基于多相材料的連續體結構動態輕量化設計方法

龍凱，谷先廣，王選

1.華北電力大學 能源的安全與清潔利用北京市重點實驗室，北京 102206 2.華北電力大學 新能源電力系統國家重點實驗室，北京 102206 3.合肥工業大學 汽車與交通工程學院，合肥 230009 4.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024

基于多相材料的連續體結構動態輕量化設計方法

龍凱1,2,*，谷先廣3，王選4

1.華北電力大學 能源的安全與清潔利用北京市重點實驗室，北京 102206 2.華北電力大學 新能源電力系統國家重點實驗室，北京 102206 3.合肥工業大學 汽車與交通工程學院，合肥 230009 4.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024

為了實現基于多相材料的結構輕量化設計，遵循獨立連續映射法，提出了以結構總重最小化為目標和給定特征值為約束的拓撲優化模型。方法采用2類獨立拓撲變量實現了單元剛度矩陣、質量矩陣和重量插值。推導了固有特征值和總重量的敏度表達式，通過1階和2階泰勒展開得到其近似表達式。對約束函數一次項過濾轉換為偏微分方程的求解，消除了棋盤格現象和網格依賴性等數值不穩定性。通過二維數值算例驗證了提出方法的可行性和優越性。結果表明，與單相組分材料拓撲優化結構相比，多相材料拓撲優化結構具有更輕的重量。通過附加相鄰頻率間隔約束或增加高階頻率約束，避免了模態交換現象。

拓撲優化；獨立連續映射法；連續體結構；固有頻率；模態分析

自Bendsoe和Kikuchi[1]提出連續體結構拓撲優化概念以來，迄今為止涌現出各類拓撲優化方法，包括均勻化法、實體各向同性懲罰微結構(Solid Isotropic Microstructures with Penalization,SIMP) 的變密度法、雙向結構進化式(Bi-directional Evolutionary Structural Optimization,BESO)法和水平集法等。文獻[2-6]給出了在不同發展階段各類方法的理論和應用綜述。早期的動態優化研究大多以結構固有頻率為目標或約束，體現在各類拓撲優化方法中[7-11]。在動態響應方面，以降低結構振動幅度、減小噪聲的拓撲優化方法也被相繼提出[12-19]。文獻[20]綜述了現有的動態拓撲優化研究。

多相材料的布局優化是拓撲優化研究中另一類值得關注的問題。Thomsen[21]較早開展了多相材料的拓撲優化研究。Sigmund和Torquato[22]采用常規材料，實現了負熱膨脹系數的材料微結構優化設計。Gibiansky和Sigmund[23]提出了達到體積模量上限的多相材料組成的微結構。除了SIMP法外，多相材料布局優化在水平集法[24]、相場法[25]和BESO法[26]中也有所體現。Yin和Ananthasuresh[27]提出的峰值函數法用單變量描述多相材料以減少密度變量數目。Gao等[28-29]提出了線性對等混合材料插值和質量約束拓撲優化模型，指出質量約束在尋找全局最優解等方面的優越性。Takakoli和Mohseni[30]將多相布局優化問題轉化為序列兩相材料優化問題，采用優化準則法求解，實現了各相材料體積比約束下的布局優化。Zuo和Saitou[31]歸一化處理密度變量，減少了密度變量數目，提出了序列SIMP方法。

不同于常見拓撲優化方法，獨立連續映射(Independent Continuous Mapping,ICM)方法以獨立于單元具體物理參數的變量表征單元的有無[32]。其獨立性體現在拓撲變量擺脫了物理量的約束，提出了磨光、過濾函數等新概念。自1996年被提出以來，ICM方法實現了重量最小化目標下的應力、位移、頻率和屈曲因子等約束條件的拓撲優化結構設計[33]，研究成果集中體現在文獻[34]中。

目前多相材料布局優化較多地以各相材料體積比或總質量為約束條件建立優化模型。與此不同，本文將針對結構動態拓撲優化問題，基于ICM方法建立多相材料布局的拓撲優化模型。優化目標為總重最小化，這種以輕量化設計為目的的優化模型具有更為直觀的工程意義。方法定義了2類獨立拓撲變量以表征單元的有無和不同材料相。采用1階、2階泰勒近似表達固有特征值和重量函數，建立的二次優化近似模型采用序列二次規劃方法求解。最后通過數值算例來證明本文提出的方法在多相材料布局優化的可行性。

