基于偽地球坐標系的慣導系統全球導航算法

劉 猛，李光春，高延濱，李 瑩，王 帝

（哈爾濱工程大學 自動化學院，哈爾濱 150001）

基于偽地球坐標系的慣導系統全球導航算法

劉 猛，李光春，高延濱，李 瑩，王 帝

（哈爾濱工程大學 自動化學院，哈爾濱 150001）

由于極區特殊的地理、電磁條件，慣性導航因其自主性和信息完備性使之成為極區導航的首選。然而在考慮全球執行能力時，現有常用的任何一種力學編排方案都不能單獨的實現全球導航。通常采用組合編排的方式，這樣則不利于慣導算法的全球統一。基于此提出了基于偽地球坐標系的全球導航算法。該方案在全球導航時可以實現慣導算法的內在統一，并可保證物理平臺的平穩切換，從而實現平臺慣導與捷聯慣導系統編排方案的統一。另外，該方案也更方便同其它局部慣導系統進行交互通信，僅不同的參數轉換單元是必需的。同時，簡單的切換邏輯也可以減小程序設計的復雜度和降低計算機負擔。最后通過仿真證明了該算法的可行性。

偽地球坐標系；全球導航；極區導航；捷聯慣導系統；平臺慣導系統

由于極區特殊的地理、電磁條件，慣性導航因其自主性和信息完備性使之成為極區導航的首選[1]。然而由于極區經線快速收斂，且最終匯聚于一點，使建立相對于經線的航向方向越來越困難，從而造成慣導系統方位陀螺施矩困難、計算溢出和誤差放大等問題，故傳統指北方位系統的慣導算法在極區是失效的[2]。

為了克服上述困難，在極地地區通常采用游移方位慣導力學編排的方式。然而由于游移角的定義在地理極點是無意義的，游移方位系統在地理極點附近也無法正常工作[3]。因此，格網坐標系和橫向地球坐標系被提出用于解決極區導航問題。針對格網導航，文獻[4]對其進行了詳細研究，將導航參數中的姿態和速度信息在格網坐標系下表示，位置信息在ECEF坐標系中給出，而橫向地球坐標系統的定義更相似于傳統地球坐標系，且其慣導編排也更直觀和方便，從而可能使橫向慣導系統更受青睞。文獻[5]對橫向慣導力學編排進行了詳細的分析；文獻[6]和[7]對橫向導航算法的校正和阻尼進行設計來提高其長期導航精度和抑制其周期性振蕩；文獻[8]和[9]在橢球地球模型下對橫向慣導算法進行了優化設計，結果表明橫向慣導系統可以解決極區導航問題。然而由于格網慣導和橫向慣導力學編排未考慮不同導航坐標系間的物理切換[10-11]，格網坐標系編排和橫向地球坐標系編排通常僅適用于捷聯慣導系統。具體來說，當導航坐標系由當地地理坐標系切換到橫向地理坐標系或格網坐標系時，由于導航坐標系不是連續性變化的，則需以突變的形式進行切換。大階躍響應式切換可能會造成物理平臺追蹤切換的施矩困難，從而影響導航精度或直接造成導航系統的發散。

另一方面，在考慮全球執行能力時，現有常用的任何一種力學編排都不能單獨實現全球導航，因此通常采用指北+格網編排或橫向編排的組合編排方式來實現其全球導航的能力。另外，對于目前常用的編排方案，每一種編排方式都是一套自身完備的導航方案，新的力學編排的引入會不利于慣導算法的全球統一，而且由于其復雜的切換邏輯，也會增加程序設計的復雜度和計算機負擔，因此文獻[10]和[11]提出了以游移編排為核心的間接格網慣導算法和間接橫向慣導算法來實現其全球導航的能力。然而游移方位角的引入增加了慣導編排的復雜度，使其物理意義不明確，而且需要計算游移方位角。

針對上述問題，本文采用偽地球坐標系慣導力學編排，提出了基于偽地球坐標系的慣導系統全球導航算法，將整個慣導系統的實現分成“核心部分”和“轉換單元”兩部分完成。“核心部分”以一種簡單統一的導航編排方案來實現慣導系統全球范圍內的導航計算，并可以保證物理平臺追蹤切換的平穩性，使其不僅適用于捷聯慣導系統，而且也適用于平臺慣導系統，同時實現了慣導算法的全球范圍內在統一。“轉換單元”則用于修正和轉換導航參數，從而得到期望的導航參數，用于人機交互，以及實現與其它不同的局部慣導系統的交互通信。最后通過仿真驗證了該算法的可行性。

