding mode control[J].Chaos,solitons and fractals,2008,37(2):609-622.

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[3]LIU Y J,PANG S Q,CHEN D Y.An unusual chaotic system and its control[J].Mathematical and computer modelling,2013,7(9):2473-2493.

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[5]程杰.一個新混沌系統(tǒng)的脈沖魯棒鎮(zhèn)定與魯棒同步[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,36(2):92-96.

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[10]李殿璞.非線性控制系統(tǒng)[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2009.

國家自然科學(xué)基金項目(11201057)；吉林省科技發(fā)展計劃基金項目(20130101065JC)；東北電力大學(xué)博士科研啟動基金項目(BSJXM-201427)

張中華(1979-)，女，山東荷澤人，博士生，主要研究方向為非線性動力系統(tǒng)的分岔分析與控制.

2016-02-22

1672-6871(2017)01-0084-04

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.01.017

O193

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