基于一種新的均勻化實施方法的FRP剛度預測

高濤， 漆文凱,2， 沈承,2,*

1.南京航空航天大學 能源與動力學院， 南京 210016 2.江蘇省航空動力系統重點實驗室， 南京 210016

基于一種新的均勻化實施方法的FRP剛度預測

高濤1， 漆文凱1,2， 沈承1,2,*

1.南京航空航天大學 能源與動力學院， 南京 210016 2.江蘇省航空動力系統重點實驗室， 南京 210016

基于一種新的漸近均勻化(AH)實施方法，預測并討論了單向纖維增強復合材料(FRP)的宏觀等效彈性性能及纖維排列方式對等效力學性能的影響。該方法方便地將有限元分析(FEA)軟件作為一個工具箱使用，只需在單胞上施加簡單位移周期邊界條件開展靜力學分析，即可經過簡單計算得到等效彈性常數，相比傳統均勻化實施方法顯著降低了實施難度并簡化了計算過程。通過對比不同數值方法的結果驗證了該方法的有效性和精確性。數值結果表明：六邊形排列下單向纖維增強復合材料呈現橫觀各向同性，而正方形排列下則呈現宏觀正交各向異性，經過剛度平均化過程可得到橫觀各向異性材料性質，纖維體積含量對兩種排列方式下材料等效彈性模量影響顯著但有所差別。

均勻化方法； 等效彈性性能； 周期邊界條件； 有限元； 纖維排列； 復合材料

隨著復合材料力學性能的優越性和可設計性得到了廣泛的認可，越來越多的輕質高強復合材料被大量應用于航空、航天和船舶領域，如：飛機的機翼、機身和螺旋槳，火箭發動機殼體及船舶殼體等[1]。鑒于復合材料大多具有復雜的微細觀結構，其宏觀力學性質較難得到準確的預測。若能在設計階段獲知其宏觀力學性能，將對復合材料的工程應用以及設計開發具有重要的價值，因此復合材料的等效宏觀性能預測一直是材料及力學研究者關注的重要課題。

迄今為止，學者們提出了預測復合材料有效性能的許多模型和計算方法，詳見綜述文獻[2-3]。其中，自洽(SCS)方法[4]、廣義自洽(GSCS)方法[5]及Mori-Tanaka(M-T)方法[6]多被應用于推導具有簡單微結構復合材料的數值解析公式[7-8]。而代表體元(Representative Volume Element，RVE)法[9]和漸近均勻化(Asymptotic Homogenization，AH)方法是近些年發展起來并得到廣泛應用的數值計算方法，兩者均可處理具有復雜周期性微結構的復合材料，且借助于有限元法便于實施和應用。具體來說，RVE法由于具有清晰的力學概念且應用過程較為簡單，常被應用于復合材料以及點陣結構等效彈性性能的預測。例如，Sun和Vaidya[10]基于三維代表體單元和周期邊界條件預測了復合材料的等效性能。Kanit等[11]提出了隨機分布復合材料代表體積單元的定量選擇模型。值得注意的是，RVE法并非基于嚴格的數學推導，因此一般僅適用于等效彈性性能的近似估計。

AH方法是一種基于攝動理論的多尺度數值等效方法，它通過近似求解定義在單胞上的偏微分方程進而得到材料的等效彈性性能[12]，該方法完整的推導過程可參考文獻[13-14]。邢譽峰和陳磊[15]研究了攝動階次和單元階次對均勻化方法計算精度的影響，強調了二階攝動對精度的作用。AH方法被廣泛應用于求解各種材料和結構的等效彈性性能及宏細觀應力分析[16-18]。例如，Hassan等[19]基于AH方法得到了三維編織復合材料、層合板、薄壁殼以及蜂窩夾芯三明治殼等結構的等效力學性能[20-23]。具體實施過程中，AH方法通常借助于有限元理論，需針對不同問題建立相應的有限元結構單元，進行大量編程和積分運算，操作起來比較復雜且求解效率比較低。為此，Cheng等[12]提出了一種基于漸近均勻化理論的新型有限元實施(Novel Implementation of Asymptotic Homogenization， NIAH)方法，已經被成功應用于蜂窩板的等效剛度預測[24]。該方法可以避免大量編程和積分運算，但實施過程中求解每個參數需對所有節點分3次加載等效初始位移場和周期性邊界條件，加載分析過程較繁瑣且運算量大。因此，本文改進了傳統實施方法，可以更方便地借助于商業有限元軟件作為工具箱來實施AH方法。通過引入一個新的特征函數(在Wang等的研究[25]中已有詳細證明)，將原AH實施方法中的初始應變場和周期性邊界條件簡化成簡單的位移型周期邊界。新的實施方法借助于商業有限元軟件作為工具箱，只需對單胞模型的邊界施加簡單位移型邊界條件，進行一次靜力分析，即可直接得到等效彈性常數。該方法具有廣泛的適用性，可應用于具有周期性微結構的材料彈性性能預測，如纖維增強復合材料，格柵結構材料和點陣結構等。