1 偽地球坐標系定義

偽地球坐標系是根據導航坐標系切換位置來進行構建，其本質是一種廣義的地球坐標系。假設導航坐標系切換的當地經度和地心緯度分別為則偽地球坐標系可以通過原地球坐標系旋轉得到。如圖1所示，在偽地球坐標系中，其坐標原點仍在地球中心，Np是偽北極點，Oxp軸與原Oze重合，軸是指向載體初始位置在赤道平面的投影點，Ozp在赤道平面內垂直于Oyp軸，且偽赤道與當地位置所在的子午線圈是重合的，其具體定義詳見文獻[12]。則原地球坐標系和偽地球坐標系之間的旋轉矩陣為

圖1 偽地球坐標系定義Fig.1 Definition of pseudo-Earth frame

在偽地球坐標系統中，載體位置用偽經緯度和偽高度來表示，即λp、Lp、hp。偽地理坐標系的定義與傳統的地心地理坐標系（ 地心地理坐標系是根據當地地心經緯度構建的）是相似的[12]，如圖1所示。則在導航坐標系切換位置，載體的偽位置與當地地心位置以及偽地理坐標系與地心地理坐標系存在如下關系[12]：

式中，h0為在切換位置的載體的高度。

由公式(2)可知，在導航坐標系切換后，初始偽緯度總為 0。則在偽地球坐標系中，載體將總是從偽赤道附近開始航行，這樣導航坐標系切換后在偽地球坐標系進行導航時，可以長時間保持在中低偽緯度區域，從而避免導航坐標系的頻繁切換。另外，由公式(3)可知，在切換位置，偽地理坐標系（即偽東-北-天）與傳統南-東-天地心地理坐標系是一致的，并且其切換矩陣是一個已知固定的常值矩陣，因此在偽地球坐標系下進行力學編排，偽地理坐標系選為導航系，則當導航坐標系從地心地理坐標系切換到偽地理坐標系或從之前一個偽地理坐標系切換到新建的偽地理坐標系時，導航坐標系是連續變化的，從而可以保證物理平臺的平穩切換。另外，已知固定的常值切換矩陣，進行簡單的切換邏輯對于捷聯慣導系統也可以減小程序設計的復雜度和降低計算機負擔。

2 基于偽地球坐標系的全球導航算法

2.1 基于偽地球坐標系的全球導航方案

為了有效解決慣導系統全球導航的問題，應探索出一種全球導航方案，對全球范圍內導航算法進行統一，使它不僅適用于捷聯慣導系統，而且也適用于平臺慣導系統，同時也方便與外部其它局部導航系統進行交互通信。基于此，本文提出了一種基于偽地球坐標系的全球導航方案，以“躲進小樓成一統，管他冬夏與春秋。”的主旨思想來實現慣導系統的全球導航，將整個慣導系統的實現分成“核心部分”和“轉換單元”兩部分完成，從而保證慣導算法全球范圍內的內在統一。

圖2 基于偽地球坐標系慣導系統的全球導航方案的方框圖Fig.2 Scheme of global navigation for inertial navigation system based on pseudo-Earth frame

如圖2所示，根據載體活動范圍，選擇合適的切換位置構建偽地球坐標系，在合適的時刻完成導航坐標系的切換，從而可以直接避免在導航過程中出現極區和偽極區導航問題。慣導系統核心部分是在球形地球模型下，根據偽地球坐標系力學編排來完成導航解算和平臺追蹤的。根據公式(3)，對于平臺慣導系統，通過切換追蹤軸來實現平臺追蹤的平穩切換，對于捷聯慣導系統，以固定的切換邏輯和簡單的變換方式來實現不同導航坐標系下導航參數的切換。然后根據計算出的偽地球坐標系下的導航參數，利用參數轉換單元對導航參數進行修正和轉換，從而得到期望的導航參數并保證導航精度，進而用于人機交互以及實現與其它局部慣導系統的交互通信，例如，局部指北向力學編排慣導系統、局部格網慣導系統、局部橫向慣導系統等。因此，該導航方案在全球導航時可以實現慣導算法的內在統一，并適用于平臺慣導與捷聯慣導系統，從而實現慣導編排的統一，同時也是非常方便同其它局部慣導系統進行交互通信。

