高中數學解題與化歸思想運用分析

山東省實驗中學 陳洪澤

高中數學解題與化歸思想運用分析

山東省實驗中學 陳洪澤

高中數學學習存在較大的困難，在解題過程中不可避免地會遇到多種問題，而重重難題的阻擋也使得許多學生逐漸喪失了學習的信心和主動性。因此，只有將相關問題一一解決，才能夠收獲更好的學習成效。數學知識非常豐富，相關的題目也是類型各異，所以只有掌握正確的解題思想，即化歸思想，才能夠順利將其解決。本文針對高中數學解題與化歸思想的運用展開分析和探討，根據實際的數學問題加以深入剖析，從而對該思想在高中數學學習中的重要性進行良好闡釋。

高中數學解題；化歸思想；運用

將化歸思想靈活地運用于高中數學學習的過程中，不但能夠使許多難題迎刃而解，使復雜的問題變得簡單，而且可以大大提升解題速度與答案的正確率，同時還可使學生收獲成功的喜悅，并且還可鍛煉其思維能力，使其在面對問題的時候變得輕松自如。

一、化歸思想概述

1.內涵

化歸思想具體指的是在數學學習期間，使一些具有較高復雜度的問題變得簡單化，使難以正確理解的問題變得容易理解，能夠使解答正確率及速度都大大提升。在對數學問題進行解決的過程中，倘若能夠將該思想加以靈活應用，那么學生自身的思維能力將會得到鍛煉和提高。在解答數學題目的過程中，該思想主要表現在把多元問題轉化分解成多個一元問題，或者把一些問題從高維轉變為低維，把立體圖形轉化成平面圖形。不同于初中數學，高中數學更加傾向于開拓數學思維以及應用數學方法。因此，將該思想運用于高中數學解題當中極為關鍵，同時也有助于學生數學綜合素養的提升。

2.重要性

化歸思想是一種應用頻率較高的數學思維方式，其涉及面極為廣闊。究其根本，是因為其更加重視遇到繁雜度較高的問題時的具體轉化及改變，將復雜變為簡單，將多元變為一元。換言之，就是通過化歸思想把新知識轉化成已經學習過并且熟練掌握的內容。可見，該思想在高中數學學習中十分關鍵。高中生在學習期間應當主動養成相應的思維方式習慣，積極運用上述思想對數學題目進行解答，鍛煉將復雜問題簡單化，將未知條件逐漸轉變為已知條件，將新內容內化成已牢牢掌握的舊內容的能力，進而在處理數學題目時獲取更高的成效。

3.形式

化歸思想的形式主要有兩種：其一，將問題從多元轉化為一元。倘若某個數學題目中存在多個未知數，那么就可借助代入法把多元方程變成一元方程，如此一來，問題的計算即可變得清晰明了；其二，從高次式轉變成低次式。我們在面對數學題目時，常常會遇到難以處理的高次式問題，此時只需將次式降低，即可使問題得到圓滿解決。除此之外，該思想還可在許多數學問題中加以運用。簡單來說，在解答高中數學題目的時候，如果能夠對化歸思想進行有效運用，那么不但能夠使問題的難度降低，而且有助于促進我們數學思維的發散以及綜合能力的提升。

二、高中數學解題中對化歸思想的運用

1.將不等式轉化成等式

在高中數學學習當中，不等式是一個基礎性的關鍵知識，同時也是歷年考核的重點題目。許多高考習題都是將對該知識點的考查融合到函數方程當中，從而使其組成一個具有較高復雜度的綜合性題目。然而，此類題目不同于我們以往學習的單一知識點的疊加，而是更加傾向于對相關知識內容的綜合全面考查。在處理此類題目的時候，應當先將其分割成多個不一樣的知識點，然后一個一個分析解決。在此期間都能夠對化歸思想加以應用，從而使繁雜的題目變得清晰明了，足夠簡單。譬如，在解答不等式問題的時候，借助等式知識來進行分析，使問題的難度有效減小，解題思維更加清晰，解答更加高效便捷。以下通過實例進行詳細探討。

