基于改進GM(1,1)模型的軌道不平順預測

鄭 濤，陳 杰

(武漢鐵路局 武漢工務大修段，湖北 武漢 430050)

軌道工程

基于改進GM(1,1)模型的軌道不平順預測

鄭 濤，陳 杰

(武漢鐵路局 武漢工務大修段，湖北 武漢 430050)

在分析傳統灰色GM(1,1)求解過程的基礎之上，指出了GM(1,1)模型的不合理之處，并加以改進，使該模型達到了更高的道路路基沉降預測精度。

軌道不平順；GM(1，1); 改進；預測

1 改進的GM(1,1)算法

X(0)={x(0)(k1)，x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}定義為一預測對象的原始數據監測采樣序列，若ki-ki-1恒定，則稱該序列為等間距序列。

為建立灰色預測模型，對該數據序列進行一次累加

X(1)={x(1)(k1)，x(1)(k2)，…，x(1)(kn)}其中，

(1)

那么，對X(1)可以建立白化微分方程

(2)

式(2)的解為

(3)

(4)

令Z(1)(ki)=μX(1)(ki)+(1-μ)X(1)(ki-1)

(5)

那么，Z(1)(k)稱(2)式背景值，μ稱權系數。

通常，μ取0.5，那么

(6)

那么，(2)式的離散化形式為

X(1)(ki)-X(1)(ki-1)+aZ(1)(ki)=u

(7)

(8)

其中

Yn=(X(0)(k1)，X(0)(k2)，…，X(0)(kn)T)

求得a之后則易得u。

(3)式離散化后的結果為

(9)

(10)

代入(9)式有

(11)

以上計算求出的是一次累加后的預測值，必須用下式將數據還原為X(0)(k)

(12)

那么，X(0)的預測序列可全部求出。

通過分析灰色GM(1,1)模型及其求結過程，發現存在下列問題。

(1)在GM(1,1)模型中，背景值假定為一次累加序列的緊鄰等權生成，即取μ=0.5。但理論上卻無法證明μ=0.5時，此模型精度會達到最優。

(2)將X(0)(k1)作為求解白化微分方程的初值，即假定擬合曲線一定會過初值所在的點。但是，按照最小二乘法原理，擬合曲線卻并不一定通過原始數據中的某一點，所以將原始數據中的第一點作為求解白化微分方程的初值是沒有意義的。

先取μ=0，代入(7)式有

X(1)ki-X(1)(ki-1)+aX(1)(ki-1)=u

(13)

其最小二乘解

(14)

Bu=0可由μ=0時代入(5)式求出。

(15)

計算(9)式的累減式，可以得到實測序列的估計方程

(16)

令C=c(1-ea)，代入(9)式與(16)式中有

(17)

(18)

將(17)式代入，有

(19)

(20)

此時，這個模型的精度最高。將C代入(17)和(18)式，即可求得預測值。再用(15)式計算出在該權重下的S值。

此后，在此基礎上增加一個大于0的微小增量，如以0.001為增量逐次增加直到μ=1為止。在這種情況下我們可以得到1 000個權值，取S最小者對應的權值作為最佳權值。最終以此權值作為改進GM(1，1)模型的權值。自此，最優權值和初值已全部取得。

2 預測模型的精度檢驗

預測模型的模型精度與預測值與實際值的相對誤差有關，同時也與方差比c和小概率誤差p有關。

模型所生成的序列

那么可以定義殘差序列：

ε(0)(k)=ε(1)，ε(2)，…，ε(n)

其中，

3 算例分析

3.1 焦柳線上行K584.0～K584+200區段分析

以武漢鐵路局轄內焦柳線上行K584.0～K584+200的TQI檢測數據為例，對2014-9-25～2015-9-26期間的TQI檢測數據作為數據樣本進行預測，取2015-6-24～2015-9-26之間12個實測TQI值與預測值對比，如表1和圖1所示。

圖1 K584.0～K584+200軌道不平順 預測效果對比

圖2 K584.0～K584+200軌道不平順預測效果對比

3.2 焦柳線上行K614+100～K614+300區段分析

再以焦柳線上行K584.0～K584+200的TQI檢測數據為例，對2014-9-25～2015-9-26期間的TQI檢測數據作為數據樣本進行預測，取2015-6-24～2015-9-26之間12個實測TQI與預測值對比，如表1和圖2所示。

表1 預測結果對比表

根據表1和圖1、圖2可知，本文預測算法達到了較好的預測精度，相對誤差均值分別為1.75%和1.62%，方差比為0.147和0.126，小誤差概率為0.987和0.959，精度等級達到I級。

4 結 論

(1)通過構建基于背景值優化和權值選擇的改進GM(1,1)模型，將其用于軌道不平順預測，取得了較好的效果。

(2)對傳統的GM(1，1)模型進行了改進，對解決工程領域中常見的預測問題具有廣泛的使用價值。

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U212

C

1008-3383(2017)09-0191-02

2017-06-18

鄭濤(1973-)，男，湖北襄陽人，助理工程師，從事線路大修管理工作。