1 材料插值模型

ICM方法定義2類獨立拓撲變量si(0≤si≤1)和ti(0≤ti≤1)用于表征單元的有無和不同相材料，其與單元剛度矩陣ki、質量矩陣mi和重量wi的關系為

(1)

式中:N為設計區域單元總數；上標Ⅰ和Ⅱ表示可選用材料Ⅰ和Ⅱ;si=1或0表示單元i由材料填充或空洞；ti=1或0表示單元i選用材料Ⅰ或材料Ⅱ;α和β分別為單元剛度矩陣和質量矩陣懲罰因子。

以重量最小化為目標，給定特征值約束限值的拓撲優化模型為

(2)

在動力學優化問題中，普遍存在著局部模態的現象，這種現象是由低密度區的剛度懲罰不當引起的[35]。在SIMP法和BESO法中，通常修正低密度區的彈性模量來避免局部模態現象[35-36]。這里通過對質量矩陣予以剛度矩陣相同的懲罰來消除局部模態現象，即α=β=4。數值實驗結果表明，這種參數設置能有效地避免局部模態現象，并得到清晰的拓撲優化構型。

2 結構響應量的顯式表達與優化建模

模態分析有限元方程為

Kuj=λjMuj

(3)

式中：K和M分別為總體剛度矩陣和質量矩陣；uj為第j階特征向量。由伴隨法易推導得

(4)

式中：K和M對si和ti的偏導數計算可歸結為單元剛度矩陣和質量矩陣的偏導數計算上，由式(1)可得

(5)

與SIMP方法不同，ICM方法引入si和ti的倒數函數作為設計變量，定義設計變量xi和yi為

(6)

由此可得

(7)

固有特征值采用2類設計變量的1階泰勒展開得到其近似表達式為

(8)

(9)

將式(4)、式(5)和式(7)代入式(9)，可求得敏度值。

基于設計變量表達的重量函數為

(10)

易推導重量函數的1階偏導數為

(11)

同理可得重量函數的2階偏導數為

(12)

根據式(11)和式(12)，在當前設計變量下，采用2階泰勒展開得到重量函數的近似表達式為

(13)

經過上述推導，優化模型式(2)可轉換為

(14)

式(14)中的約束函數和目標函數分別采用式(8)和式(13)的近似表達式。

動態拓撲優化中存在著模態交換問題，除了關心特征值大于等于指定值外，ICM方法采用增加約束的處理方式來避免模態交換。例如，2階特征值始終不小于1階特征值[37-38]；或2階特征值大于指定值。上述2種方法的目的在于相鄰特征值間保持間隔，約束方程分別表達為

λ2≥bλ1

(15a)

(15b)

注意到模型式(14)是標準的二次規劃形式，這里采用序列二次規劃法求解，具體過程可參考文獻[39-40]。在優化求解后，更新結構直至滿足

|W(a+1)-W(a)|/W(a+1)≤ε

(16)

式中：ε為收斂率。

3 消除棋盤格現象和網格依賴性問題

連續體拓撲優化問題中普遍存在著棋盤格現象和網格依賴性問題[41-42]。基于數字圖像原理的過濾方法被廣泛應用解決上述問題。定義固有特征值對設計變量的偏導數與設計變量乘積為

(17)

(18a)

(18b)

容易證明，過濾場函數滿足

(19)

即過濾前后，式(8)中的一次項總和不變，這對穩定優化求解非常有利。

過濾措施帶來的平均效果不可避免地導致優化構型邊界不清晰。為了獲得清晰的拓撲優化構型，采用2階段優化策略[39-40]，即在第1階段采用過濾措施消除棋盤格現象和網格依賴性問題。第2階段不采用過濾措施直至優化收斂。這2個階段采用的收斂率ε不同，分別取值為0.5‰和0.1‰。

4 數值算例

采用數值算例來說明提出方法的可行性和優越性。可選用的材料及屬性如表1所示。每個算例均為平面結構，厚度為1 mm。結構采用四節點方形單元離散，單元尺寸為1 mm×1 mm。當結構全部由碳鋼材料組成，其質量和重量分別為m0和W0，結構拓撲優化后的重量為W，以重量比W/W0來說明減重效果。在拓撲優化構型中，碳鋼、鋁和鎂分別采用紅色、藍色和綠色表示，空洞部分不顯示。

