適時駐足，數學思維能力培養的一種需要

江蘇揚州市開發區花園小學 徐國明

適時駐足，數學思維能力培養的一種需要

江蘇揚州市開發區花園小學 徐國明

思維是學生數學核心素養中的重要內容，數學教學的核心目標是培養學生的思維能力。培養學生思維能力需要教師懂得在教學中給學生留有適當的時間與空間，在知識的留白處、知識的困惑處、知識的斷層處、知識的延展處駐足，讓學生潛心體驗，沉思默想。這樣，學生思維才會向縱深躍進，其思維能力的培養，才能真正成為現實。

數學課堂 思維能力 適時駐足

杜威認為：“學習就是要學會思維，形成清醒的、細心的、透明的思維習慣。”自提出“核心素養”以來，學生的思維發展在數學教學中的重要地位有了進一步凸顯。思維是學生數學核心素養之一，它與知識、情感共同組成學生數學核心素養的統一體，這些素養都要依靠在教學環境中慢慢濡化，是一個漸進和涵養的過程。其中，思維能力及習慣的培養需要教師在課堂教學中懂得適時駐足，因為，倉促匆忙的課堂不可能培養卓越而精細的思考，也難以形成“清醒的、細心的、透明的思維習慣”。只有適時駐足的課堂，學生才有時間和空間去進行無限的遐想與深思、深度的體驗與探索，這樣，他們的思維才能向縱深躍進，其課堂才會呈現出與眾不同的細節，才會創造出異樣的特質。

一、在知識的留白處駐足，讓思維沉潛

我們在審視教材的時候會發現，教材中有不少的數學信息是凝結在知識背后的，這些信息學生往往不易發現，如果教師不能引領學生敏銳而準確地去挖掘這些信息，窺探其背后的意圖，那么，學生數學學習的關注點就只能停留在知識的表層。因此在教學中，我們首先要了解教學素材的本質內涵和背景，然后在引導學生理解和把握顯性知識的同時，還要深入挖掘其背后的隱性知識，幫助學生積累基礎活動經驗，滲透數學基本思想及思維方法，從而為學生掌握更多的知識提供智慧支持。

如蘇教版數學三年級上冊p46“周長是多少”這部分內容中，編排了這樣一道題：“你能在方格紙上畫出周長是20厘米的長方形或正方形嗎？能畫出不同的長方形嗎？”我是這樣來安排教學的：

師：請同學們先獨立畫一畫，看你能畫出幾種？等會兒匯報交流。

（一段時間過后）

生：我畫出了3種。

師：還有更多種的嗎？

生：我畫出了5種。

師：你是怎么思考的？你有什么好的方法想和大家分享嗎？

生：我先用20÷2=10，得到長與寬的和，然后再看哪兩個數字相加等于10， 于是得到1+9、2+8、3+7、4+5、5+5這五種畫法。

師：這方法真好！下面請大家用這種方法想一想，如果要畫周長是16厘米的長方形或正方形有多少種畫法呢？（學生很快得出4種）

師：如果畫周長是24厘米呢？（學生很快得出6種）

師：請大家仔細觀察、比較、思考，你發現畫的種數與周長之間有什么關系嗎？

生：我發現只要用周長除以4就可得出有多少種畫法。

師：（佯裝不知）是嗎？

（剛剛沒有發現的學生也用此方法加以驗證，發現果真如此，一時都表現出了興奮）

師：現在如果讓你說出“畫周長18cm的長方形,有幾種畫法？”你能用剛才的方法求出來嗎？（學生對剛才的方法產生了疑惑）

師：大家有什么問題要提嗎？

生：我發現18除以4除不盡，有余數。（其余學生也這樣認為，這引發了學生的認知沖突，激發學生探究欲望。）

師：現在請大家用剛才列舉的方法求出有多少種。

生：我發現有4種不同畫法。

師：再用周長除以4的方法看看呢？

生：我發現種數還是與得出的商相同。

師：請你自己再列舉出一些周長除以4除不盡的例子進一步驗證，看你發現了什么？

（學生饒有興趣地列舉了周長是14厘米、22厘米等）

最終發現：求畫的種數，都可以用周長除以4，商是多少就有多少種畫法，與余數沒有關系。

在教學這一內容時，我以教材為依托，不止于教材，也不局限于教材，創新組織教學，將教材中編制的習題視為幫助與指導學生發展的有力工具，視為師生交互作用、共同創造的園地，以此不斷創設探索再探索、認識再認識的情境，引領學生積極主動地思維，讓他們在“嘗試—觀察—猜想—驗證”中發現了蘊含其中的規律。這樣，有效地促進了學生探究問題的意識和欲望，也讓學生感悟到了數學的本質和價值，感悟到了要想獲得普遍規律，就需要培養自己深入而又全面地考慮問題的思維品質，從而實現了最優化發展學生的目標。