眾所周知，隨機分布的長纖維增強復合材料(FRP)具有橫觀各向同性的材料性質。在以往的解析和數值研究中，通常利用正方形或六邊形排列模型來預測其等效力學性能，其中纖維六邊形排列模型可完全等效為橫觀各向同性，但正方形排列下的模型卻具有正交各向異性的材料性質，這在以往的研究中通常被忽視。因此，深入分析排列方式對單向纖維增強復合材料等效力學性能的影響具有重要的理論價值。本文基于新的漸近均勻化實施方法，通過建立可考慮不同纖維排列方式的統一模型，系統研究了排列方式以及纖維體積含量對單向纖維增強復合材料等效彈性參數的影響。

1 新的漸近均勻化方法

(1)

根據彈性力學基本理論，應變與位移、應力與應變的關系可以表示為

(2)

式中：εkl和σij為應變和應力張量；Eijkl為彈性常數張量。

根據虛位移原理，虛位移方程可以描述為

(3)

圖1 周期結構及其單胞示意圖 Fig.1 Periodic stucture and corresponding unit cell

將式(1)代入式(3)，線彈性單胞問題可以描述為[13]

(4)

對于如圖2所示的長方體單胞，周期邊界條件可以描述為

(5)

式中：U?代表單胞沿y1正方向上的兩個面；V?代表單胞沿y2正方向上的兩個面；W?代表單胞沿y3正方向上的兩個面。

等效彈性常數可由式(6)得到：

(6)

或寫成矩陣形式為

(7)

圖2 長方體單胞 Fig.2 A rectangular parallelepiped unit cell

(8)

對于三維單胞問題，有

(9)

(10)

式中：δkn和δln為Kronecker函數，n取1，2，3。

通過引入這個特征函數，等效彈性常數式(6)可表示為

(11)

通過引入新的特征函數張量，原來的對單胞加載初始應變和周期邊界條件的問題轉化成簡單的位移周期邊界問題。周期性邊界條件式(5)可以進一步簡化為

(12)

結合式(5)和式(12)，簡單位移型周期邊界條件可以描述為6種初始位移邊界加載，即

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

可以看出，這6種位移邊界條件格式統一，只與單胞的尺寸有關，故加載更加簡便。

根據文獻[26]，式(11)可進一步表示為

(19)

矩陣形式為

(20)

(21)

2 新方法實施流程簡述

圖3 傳統AH方法和新實施方法流程圖 Fig.3 Flowcharts of traditional AH and new implementation methods

為了更清楚地展現新的方法，以及新實施方法和傳統AH方法的不同和聯系，繪制兩者的流程圖，如圖3所示. 從對比流程圖中可以看到，傳統AH求解方法中，需要在每個單元上積分，這就要求必須清楚有限元單元的每一個細節，如形函數、本構關系和應變-位移矩陣。對于不同的單元類型，這些矩陣也都不同。因此必須針對不同單胞和單元自編不同的有限元模型、列式和程序并進行多次求解。在新的實施方法中，可以用商業有限元軟件來完成建模和一次直接求解，比如ANSYS。新的方法實施起來更為簡單方便，只需編寫一個小的腳本，針對不同單胞不同單元，都可以直接計算，不用考慮具體的細節。商業軟件作為一個工具箱，僅需要一次靜力加載即可直接輸出結果，大大簡化漸進均勻化方法的實施流程，同時，無需自編程序和積分運算，提高了計算效率。在實施求解時也應注意：① 為了保證周期性邊界條件的準確施加，有限元單胞模型在建模時需要在平行的兩個邊界面對應節點的保持對稱性；② 若單胞模型采用二維單元或者一維單元(如殼或梁單元)，施加位移周期邊界時需要將施加的節點平動自由度轉換成轉角自由度。

根據復合材料力學，橫觀各向同性材料的剛度系數與彈性模量的關系有

S=D-1=

(22)

式中:下標a和t分別代表縱向(即沿纖維方向)和橫向(即垂直于纖維方向)；E、G和ν分別為彈性模量、剪切模量和泊松比。

本文基于商業有限元軟件ANSYS建立單胞模型，為便于施加周期邊界條件，單胞相對邊界網格需保證完全一致，然后運用APDL語言可方便地施加初始位移場。等效剛度系數矩陣可由ANSYS結果直接輸出，通過橫觀各向同性材料的剛度系數矩陣與彈性模量的關系式(22)最終得到材料等效彈性模量。