表1 可選用材料的屬性Table 1 Properties of candidate material

算例1圖1所示的長梁結構，結構尺寸為280 mm×40 mm。梁兩端全固定，平板中心附加一個質量為m0的質量點。可選材料為碳鋼和鋁，當結構分別采用碳鋼和鋁時，對應的1階頻率分別為1 237和813 Hz。對于多相材料布局優化問題，設結構1階頻率下限值為750 Hz。本算例首先考察懲罰參數對優化結果的影響。選取參數α=4、β=1，拓撲優化過程迭代振蕩無法收斂。結構固有頻率值在優化迭代過程中會突然變小，該現象由低密度區的虛假模態引起。當參數α=β=4時，優化迭代78步收斂，優化結果重量比為0.271，拓撲優化結果如圖2(a)所示。為了驗證提出方法的可行性和有效性，優化模型采用式(2)形式，采用移動漸近線(MMA)算法更新變量，在指定的最大優化迭代步(≥300)收斂，優化重量比為0.278，拓撲優化構型如圖2(b)所示。

由圖2可知，2種不同方法得到的拓撲優化構型類似，說明本文提出方法具有可行性。長梁結構1階振型為彎曲振型，圖2(a)中更多的強相材料布置在上下表面以提高結構抗彎性，優化后的結構重量更輕。由此可知，ICM方法得到的優化結構合理，且優化迭代效率高。

圖1 長梁結構Fig.1 A long beam

圖2 不同方法下的優化構型Fig.2 Optimal configurations with different methods

算例2本算例是算例1的擴展，用于考察不同頻率約束下多相材料拓撲優化結果與單相拓撲優化結果的對比。設結構1階頻率下限在500～900 Hz之間變化，不同頻率約束下的多相材料拓撲優化結果如表2所示。為了便于比較，在相同的頻率約束條件下，單相組分材料下的拓撲優化結果如表3和表4所示。

由表2可知，在不同的頻率約束條件下，多相材料拓撲優化結構包含碳鋼、鋁和空洞，強相材料碳鋼始終布置在約束位置、質量點位置等區域。對比表2～表4的結果可知，在相同的1階頻率約束條件下，多相材料拓撲優化結構比2種組分材料下的優化結構更輕。當1階頻率要求不低于900 Hz時，整個結構全部采用鋁材料無法滿足設計要求。綜合上述2點，多相材料不僅能更好地滿足設計要求，同時達到了結構輕量化設計的目的。優化結果說明所提方法具有協調多相材料布局優化的能力。

表2 不同頻率約束下的多相材料優化結果Table 2 Optimal results for multiple phases materials under different frequency constraints

表3 相材料1下的優化結果Table 3 Optimal results for Phase 1

表4 相材料2下的優化結果Table 4 Optimal results for Phase 2

算例3如圖3所示的短懸臂梁，結構尺寸為160 mm×100 mm。梁左端全約束，右端中心附加一個質量為0.8m0的質量點。分別選用碳鋼、鋁和鎂來填充結構，1階頻率分別為1 284.9、834和669 Hz。設結構1階頻率不低于700 Hz。顯然，整個結構全部采用鎂材料無法滿足設計要求。對于多相材料布局優化問題，考慮不同的多相材料組合：碳鋼和鋁、碳鋼和鎂，拓撲優化結果如表5所示。為便于比較，碳鋼和鋁單相材料拓撲優化結果也列于表5中。

由表5可知，2類多相材料組合和2類單相材料拓撲優化結果均能滿足動態設計要求，多相材料拓撲優化結構均比組分單相材料拓撲優化結構輕。鋁和鎂材料比剛度較為接近，在多相材料拓撲優化結果中，這2種弱相材料所占的體積不同，最優結構重量接近。這說明多相材料的最優拓撲結構隨著組分材料的不同而不同。

圖3 短懸臂梁Fig.3 A short cantilever beam

表5 不同相材料組合下的優化結果Table 5 Optimal results for different combinations of phases materials

