線性代數分學院案例式教學研究

郭彥+史玉鳳

【摘 要】 線性代數是一門很重要的工科專業必修數學基礎課程，隨著社會對畢業生實際操作水平和實踐能力的逐步提高以及電子計算機的迅速發展，過去注重理論教學的教學模式目前很難適應社會發展的需求。對不同學院學生進行教學過程中，選用不同的案例滲透線性代數概念及知識，為學生進行專業課學習打下一定的數學基礎。

【關鍵詞】 線性代數；分學院；案例式教學

【Abstract】 Linear algebra is an important basic course for Engineering Majors. Because of the high quality requirement of actual operation and the rapid development of electronic computers， the teaching mode which focused on theoretical teaching was difficult to meet the needs of social development. For different college students， concepts and knowledge of linear algebra is introduced in different cases. This method lays a certain mathematical foundation for students to study in specialized courses.

【Key Words】 linear algebra； collage-based； case teaching

【中圖分類號】 O151.2 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2017）17-00-02

一、引言

線性代數具有概念眾多，基本定義、定理多，內容涉及多維問題使得知識點相對抽象難于理解，并且涉及到的計算都是計算量很大等特點[1]。案例教學法是一種以案例為基礎的教學法，這一教學法能鼓勵學生積極參與討論[2]。本文討論將線性代數課程采用分學院基于背景案例教學的模式，在線性代數課程講授過程中選用具有學院特色的案例，加強學生的線性代數應用與計算能力的培養。

二、計算機科學與技術學院

1.矩陣——計算機圖形

計算機圖片可以用矩陣表示，進行圖片顏色改變時，可用到分塊矩陣知識。圖片的縮放變化用到對角矩陣和矩陣乘法知識，圖片的平移變換用到矩陣加法，圖片的旋轉變換用到矩陣乘積的知識。人體經絡可視化需要將圖像由三維變化到二維，變化過程中也需要用到矩陣知識[3]。航空發動機葉片形狀復雜，在其上用激光加工孔洞過程中也需要用到圖形變換，與矩陣知識相關性甚大[4]。

2.向量夾角——Internet網絡

網絡服務器根據文檔間的相似程度、相關程度進行分類。文檔分類可通過以下方法實現，將文檔關鍵詞進行數字化、歸一化，得到向量，將向量間向量夾角進行比較，向量夾角越小，文檔近似程度越高。

三、物理學院

1.空間解析幾何——加速度、受力分析、軌跡確定

加速度的確定與空間解析幾何知識相關，由于物體加速度是位移的關于時間的二階導數，所以將位置與時間的關系式對時間進行二次求導，即得物體在各方向上的加速度。

分析兩條等長的繩子掛一件物體受力，根據向量的平行四邊形法則、力的平衡及三角形知識可分析出不同夾角情況下，繩子的受力，分析出夾角與拉力之間的關系，得出何時最省力。同樣可分析成人拉小孩胳膊離地是否會拉傷，進行引體向上運動時手如何放置最佳？

輪船在河水中的運動軌跡受船行速度、方向及水流速度、方向的影響，畫出速度矢量圖，根據向量的平行四邊形法則，即可確定輪船的運動軌跡。

2.向量、矩陣、線性變換——物理電路

基爾霍夫定律可與矩陣、向量知識相結合，進行電路分析。首先根據函數關系，確定系數矩陣，再確定矩陣的特征值、特征向量和特征函數，最后通過線性組合確定電壓和時間的關系。

3.分塊矩陣——衛星軌道

為了比較衛星在不同時間的位置與計劃軌道進行比較，需要用到雷達數據。雷達給出的數據很大，矩陣需要在分析數據時計算出來，當雷達數據到達時，新的必須計算出來，由于數據龐大，計算負擔重，計算過程中可用到分塊矩陣的知識。

四、管理學院

1.矩陣——銷售及成本管理、成績管理、航班計算

矩陣加法及數乘等計算可進行銷售額、成本等計算及學生成績管理。例、已知上半年銷售情況和下半年銷售情況，通過矩陣加法可得全年總銷售情況。

將各學生的各項成績寫出矩陣形式，運用矩陣數乘計算，各項成績乘以相應的比例系數，再相加，即可獲得各學生的總成績。

圖論在航班設置及選擇上的應用十分重要。航班城市作為頂點，頂點間由有向邊、雙向邊連接，構成有向圖和無向圖。通過航班圖信息，列出航線矩陣，可得出能夠直接到達的城市、一次轉機能到達的城市、二次轉機能到達的城市。