二、在知識的困惑處駐足，讓思維敞亮

教學過程是境域的、多元的和不確定的，比如：在師生互動中常會出現學生的一些“真知灼見”，有的甚至“怪異”，與教師預設及事實情況相左或是教師預想之外的學習生成。這時，我們不妨駐足于此，盡可能地解決學生所遭遇的問題。其間，教師可讓學生通過數學活動或數學語言的溝通交流，來暴露他們真實的思維過程，讓他們的真知灼見在交流的過程中綻放。特別是對其中出現的有些錯誤，不妨作為一種資源，有時可牽而帶之，引而不發，促進學生自我反省和觀念沖突；有時可讓學生之間通過思維碰撞，巧妙修正，辨析錯誤。這樣可以改造學生已有的疏漏經驗，加深學生對知識的理解和掌握，完善自己的知識結構。

比如，我們在執教《乘法分配律》這一內容時，往往是先直接向學生講授什么是乘法分配律，如何用字母表示，然后便給學生提供模仿與記憶的同類題目進行鞏固練習，讓學生達到熟練掌握的程度。可是，有一位老師在講《乘法分配律》時，卻是這樣設計的：課堂上教者首先通過對“（a+b）×c”與“a×c+b×c”兩種算式進行分類與比較，再用翻轉卡片上的算式等形式，促進學生用左式推出右式。這時，有學生提出：“老師，把（a+b）×c中，括號里的加號，換成減號、乘號、除號是不是也可以這樣分配呢？”面對這樣的質疑，教師沒有急于告知，而是抓住了即時生成的教學資源，將引導置于學生的思維路徑中，先列出式子讓學生猜想。

猜想一：（a-b）×c=a×c-b×c？

猜想二：（a÷b）c=a×c÷b×c？

猜想三：（a×b）×c=a×c×b×c？

猜想四：（a+b+c）×d=？

之后，讓學生通過舉例驗證，討論交流發現“（a-b）×c=a×c-b×c”與“（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d”這兩個等式是成立的，而“（a÷b）×c=a×c÷b×c”與“（a×b）×c=a×c×b×c”這兩個式子是不成立的。

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾認為：“學習過程必須含有再創造的側面，通過再創造獲得的知識和能力要比被動方式獲得的會理解得更好，也更容易保持。”在這一教學過程中，學生通過質疑對知識進行了再創造，其中，對于學生提出的錯誤思維，教師沒有繞開，也沒有強行否定或者想方設法急于牽引，而是根據學生提出的疑問，羅列出了四種猜想，向學生提供了“全景立場”，即不同的觀點，意在讓學生通過對比、比較，形成自己的判斷，發展自己的理性。最終，學生通過激烈的討論和運用具體數字加以驗證等辦法解析生成了數學模型，獲得對知識對象的深刻認識，對乘法分配律的本質理解更加清晰、通透了。其教學設計順應了學生的思維發展，培養了學生結構化的思維方式。與此同時，又發展了“批判性思維”“理性”和“創新能力”等核心素養。

三、在知識的斷層處駐足，讓思維激活

教材中的數學知識往往都是遵循“前有孕伏，中有突破，后有發展”的原則進行編排的，很多知識是根據一定的邏輯,把基本概念、基本原理、基本方法連接起來，構成一個完整的知識體系。學生在學習一個具有完整體系的新知時，一開始，由于知識經驗缺乏，知識學習還不系統，知識框架還不完善，所以，即便知識不斷向前推進，但學生往往還是習慣之前的思維方式和學習方法，很難適應新的分析、歸納等能力的要求，這樣就容易出現知識的斷層，在知識的斷層處學生會產生迷茫與困惑。這時就需要一切教學方法和手段都必須順應學生認知結構的發展規律,使用“搭腳手架式”的方法來幫助學生消除能力與知識的斷層現象，整體地建構知識，促進學生理解。

