麥克斯韋滾擺運動規律的理論研究*

儲若超 張銳波

(浙江大學城市學院信息與電氣工程學院 浙江 杭州 310015)

麥克斯韋滾擺運動規律的理論研究*

儲若超 張銳波

(浙江大學城市學院信息與電氣工程學院 浙江 杭州 310015)

證明了滾擺在運動過程中勢能、平動動能和轉動動能是相互轉化的，而總機械能是守恒的規律；推導出滾擺運動至最底端平動動能、轉動動能的表達式，以及與總能量之關系，并根據自做滾擺參數計算出其結果．

麥克斯韋滾擺 質心加速度 機械能守恒 能量分配

將麥克斯韋滾擺自最低點向上沿一個方向對稱繞線至合適高度，再自由釋放，滾擺會在重力作用下，向下平動與轉動．在運動過程中，滾擺的勢能、平動動能和轉動動能的總和保持不變．

如圖1所示，為自制麥克斯韋滾擺實驗儀，滾擺銅軸兩端對稱處用尼龍線懸掛于支架上，滾擺盤采用塑膠材料，可視為剛體．設擺軸質量為m，滾擺盤質量為擺軸質量n倍(即nm)，則滾擺總質量為(n+1)m，滾擺銅軸半徑r，滾擺盤半徑R，是擺軸半徑的n′倍，則R=n′r．

圖1 麥克斯韋擺輪示意圖

1 任意位置滾擺運動質心加速度推導

下面計算滾擺在運動過程中質心加速度aC，由質心運動定理列出滾擺平動方程

(n+1)mg-T=(n+1)maC

(1)

由剛體的轉動定律列出滾擺的轉動方程

Tr=Jβ

(2)

又質心在任意位置的瞬時加速度與角加速度的關系

aC=rβ

(3)

其中，T為滾擺牽引繩子張力，aC為滾擺平動加速度，J為滾擺轉動慣量，β為滾擺轉動角加速度．滾擺轉動慣量等于滾擺銅軸轉動慣量與滾擺盤轉動慣量之和

(4)

解式(2)～(4)得

(5)

由式(1)、(5)得

則滾擺向下運動過程中任意時刻質心加速度為

(6)

2 滾擺運動過程中機械能守恒

如圖2所示，1為滾擺繞線至最上端(即勢能最大位置)，3為運動至最低端(即勢能為零位置)，2為滾擺下落過程的任意位置．設滾擺在任意位置的機械能總量為

圖2 原理分析示意圖

E=Ep+Ek

(7)

在1位置時，Ek1=0，有

Ep1=(n+1)mgh

(8)

在2位置時，勢能為

Ep2=(n+1)mg(h-h1)

(9)

(10)

(11)

圖3 擺輪與擺軸半徑關系

滾擺自位置1到位置2時滾擺所具有的勢能

(12)

滾擺下降至2位置處時，平動動能與轉動動能的和為

(13)

式中ω為滾擺運動至位置2時，相對質心的角速度，vc2=ωr.

則有

(14)

E=Ep2+Ek2=

(15)

由式(15)可知，滾擺在位置2所具有的平動動能與轉動動能之和，正好等于滾擺在位置1所具有的勢能，即滾擺在運動過程中總能量保持不變．

3 滾擺運動過程中各部分能量分配關系

當滾擺運動至最低位置(即在位置3)，該位置動能與總機械能、動能中的平動動能、轉動動能和總機械能的數量關系．設滾擺運動至最低點勢能Ep3=0，勢能全部轉化為平動動能與轉動動能，總機械能為

E=Ek3+Ep3=Ek3=

(16)

其中，vC3為滾擺運動至最低點質心速度，ω3為滾擺相對軸心角速度；滾擺平動動能為

(17)

轉動動能為

(18)

平動動能與總機械能之比為

(19)

轉動動能與總機械能之比為

(20)

根據所制作的麥克斯韋滾擺相關參數：滾擺的總質量260.51 g，其中擺軸質量28.03 g；擺盤質量232.48 g；擺輪直徑14.270 cm，銅軸直徑0.649 2 cm．依據該儀器相關參數可得：n=8.294(擺盤質量與擺軸質量之比)，n′=21.981(擺盤半徑與擺軸半徑之比)，若選擇麥克斯韋滾擺運動至最低位置時，可得平動動能與總能量、轉動動能與總能量之比分別為0.002 62和0.995 4．由此可見，滾擺運動至最低點時，其能量主要是轉動動能．

1 顧建中.力學教程.北京：人民教育出版社，1980

2 周衍柏.理論力學教程.北京：高等教育出版社，1986

TheoryStudyontheMotionLawoftheMaxwellRollPendulum

Chu Ruochao Zhang Ruibo

(College of Information and Electrical Engineering,College of City,Zhejiang University,Hangzhou，Zhejiang 310015)

This paper proves that the roll,the potential energy in the process of movement of translational energy and rotational energy is transformed into each other,and the total mechanical energy is conserved law;rolling pendulum movement to the end,the expression of kinetic energy of rotational kinetic energy is derived,and the relationship with the total energy,and according to the self rolling parameters calculated the result.

Maxwell roll pendulum；the center of mass acceleration；conservation of mechanical energy；energy allocation

*浙江大學城市學院 2017年度大學生科研訓練項目，項目編號：X2017522065

儲若超(1995- )，男，在讀本科生.

指導教師：張銳波(1959- )，男，副教授，研究方向：大學物理實驗技術、創新設計與教學方法研究.

2017-03-30)