2.向量空間、線性變換、特征值——人口遷徙

人口遷移問題與線性代數的向量、線性變換、特征值等知識相關。已知城市、農村的人口數量和遷移規律，將初始數據和遷移規律寫成向量形式，二者相乘，即可得后來各年各地的人口數目。人口遷移問題也可由矩陣乘法來進行，將市區與郊區的遷移規律寫出矩陣形式，通過線性變換、特征值、特征向量獲得若干年后市區和郊區的人口情況，并用數學知識分析通過人口遷移能不能實現人口均勻分布，為什么。

3.線性方程組、向量——交通流、公共自行車管理endprint

交通流調整、控制、管理等問題中應用到線性代數中的線性方程組、向量等知識。首先實地記錄進出口車流量，根據交通圖及節點流量守恒等列出各節點的流量方程，根據線性方程組特點計算各路段車流量，分析哪段路車流量最大。

公共自行車的取還、停車等宏觀調控需用到線性代數中的向量知識。首先統計各站點的借還信息，通過向量分析各站點的歸還情況，分析比較繁忙的站點，進而對公用自行車進行管理。

五、能動學院

傳熱問題的數值計算中會用到線性方程組知識。如鋼板溫度確定問題。分析鋼板熱傳導物體特點，得出傳熱過程中的幾何條件、物理條件、邊界條件和初始條件，根據熱平衡方法或泰勒級數展開法建立離散方程，然后根據線性方程組求解方法即得各節點的溫度值。

六、力學與土木工程學院

1.矩陣——梁的變形

進行簡單梁受力分析過程中，根據胡克定律，可寫出力與形變之間的關系，即y=Df，其中D為柔度矩陣，其逆為剛度矩陣。根據胡克定律、矩陣、求逆、矩陣乘法等即可分析撓度、受力大小、受力方向等，可分析剛度矩陣中負值元素，出現負值的原因等。

2.向量、線性方程——混凝土配料

混凝土配比分析過程如下：將基本類型寫成基向量形式，待配混凝土為合成向量，根據向量空間知識分析基向量構成的向量空間的維數，然后加入合成向量看維數是否增加？通過分析可知什么要求的混凝土可以配出，什么要求的不能配出。

七、信息與控制工程學院

1.矩陣的逆——保密編譯

根據要發的明文，寫出其矩陣，為了保證安全，需要對明文進行加密，即用密碼矩陣左乘明文矩陣，即可得到密文矩陣。獲得密文后需要對密文進行解密，即用密文矩陣左乘密碼矩陣的逆。根據矩陣及矩陣逆的知識也可進行密碼矩陣的確定。

2.向量——數字通信統計

在數字通信統計過程中會用到向量知識，如人們收看兩個電視臺節目，每逢整點插播廣告，接受一臺節目的a%的人改看二臺，b%接受二臺節目的人改看一臺，估算某一時刻各臺收看人數用向量及向量空間即可獲得。此方法在人口遷徙分析中也能用到。

八、結論

探討和研究了對分學院模式下的線性代數采用科學計算結合案例教學法進行教學。很多學院或學院中突出專業所研究的問題，都與線性代數知識相關，如計算機學院的計算機圖形、Internet網絡，物理學院的受力分析、軌跡確定、電路分析，化工學院的化學方程式配平，生命學院的生態問題，管理學院的成本等管理、航班計算、人口遷徙、流量分配，能動專業的熱傳導問題，力學與土木工程學院的梁的變形、混凝土配比，信控學院的保密編譯、通信統計等問題。

參考文獻：

[1]江龍，程林鳳，胡建華.線性代數[M].高等教育出版社，2012.

[2]李政輝.案例教學法探源[J].中國大學教學，2009（9）：89-92

[3]李鵬鋒，陳新.基于圖形變換的人體經絡可視化[J].計算機應用，2011，31（11）：3035-3037.

[4]胡忠恒，李坤.圖形變換的矩陣方法在激光加工中的應用[J].航空制造技術，1992（4）：37-38.endprint