3 算例分析

3.1 有效性驗證

圖5為該單胞模型的有限元網格，基體和纖維結合部經適當加密。模型采用網格數為24 420的Solid185實體單元進行有限元離散。本例假設為硼/鋁復合材料，纖維和基體材料參數為：Ef=379.3 GPa，νf=0.1；Em=68.3 GPa，νm=0.3,Vm=0.47。

圖4 單向纖維增強復合材料及對應單胞示意圖 Fig.4 Illustration of unidirectional fibre reinforced composite and corresponding unit cell

圖5 單胞的有限元網格 Fig.5 Finite element mesh of unit cell

本文模型和其他模型對比結果見表1，其中，FEM[10]實際是一種基于有限元理論的數值逼近方法。GMC方法[27]、HFGMC方法[27]和ECM方法[28]是MOC方法[29]的變形，本質是利用Legendre多項式的不同階形式對不同尺度下的位移進行展開。VAMUCH方法[30]是另外一種漸近展開法，它通過對單胞能量泛函漸進展開來預測有效彈性常數。從表1中可以看出，MOC和GMC預測的剪切模量G12偏小，而FEM方法預測的G12偏大，本文和另外一種漸進均勻化方法VAMUCH方法以及HFGMC方法計算的結果較為接近。諸多方法中，本文方法實施最為簡單有效，且結果較精確，充分說明了該方法的有效性。

表1不同方法預測的硼/鋁復合材料等效材料性能

Table1Equivalentmaterialpropertiesofbron/aluminumcompositesobtainedusingdifferentmethods

MethodE11/GPaE22/GPaG12/GPaG23/GPaν12ν23VAMUCH[30]215．3144．154．345．90．1950．255FEM[10]21514457．245．90．1950．29MOC[29]215142．651．343．70．200．25GMC[27]21514151．243．700．1950．261HFGMC[27]215．414454．345．830．1950．255ECM[28]215143．454．345．10．1950．26Present215．2143．954．345．810．1950．255

Notes：Ef=379.3 GPa,νf=0.1,Em=68.3 GPa,νm=0.3,Vm=0.47.

3.2 不同單胞模型對結果的影響

圖6給出了同一纖維排列下選取不同單胞模型的示意圖，表2列出了C1～C4相同纖維體積分數下不同單胞模型的彈性模量及泊松比結果，C4是經過坐標變換后的結果。結果顯示：C1、C2和C3的結果完全一致，只有C4彈性模量有細小差別，這種細小的差異是由有限元網格本身的差異造成的。這說明同一纖維排列方式下，彈性模量的結果與單胞模型的選取無關。

圖6 不同的單胞模型 Fig.6 Different unit cell models

表2 不同單胞模型的結果Table 2 Results using different unit cell models

ModelofunitcellEa/GPaEt/GPaGt/GPaGa/GPaνaνtC137．9410．932．902．190．0870．410C237．9410．932．902．190．0870．410C337．9410．932．902．190．0870．410C437．9310．922．902．190．0870．410

Notes：Ef=73 GPa,νf=0.22,Em=2.9 GPa,νm=0.4,Vm=0.5.

3.3 正方形排列與六邊形排列

圖7 菱形纖維排列下復合材料的橫截面和單胞 Fig.7 Cross-section and unit cell of composites with rhombic fiber arrangement

圖8 單胞模型的有限元網格 Fig.8 Finite element meshes of unit cell model

圖9 正方形纖維排列下的坐標變換 Fig.9 Coordinate transformation of square fiber arrangements

D′=T(θ)DTT(θ)

(23)

式中：T(θ)為坐標轉換矩陣，且

(24)

其中：li,mi,ni(i=1,2,3)為方向余弦。

材料參數同表2。計算可得到等效剛度矩陣，再根據式(23)的坐標變換，得到兩種纖維排列方式下等效剛度系數隨θ的變化規律(如圖10所示)。結果表明，兩種纖維排列下任意θ(-45°≤θ≤45°)均滿足如下關系：D11=D22,D13=D23,D44=D55,D16=-D26。纖維排列方式為六邊形時，所有剛度系數都不隨θ變化，說明該纖維排列下模型呈現為橫觀各向同性材料屬性。纖維呈正方形排列時，模型呈現正交各向異性，只有D13(=D23),D33,D44(=D55)不隨θ變化，并且其拉伸-彎曲耦合剛度系數D16(=-D26)在某些角度θ下并不為零。兩種排列方式下剛度系數D13(=D23),D33,D44(=D55)非常接近。