對于切換位置的選擇可以分為以下兩種情況：

1）載體運動范圍固定且運動區域不太大（即以載體初始位置為中心，活動范圍大小與中低緯度區域相等）。可以根據載體的初始位置來直接構建偽地球坐標系，然后通過跟蹤偽地理坐標系來實現全球導航解算，從而可以避免在導航過程中出現導航坐標系的切換。

2）載體運動區域較大（例如，極限區域，即在整個全球范圍內）。當僅采用根據初始位置構建的偽地球坐標系時，同樣會面臨著偽極區導航的問題，因此在載體運動過程中應選擇合適的位置構建偽地球坐標系進行導航坐標系的切換，從而完成慣導系統的全球導航，并可避免出現極區導航問題。

綜上所述，本文給出的基于偽地球坐標系的全球導航方案設計具有以下優點：

1）基于載體活動范圍的偽地球坐標系構建規則，可以最大程度避免導航坐標系的頻繁切換，進而可避免由導航坐標系切換帶來的可能潛在問題。

2）以球形地球模型下偽慣導力學編排作為慣導系統的核心，用一種簡單的編排方案來實現慣導系統全球導航算法的內在統一，并可保證物理平臺的平穩切換，使其不僅適用于捷聯慣導系統，而且也適用于平臺慣導系統。球形地球模型的導航計算還可以避免復雜的曲率半徑計算[8]，并有利于不同導航坐標系之間的導航參數轉換。另外，偽地球坐標系統的構建與傳統地球坐標系以及橫向坐標系的構建非常相似，從而使定義簡單易懂，也更有利于該全球導航方案的實施。

3）轉換單元可以保證慣導系統的導航精度并獲得期望的導航參數，從而使其能更方便地與外部其它局部導航系統進行交互通信。當需要不同的導航參數時，僅僅不同的參數轉換單元是必要的，慣導系統的核心部分則無需改變，從而以“躲進小樓成一統，管他冬夏與春秋。”的方式實現了捷聯慣導與平臺慣導算法的全球范圍內在統一，并方便進行人機交互和通信。

2.2 偽地理坐標系和當地地理坐標系之間的關系

設S為地球上一點，S點的地心緯度和地理緯度分別為Lc和L，則地理緯度與地心緯度的偏差可以表示為[14]

其中，f為地球旋轉橢球體模型的扁率，f=1/298.3。

則以地心緯度構建的地心地理坐標系（T系）與以地理緯度構建的當地地理坐標系（t系）在x軸上存在一個旋轉角σ，并且σ=ΔL，從而T系和t系之間的關系可以表示為[14]

進而根據坐標系間的變換關系，偽地理坐標系和地理坐標系之間的變換矩陣可以表示為

式中，

式(8)可以根據載體偽位置坐標的偽經緯度求得。假設載體的位置為S，且其離地高度為h，則根據投影關系容易得到載體相對于偽地球坐標系的位置矢量pr，它與相對于地球坐標系的位置矢量er存在如下關系：

其中，

R為地球半徑。

由式(1)(9)則容易得到載體當地地心經緯度為

其中，

根據式(10)可知，式(8)是容易求得的，進而也可以得到偽地理坐標系和地理坐標系之間的變換矩陣。

2.3 球形地球模型下的偽慣導力學編排

偽地球坐標系慣導力學編排與傳統指北方位和橫向慣導力學編排是相似的。在偽地球坐標系中，偽地理坐標系被選為導航系，因此偽地理坐標系的旋轉角速度將發生變化。偽地理坐標系的旋轉角速度是由地球自轉引起的旋轉角速度和載體運動引起的相對地球的旋轉角速度兩部分組成。根據定義，由地球自轉而引起的偽地理坐標系旋轉角速度可以表示為

根據公式(1)和(7)，由地球自轉而引起的偽地理坐標系的旋轉角速度可以很容易得到。另外，由載體運動引起的偽地理坐標系相對于偽地球坐標系的角速度與傳統指北慣導系統在表達形式上是一樣的，可以表示為

根據式(11)(12)，容易得到慣導系統控制平臺的旋轉角速度，可以表示為

則對于平臺慣導系統，其平臺指令角速度為

而對于捷聯慣導系統，其姿態更新矩陣為

另外，我們還可以推導出如下慣導系統的比力方程和位置方程：

2.4 轉換單元

根據上述的慣導力學編排方案，偽慣導系統導航計算采用的是理想的球形地球模型。因此為了保證導航精度并獲得期望的導航參數，必須有一個導航參數轉換單元對偽地球坐標系下導航參數進行修正和轉換。由于受到篇幅限制，并且常規地球坐標系的導航信息是人所熟知和默認的，在此我們僅給出用于得到傳統橢球模型下當地地理坐標系導航參數的修正與轉換。