算例4如圖4所示的平面結構，結構尺寸為120 mm×40 mm，在下端面1/4、1/2和3/4位置處分別附加質量為0.8m0、0.6m0和0.8m0的質量點。可選材料為碳鋼和鋁。設結構1階頻率不低于2 000 Hz。本算例用來考察附加約束對拓撲優化結果的影響。計算3種情況：① 2階頻率無任何約束(Case 1)；② 根據式(15a)，設置λ2≥bλ1，強迫2階頻率始終大于1階頻率(Case 2)；③ 根據式(15b)增加2階頻率約束λ2≥2 500 Hz(Case 3)。3種情況下，優化迭代過程中的前2階頻率變化如圖5所示。

由圖5(a)可知，當沒有2階頻率約束時，結構1、2階頻率在優化迭代過程中較為接近，容易產生模態交換現象，無法得到理想的拓撲優化結果。由圖5(b)可知，λ2≥bλ1導致2階頻率與1階頻率保持一定的距離。由圖5(c)可知，前2階頻率均滿足設計要求，說明所提方法的有效性。

Case 2和Case 3下的拓撲優化結果如表6所示。由表6可知，拓撲優化結果均滿足設定的約束條件，拓撲優化構型略有區別。Case 3的約束條件比Case 2的約束條件更為苛刻，故而優化結構稍重。

圖4 平面結構Fig.4 A plane structure

圖5 固有頻率迭代歷程Fig.5 Iteration history of natural frequency

表6 不同約束條件下的優化結果Table 6 Optimal results for different constraints

5 結 論

1) 在結構輕量化設計要求下，提出基于多相材料的動態拓撲優化的ICM方法。與目前的多相材料拓撲優化方法不同，建立了指定固有特征值約束下的重量最小化優化模型。遵循ICM建模方式，將結構固有特征值和重量函數分別采用1階、2階泰勒展開得到其近似表達式，從而將優化模型轉換為標準二次規劃形式，采用序列二次規劃法求解，方法穩健高效。

2) 在相同的固有特征值約束條件下，多相材料拓撲優化結構更輕。在動態設計要求下，提出方法實現了各相材料的合理分配和結構輕量化設計。

3) 根據優化設計要求，優化模型可拓展為多約束拓撲優化模型并實現優化求解，通過強迫相鄰頻率間距或增加高階頻率約束，能避免模態交換現象，并得到理想的拓撲優化結果。

[1] BENDSOE M P, KIKUCHI N. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1988, 71(2): 197-224.

[2] ESCHENAUER H A, OLHOFF N. Topology optimization of continuum structures: A review[J]. Applied Mechanics Reviews, 2001, 54(4): 331-390.

[3] ROZVANY G I N. A critical review of established methods of structural topology optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2009, 37(3): 217-237.

[4] SIGMUND O, MAUTE K. Topology optimization approaches[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2013, 48(6): 1031-1055.

[5] DEATON J D, GRANDHI R V. A survey of structural and multidisciplinary continuum topology optimization: Post 2000[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2014, 49(1): 1-38.

[6] XIA L, XIA Q, HUANG X, et al. Bi-directional evolutionary structural optimization on advanced structures and materials: A comprehensive review[J]. Archives of Computational Methods in Engineering, DOI 10.1007/s11831-016-9203-2.

[7] DIAZ A R, KIKUCHI N. Solutions to shape and topology eigenvalue optimization problems using a homogenization method[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1992, 35(7): 1487-1502.

[8] MA Z D, KIKUCHI N, CHENG H C. Topological design for vibrating structures[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1995, 121(1-4): 259-280.

[9] XIE Y M, STEVEN G P. Evolutionary structural optimization for dynamic problems[J]. Computers & Structures, 1996, 58(6): 1067-1073.

[10] DU J, OLHOFF N. Minimization of sound radiation from vibrating bi-material structures using topology optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2007, 33(4-5): 305-321.

[11] DU J, OLHOFF N. Topological design of freely vibrating continuum structures for maximum values of simple and multiple eigenfrequencies and frequency gaps[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2007, 34(2):91-110.

[12] DU J, OLHOFF N. Topological design of vibrating structures with respect to optimum sound pressure characteristics in a surrounding acoustic medium[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2010, 42(1): 43-54.

[13] JOG C S. Topology design of structures subjected to periodic loading[J]. Journal of Sound and Vibration, 2002, 253(3): 687-709.

[14] KANG B S, PARK G J, ARORA J S. A review of optimization of structures subjected to transient loads[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2006, 31(2): 81-95.