例如，對蘇教版數學五年級下冊“分數意義”這部分內容有一位教師是這樣來設計教學的：

師：你對分數已經了解了一些什么？（讓學生默想片刻）

師：請你自己表述這幅圖的涂色部分。

生1：這幅圖的涂色部分用1表示。

師：（師故作疑惑）唉——，涂色部分明明是一個圓，為什么用表示呢？

生：我們也可以把4個圓看成一個整體，平均分成4份，其中的一份就是這個圓的。

師：你是怎么表示的？這三幅圖在表示的時候有什么地方相同？

學生歸納：把一些物體看作一個整體，把它平均分成4份，其中的1份就表示這個整體的。

生：因為它們雖然分的份數一樣，但是這個整體的個數不一樣，所以幾個表示的個數也就不一樣。

師：你認為還可以表示更多的個數嗎？你是如何想的？

生：我發現還可以表示更多的個數，只要整體個數是4的倍數就可以了。

師：（故作遲疑）唉，這個整體的個數可以更少嗎？可以比1少嗎？

生：半個物體也可以，只要是平均分成4份，其中的1份就是半個的。

師追問：0.2千克的你會表示嗎？

師：哇！原來如此神奇！究竟表示什么意義呢？

學生歸納總結。

……

在這一知識的教學中，教師準確地捕捉到了學生知識理解的斷層，那就是從理解一個物體的是個，走向一個整體的可以是1個、2個、3個、4個、個、個……在知識的斷層處，教師給了學生充分研學的時間，讓他們在思維錘煉中發生、加深、延伸。為了使學生自主獲取分數概念的深度構建，在整體視野下認識知識的本質聯系和結構，故教師將知識問題化、問題層次化，用問題驅動教學。通過適時的追問、質疑、點撥，使學生在個性表征、合作交流、多元碰撞、理性思辨、抽象概括、解釋運用中，積累了豐滿的直觀表象，然后，引導學生一步一步從直觀理解走向對分數概念本質的理解，提高了他們的學習與思辨能力。

四、在知識的延展處駐足，讓思維發散

教學中，新知講授結束，并不表示學生所有的相關認知都已經解決，有時還會生發出新觀點，產生新的認知沖突，而新的觀點，新的認知沖突，又會生長新的思維，拓展新的知識，迸發出新的問題，催生學生對新知疑問的化解，促使學生對問題解決方法的探尋，進而賦予數學知識以生長的力量。

比如，我在教學蘇教版四年級下冊“運算律”時是這樣設計的：

教師出示：6+5=5+6

師：口算等號兩邊的結果，你發現什么？

生：等號兩邊都等于11。

師：觀察等號兩邊的算式，你有什么問題想問嗎？

生：我想問：“是不是在加法中，交換兩個加數的位置和都不會變？”

師：這名同學通過一個例子非常好地提出了自己的猜想，那么，怎么進一步驗證這個猜想？

生：可以再舉例驗證。

師：好方法！下面自己列舉一些例子來驗證。

生1：12+15=15+12，我發現等號兩邊的結果是相等，所以交換12和15的位置和不變。

生2：13+14=14+13，我也發現等號兩邊的結果是相等的，所以交換13和14的位置和不變。

……

師：看來，“在加法里，交換兩個加數的位置和不變”這個猜想是對的。我們把這一結論叫作“加法交換律”。

師：剛才我們是通過一個特例，得到一個猜想，通過驗證猜想得到加法交換律。其實，許多數學結論還可以由一個結論通過聯想得出新的猜想，再通過驗證而得出。

師：由“加法交換律”，你能聯想到什么新的猜想？

生：加法有交換律，那么減法里有交換律嗎？乘法、除法呢？

（學生又把這些聯想作為新的猜想，通過驗證得出乘法里有交換律，而減法、除法里沒有交換律）

師：由“在加法里，交換兩個加數的位置和不變”，你還能聯想到什么？

生：在加法里，交換三個加數、四個加數、多個加數的位置，和也不變嗎？

（接下來學生將其作為新的猜想加以驗證，又獲得了新的數學結論）

《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調：數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性。鑒于此，我在這一教學過程中，并沒有止步于對加法交換律的教學，而是不斷引導學生提出 “聯想”性問題，讓知識得到了延展。隨著知識的延展，使知識顯現出了一種結構，數學教學應該幫助學生建立融會貫通的數學認知結構，這才是我們數學教學的歸宿。同時，隨著知識的延展，伴隨著學生思維的參與，他們的經驗有了創造性的生長。由一個特例得到猜想，到得出數學結論；再由新的數學結論引出新的聯想，生成新的猜想，得到新的數學結論。這樣，學生不但掌握了加法交換律和乘法交換律，而且隨著數學本身結構的自然生長，學生獲得了結構化的思維方式，感悟到了貫穿其中的數學思想方法。此外，通過思辨他們又獲得了知識的辯證思考，對思維全面性和深刻性的豐富體驗，讓他們獲得了數學的真理感。就這樣，讓他們在課堂上建構起了完滿而深刻的數學意義。

綜上，數學課堂教師要懂得適時駐足，這是培養學生思維能力的需要。只有適時駐足，學生的思維才能得以沉潛、敞亮、激活、發散，他們才會逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，進而由“理性思維”逐步走向“理性精神”。當然，這需要教師有一種智慧，這種智慧表現在對教材的深度研讀，表現在全面了解學生對所教知識的期許，表現在對學生在數學學習中思維活動的深入了解和科學分析，在此基礎上留出適當的時間與空間讓學生去想、去說、去做，以便充分理解和內化新知，以便個體化知識的慢慢積累與慢慢生長，以便學生的思維向縱深漫溯。?