另外，根據公式(6)還可以求得當地地理坐標系下的姿態矩陣及載體速度：

根據上述導航參數的轉換關系，可以通過轉換單元對偽地球坐標系的導航參數進行轉換，得到傳統橢球模型下當地地理坐標系導航參數且無精度犧牲，從而用于人機交互和通信等。

綜上所述，基于偽地球坐標系的慣導系統全球導航過程可以表示為圖3所示的流程圖。另外，值得注意的是，T系也可以認為是一個特殊的偽地球地理坐標系，此時矩陣是一個單位矩陣。

圖3 基于偽地球坐標系的慣導系統全球導航流程圖Fig.3 Flow chart of global navigation for INS based on pseudo-Earth frame

3 誤差分析

根據2.3節偽地球坐標系慣導系統的導航方程，偽慣導編排下的靜態誤差方程很容易得到。忽略重力誤差并略去二階小量，則小失準角偽導航靜態誤差方程為：

由式(23)～(31)和文獻[5]可知，偽慣導靜態誤差方程和橫向慣導的靜態誤差方程在數學形式上是一致的，因此他們具有相同的傳播特性。根據文獻[5]，偽地球坐標系慣導系統同樣存在著舒勒、傅科以及地球三種周期振蕩，并且其偽緯度誤差和偽經度誤差是隨時間發散的。另外由式(2)可知，在構建偽地球坐標系的切換位置時，偽緯度Lp總是為0，因此偽方位誤差方程式(22)可以重寫為：

由式(32)偽方位誤差方程可知，在切換位置，線性運動誤差與方位誤差之間實現了解耦。因此如果依據載體初始位置來構建偽地球坐標系進行初始對準，則可以消除導航坐標系旋轉角速度誤差（即或在傳統編排下為對方位對準的影響。因此基于偽地球坐標系的初始對準也具有優良性質[12]。另外，由公式(3)可知，偽地理坐標系（即偽東-北-天）與傳統南-東-天地心地理坐標系是一致的，因此，即使由傳統的初始對準算法完成慣導系統的初始對準也無需進行重新設計。其次，由于偽地球坐標系是根據載體位置構建的，因此它不受載體初始位置的影響，也可用于極區初始對準，此結論已在文獻[12]和[13]給出了證明。因此基于偽地球坐標的全球導航方案對于實現慣導系統的全球導航是可行且合理的。

4 仿真與分析

為了驗證基于偽地球坐標系全球導航算法的可行性和合理性，本節通過低緯度導航和極區導航仿真來對其進行驗證。仿真參數設置如下：陀螺常值漂移為0.01 (°)/h，隨機游走系數為 0.001 (°)/h1/2；加速度計常值零偏為100 μg，隨機游走系數為10 μg/Hz1/2；載體的真實姿態角θ=γ=ψ=0°；導航系統的初始姿態誤差參數為初始速度誤差為為了防止慣導系統高度通道發散，在導航解算過程中假設載體天向速度為零。

4.1 低緯度導航仿真

載體初始位置L0=15.6778°，λ0=126.6778°；載體以20 m/s的航速沿著載體艏向方向航行3.7 h。根據本文基于偽地球坐標系的全球導航算法，慣導系統的核心部分首先在南-東-天地心地理坐標系（T系）進行導航計算，在0.5 h后通過簡單的變換切換到偽地理坐標系（P系）進行導航解算。在此過程中利用傳統地理坐標系導航參數轉換單元來修正和轉換導航參數。圖4給出了傳統指北編排導航算法和本文全球導航算法下的誤差曲線。圖5給出了傳統慣導系統和本文慣導系統核心部分計算出的載體姿態。圖4和圖5中，虛線代表傳統指北編排算法，實線代表基于偽地球坐標系的全球導航算法。

分析圖4所示的導航誤差曲線可知：傳統慣導算法與本文的全球慣導算法具有幾乎相同的導航精度。在3.7 h時刻，利用兩種導航算法計算的姿態和速度之間的差別分別是 0.034′、0.065′、0.006′和 0.105 m/s、0.003 m/s。對于位置誤差，基于偽地球坐標系全球導航算法的經度誤差甚至更小。另外即使在0.5 h時刻進行了一次導航坐標系的切換，本文全球導航算法的導航誤差仍是平穩周期性振蕩，沒有任何跳躍和突變。因此本文基于偽地球坐標系的全球導航算法是可行和合理的，并實現了全球導航算法的內在統一。