[15] KANG Z, ZHANG X, JIANG S, et al. On topology optimization of damping layer in shell structures under harmonic excitations[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2012, 46(1): 51-67.

[16] LIU H, ZHANG W H, GAO T. A comparative study of dynamic analysis methods for structural topology optimization under harmonic force excitations[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2015, 51(6): 1321-1333.

[17] NIU B, OLHOFF N, LUND E, et al. Discrete material optimization of vibrating laminated composite plates for minimum sound radiation[J]. International Journal of Solids and Structures, 2010, 47(16): 2097-2114.

[18] NIELS O, DU J. Generalized incremental frequency method for topological design of continuum structures for minimum dynamic compliance subject to forced vibration at a prescribed low or high value of the excitation frequency[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2016, 54(5): 1113-1141.

[19] ZHAO J, WANG C. Dynamic response topology optimization in the time domain using model reduction method[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2016, 53(1): 101-114.

[20] ZARGHAM S, WARD T H, RAMLI R, et al. Topology optimization: A review for structural designs under vibration problems[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2016, 53(6): 1157-1177.

[21] THOMSEN J. Topology optimization of structures composed of one or two materials[J]. Journal of Structural Optimization, 1992, 5(1-2): 108-115.

[22] SIGMUND O, TORQUATO S. Design of materials with extreme thermal expansion using a three-phase topology optimization method[J]. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 1997, 45(6): 1037-1067.

[23] GIBIANSKY L V, SIGMUND O. Multiphase composites with extremal bulk modulus[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2000, 48(3): 461-498.

[24] WANG M Y, WANG X. “Color” level sets: A multi-phase method for structural topology optimization with multiple materials[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2004, 193(6): 469-496.

[25] ZHOU S W, WANG M Y. Multimaterial structural topology optimization with a generalized Cahn-Hilliard model of multiphase transition[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2007, 33(2): 89-111.

[26] HUANG X, XIE Y M. Bi-directional evolutionary topology optimization of continuum structures with one or multiple materials[J]. Computational Mechanics, 2009, 43(3): 393-401.

[27] YIN L, ANANTHASURESH G K. Topology of compliant mechanisms with multiple material using a peak function material interpolation scheme[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2001, 23(1): 49-62.

[28] GAO T, ZHANG W. A mass constraint formulation for structural topology optimization with multiphase materials[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2011, 88(8): 774-796.

[29] GAO T, XU P, ZHANG W. Topology optimization of thermo-elastic structures with multiple materials under mass constraint[J]. Computers and Structures, 2016, 173: 150-160.

[30] TAKAKOLI R, MOHSENI S M. Alternating active-phase algorithm for multimaterial topology optimization problems: A 115-line MATLAB implementation[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2014, 49(4): 621-642.

[31] ZUO W, SAITOU K. Multi-material topology optimization using ordered SIMP interpolation[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, DOI: 10.1007/s00158-016-1513-3.

[32] 隋允康. 建模·變換·優化——結構綜合方法新進展[M]. 大連：大連理工大學出版社，1996: 87-195.

SUI Y K. Modelling, transformation and optimization—New developments of structural synthesis method[M]. Dalian: Dalian University of Technology Press, 1996: 87-195 (in Chinese).

[33] 隋允康, 葉紅玲, 杜家政. 結構拓撲優化的發展及其模型轉化為獨立層次的迫切性[J]. 工程力學, 2005, 22(增): 107-118.

SUI Y K, YE H L, DU J Z. Development of structural topological optimization and imminency of its model transformation into independent level[J]. Engineering Mechanics, 2005, 22(Sup): 107-118 (in Chinese).

[34] 隋允康, 葉紅玲. 連續體結構拓撲優化的ICM方法[M]. 北京： 科學出版社， 2013: 27-222.

SUI Y J, YE H L. Continuum topology optimization methods ICM[M]. Beijing: Science Press, 2013: 27-222 (in Chinese).

[35] PEDERSEN N L. Maximization of eigenvalues using topology optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2000, 20(1): 2-11.

[36] HUANG X, ZUO Z H, XIE Y M. Evolutionary topological optimization of vibrating continuum structures for natural frequencies[J]. Computer & Structures, 2010, 88(5): 357-364.