題目1：假設不等式|kx－4|≤2的解集為{x|1≤x≤2｝，則實數k的值為？

在解答此題目的時候應該進行以下思考：針對不等式的解集題目，將端點值代入之后等號得以成立，所以題目解答的思路瞬間清晰，即1與3分別是方程|kx-4|=2的兩根，則可得出|k-4|＝2，|3k-4|＝2，從而可以得出k為2。對此類題目進行解答的時候只需做一個轉化，即將不等式變成等式，不管問題的復雜度有多高，都會快速找出正確答案。

就題目1 而言，通過細致地觀察和認真地思考，開展條件的轉化，從而產生全新的聯想，在解決不等式問題的時候選擇借助證明等式的數學思維方式，即可使我們的分析能力及數學綜合能力大幅提升。另外有一點必須引起重視，即解答題目并非根本目的，將化歸思想及其相關方法加以掌握才是真正的目的。

2.在等差數列中運用化歸思想

幾乎每年的高考題目當中都包括數列問題，因此在學習高中數學的時候，應將其作為重中之重。等差與等比數列的根本性知識，常常是需要求出數列的通項以及前n項和，而獲取相應的通項公式則是解答此類題目的關鍵所在。近幾年，高考題中也不乏借助遞推公式來得出該公式的題目類型。在現實的習題訓練當中，可以發現此類題目資源十分豐富，而與其相對應的解答方式也種類多樣。在仔細觀察和深入分析之后，可以發現此類題目常常可以轉化成等差數列問題，數學化歸思想方法也因此而得到體現。

數學課本里借助疊加法獲取了等差數列通項公式的證明方式，然而考試中卻常常以an-an-1=f(n)相近的遞推公式出現。在解答此類問題的時候也可利用疊加法加以處理。以下舉例說明。

題目2：已知a1=1, an-an-1=n-1，求an。

針對該題目，從題干中可以找出已知條件，發現其屬于相對簡單的等差數列，所以我們采用疊加法來加以解答，具體如下：由于a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，…，an-an-1=n-1，上述式子相加之后得出 an-an-1=1+2+3+…+(n-1),所以 an=(n2-n+2)/2。

在采用疊加法處理此類問題的時候，通常具有兩個特點：第一，等式右邊的求和更方便、更簡單；第二，疊加之后等式左邊可進行錯項消除來化繁為簡。

3.數學函數中靜態與動態的互相轉化

高中數學函數是現實生活里兩個變量間的關系的反映，在解答相關題目的過程中，我們可有效借助運動與變化的思想來對現實生活中相關問題量的依存關系加以剖析與討論，將與數學無關的內容拋除在外，使數學特色變得具有抽象性，借助函數方式使上述關系反映出來。如此，原本具有靜態特性的量變成了動態，借助函數運動的單調性的基本特點來將問題層層處理，靜態與動態的轉化得以實現。在高中數學學習期間，我們經常會用到該方法，以下舉例說明。

總之，在解答高中數學題期間，合理運用化歸思想非常關鍵。將其運用于題目當中，不但可以使我們快速將具有較高復雜度的問題轉化為簡單、易于理解的問題，而且還可鍛煉數學思維能力。我們在學習高中數學知識期間，必須培養化歸思想意識，并且將其靈活運用于各種各樣的數學題目當中，只有這樣，才可以快速解答出問題的正確答案，也只有這樣，我們的數學思維才可得到真正的鍛煉，數學綜合素養才會得到真正的提升，而所有的數學問題也會迎刃而解，同時也不會再將數學視為一個枯燥、繁雜的學習科目。

[1]靳世杰.高中數學化歸思想教學之我見[J].數學學習與研究，2014（17）.

[2]舒鏡霖.化歸思想在高中數學解題中的應用研究[J].數理化解題研究，2016（9）.

[3]吳明志.試析解決三類函數體的橋梁——化歸思想[J].中學教育，2016（01）.