圖4 傳統指北編排和偽地球坐標系編排下導航誤差曲線Fig.4 Error curves of navigation based on traditional north-oriented and pseudo-Earth mechanizations

圖5 傳統指北編排和偽地球坐標系慣導核心的姿態解算Fig.5 Vehicle attitude with traditional north-oriented mechanization and the core of INS based on pseudo-Earth frame

其次，分析圖5可知，在導航坐標系切換的時刻，偽地理坐標系與傳統的地心地理坐標系（南-東-天）是一致的，而切換后慣導系統計算的載體姿態也是連續變化的。因此基于偽地球坐標系導航編排可以實現導航坐標系的連續變化，從而保證物理平臺導航追蹤的平穩切換。因此基于偽地球坐標系的全球導航算法可以實現捷聯慣導與平臺慣導系統的編排方案統一。

4.2 極區導航仿真

設載體初始位置為L0=87°、λ0=126°，載體以30 m/s 航速沿著載體艏向方向航行4.7 h，則根據載體的初始位置構建偽地球坐標系進行導航計算，得出的導航誤差曲線如圖6所示。

由圖6可知，在極區使用偽地球坐標系力學編排來進行導航解算，導航誤差也是平滑、連續地進行振蕩，無跳變現象發生，因此可以有效解決極區導航的問題，并滿足極區導航精度的要求。同時根據基于偽地球坐標系的全球導航方案，該偽地球坐標系是根據載體的初始位置來構建的，從而可以最大程度地減小導航坐標系的頻繁切換，也可以避免在切換中出現可能的潛在問題。因此本文基于偽地球坐標系的全球導航方案是可行且有意義的，并具有優良的性能。

圖6 偽地球坐標力學編排下的導航誤差Fig.6 Errors of navigation with pseudo-Earth mechanization

5 結 論

為了有效地解決慣導系統全球導航（包括極區導航）的問題，采用了偽地球坐標系的慣導力學編排，從全球導航角度出發提出了基于偽地球坐標系的全球導航算法。以“躲進小樓成一統，管他冬夏與春秋。”的主旨思想，將整個慣導系統的實現分成“核心部分”和“轉換單元”兩部分完成。“核心部分”以球形地球模型下偽慣導力學編排來完成慣導系統在全球范圍內的導航計算，從而可以保證物理平臺追蹤切換的平穩性，使其不僅適用于捷聯慣導系統而且也適用于平臺慣導系統。同時“轉換單元”用于修正和轉換導航參數，從而得到期望的導航參數，而且也是更方便同其它局部慣導系統進行交互通信。當需要不同導航系統的導航參數時，僅不同的參數轉換單元是必要的，慣導系統的核心單元將無需改變。

最后通過仿真對其進行了驗證，結果表明，該導航算法是可行和合理的，同時可以解決極區導航的問題，并對全球導航算法實現了全球范圍內在統一。

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Algorithm of global navigation for inertial navigation system based on pseudo-Earth frame

LIU Meng, LI Guang-chun, GAO Yan-bin, Li Ying, WANG Di
(College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Inertial navigation system (INS), as an autonomous and self-contained system, is an optimal choice for the navigation in polar regions due to the existed special geographical and electromagnetic factors.Nevertheless, any of the existing conventional mechanizations could not achieve the global navigation by itself when the INS is considered to navigate in global regions. Therefore a composite mechanization is usually applied to achieve the global navigation, but it is adverse to the unification of the navigation algorithms in global regions. To solve this problem, a global navigation algorithm based on pseudo-Earth frame is proposed. The global navigation algorithm can not only be applied into strapdown INS but also can be applied into the platform INS, and can achieve the intrinsic unity of the navigation algorithms. Moreover,it is convenient to communicate with other local INS and has low complexity of switching logic, thereby decreasing the complexity of programming and reducing the burden of computer. Simulation results verify the feasibility and effectiveness of the proposed algorithm.

pseudo-Earth frame; global navigation; polar navigation; strapdown inertial navigation system;platform inertial navigation system

1005-6734(2017)04-0442-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.04.004

U666.1

A

2017-04-10；

2017-07-28

中國國家科學技術部國際科技合作項目（2014DFR10010）

劉猛（1988—），男，博士研究生，從事慣性技術研究。E-mail: liumeng_0304@163.com

聯 系 人：高延濱（1963—），男，教授，博士生導師。E-mail: gaoyanbin@hrbeu.edu.cn