[37] 彭細榮, 隋允康. 有頻率禁區的連續體結構拓撲優化[J]. 固體力學學報, 2007, 28(2): 145-150.

PENG X R, SUI Y K. Topological optimization of the continuum structure with non-frequency-band constraints[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2007, 28(2): 145-150 (in Chinese).

[38] 彭細榮, 隋允康. 用ICM法拓撲優化靜位移及頻率約束下連續體結構[J]. 計算力學學報, 2006, 23(4): 391-396.

PENG X R, SUI Y K. Topological optimization of continuum structure with static displacement and frequency constraints by ICM method[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2006, 23(4): 391-396 (in Chinese).

[39] SUI Y, PENG X. The ICM method with objective function transformed by variable discrete condition for continuum structure[J]. Acta Mechanica Sinica, 2006, 22(1): 68-75.

[40] YE H L, WANG W W, CHEN N, et al. Plate/shell topological optimization subjected to linear buckling constraints by adopting composite exponential filtering function[J]. Acta Mechanica Sinica, 2016, 32(4): 649-658.

[41] DIAZ A, SIGMUND O. Checkerboard patterns in layout optimization[J]. Structural Optimization, 1995, 10(1): 40-45.

[42] SIGMUND O, PETERSSON J. Numerical instabilities in topology optimization:A survey on procedures dealing with checkerboards, mesh-dependencies and local minima[J]. Structural Optimization, 1998, 16(1): 68-75.

[43] LAZAROV B S, SIGMUND O. Filters in topology optimization based on Helmholtz-type differential equations[J]. International Journal for numerical Methods in Engineering, 2011, 86(6): 765-781.

Lightweightdesignmethodforcontinuumstructureundervibrationusingmultiphasematerials

LONGKai1,2，*,GUXianguang3,WANGXuan4

1.BeijingKeyLaboratoryofEnergySafetyandCleanUtilization,NorthChinaElectricPowerUniversity,Beijing102206,China2.StateKeyLaboratoryforAlternateElectricalPowerSystemwithRenewableEnergySources,NorthChinaElectricPowerUniversity,Beijing102206,China3.SchoolofAutomobileandTrafficEngineering,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China4.StateKeyLaboratoryofStructuralAnalysisforIndustrialEquipment,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China

Toachievelightdesignofcontinuumstructurecontainingmultiphasematerials,atopologicaloptimizationmodelforweightminimizationwiththegiveneigenvalueconstraintisproposedusingtheindependentcontinuousmappingmethod.Twosetsofindependenttopologicalvariablesareemployedtointerpolatetheelementalstiffnessmatrix,themassmatrixandweight.Thesensitivityexpressionsfortheeigenvalueandtotalweightarederived.Theapproximationsoftheeigenvalueandtotalweightcanbeobtainedviathefirst-orderandsecond-orderTaylorexpansion.Thefilteringtechniqueforthefirsttermoftheconstraintfunctionisadoptedasasolutiontothepartialdifferentialequation.Thenumericalinstabilitiesincludingcheckerboardpatternsandmeshdependenceareremoved.Thefeasibilityandsuperiorityoftheproposedmethodarevalidatedbytwo-dimensionalnumericalexamples.Theresultsshowthattheweightoftheoptimalstructureconstructedbymultiphasematerialsislighterthanthatcomposedofconstituentphase.Themodeswitchcanbepreventedbyimposingtheconstraintonthegapoftheadjacentfrequencyoradditionalhighorderfrequencyconstraint.

topologyoptimization;independentcontinuousmappingmethod;continuumstructure;naturalfrequency;modeanalysis

2016-12-05；Revised2017-02-16；Accepted2017-04-25;Publishedonline2017-05-310942

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10.7527/S1000-6893.2017.221022

V414.5；O343.1

A

1000-6893(2017)10-221022-10

2016-12-05；退修日期2017-02-16；錄用日期2017-04-25；< class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2017-05-310942

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龍凱, 谷先廣, 王選. 基于多相材料的連續體結構動態輕量化設計方法J. 航空學報，2017,38(10):221022.LONGK,GUXG,WANGX.LightweightdesignmethodforcontinuumstructureundervibrationusingmultiphasematerialsJ.ActaAeronau-ticaetAstronauticaSinica,2017,38(10):221022.

(責任編輯：徐曉)