為了消除轉角對有效彈性常數的影響，令剛度系數在所有可能轉角θ下取平均值，此時平均剛度系數可以表示為

(25)

式中：Dsquare(θ)為角度θ下的剛度矩陣。此時，正方形排列下平均化后的剛度矩陣為

(26)

平均化后的剛度矩陣不再隨轉角θ變化，進而可得到橫觀各向同性材料性質下的剛度矩陣，最終由式(22)獲得等效彈性模量。

圖10 兩種纖維排列方式下的等效剛度系數隨θ的變化 Fig.10 Variations of effective stiffness coefficients with θ for two fiber arrangements

3.4 纖維體積分數對彈性模量的影響

圖11給出了正方形和六邊形纖維排列下的拉伸和剪切模量隨纖維體積分數變化曲線，其中，正方形排列的等效模量是經過剛度平均化后的結果。從圖中可以看出：兩種排列方式在相同體積含量下的縱向拉伸模量(Ea)相同，且都隨纖維體積分數的增加呈線性增加。說明等效的縱向拉伸模量主要受纖維縱向拉伸模量的影響，與纖維體積分數有關，與纖維排列方式無關。在較低纖維體積含量(Vf≤0.35)下，正方形和六邊形纖維排列方式下的橫向拉伸模量(Et)、橫向剪切模量(Gt)和縱向剪切模量(Ga)隨纖維體積含量的增大緩慢增加，且兩種排列下的值都非常接近，而在較高纖維體積含量(Vf>0.35)下，這些模量隨纖維體積分數增大的速率不斷增大，正方形排列下的模量都比六邊形排列要大，且這種差距隨纖維體積分數的增加而逐漸增大。總的來看，相同體積分數條件下，除了縱向拉伸模量外，正方形排列材料的拉伸和剪切彈性模量均大于六邊形排列材料的。說明在較低纖維體積含量時，其橫向拉伸模量、橫向剪切模量和縱向剪切模量受基體材料的模量影響較大，在較高纖維體積含量時，這些模量受纖維材料的模量影響較大。物理機理[31]在于正方形排列纖維之間的最小間距比六邊形排列時要小，即纖維排列更緊密，因此其等效橫向拉伸模量和剪切模量更大。

圖11 不同體積分數下的拉伸模量和剪切模量 Fig.11 Tensile modulus and shear modulus under different volume fraction

4 結 論

1) 基于一種新型漸近均勻化實施方法，建立了單向纖維增強復合材料的等效彈性性能預測模型。通過和其他理論對比，驗證了該方法的準確性和簡便性。

2) 數值結果表明：單胞的選取方式對求解結果沒有影響；通過建立不同纖維排列方式下的統一單胞模型，可討論排列方式對材料等效參數的影響，六邊形排列下的單胞模型具有橫觀各向同性的材料性質，而正方形排列下的單胞模型則具有正交各向異性的性質，此時，可通過坐標變換和剛度平均化由正方形排列單胞模型得到橫觀各向同性的材料性質；此外，纖維體積含量對不同排列方式下材料的拉伸及剪切模量影響顯著但有所差別。

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(責任編輯： 徐曉)

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170217.1614.012.html

PredictionofFRPstiffnessbasedonanewimplementationofhomogenizationmethod

GAOTao1,QIWenkai1,2,SHENCheng1,2,*

1.CollegeofEnergyandPowerEngineering,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China2.JiangsuProvinceKeyLaboratoryofAerospacePowerSystem,Nanjing210016,China

Basedonanewimplementationofasymptotichomogenization(AH)method,themacroscopicequivalentelasticpropertiesofunidirectionalfiberreinforcedpolymer(FRP)andtheeffectoffiberarrangementontheequivalentmechanicalpropertieswerepredictedanddiscussed.Thismethodcanbeeasilyimplementedtoobtaintheeffectiveelasticconstantsusingcommercialfiniteelementanalysis(FEA)softwareasatoolbox,andnodaldisplacementfieldcorrespondingtotheunitstrainfieldwasappliedwithconsiderationofperiodicboundaryconditions.Comparedtotraditionalhomogenizationmethodsthismethodsignificantlyreducedthedifficultyofimplementationandsimplifiedthecalculationprocess.Acomparisonofseveralmethodsrevealsthatthisimplementationmethodissimpleandtheresultobtainedisaccurate.ThenumericalresultsshowfiberreinforcedpolymerwithhexagonalarrangementhastransverselyisotropicmaterialbehaviorbutFRPwithsquarearrangementhasorthotropicmaterialbehavior;astiffnessaveragenessprocedureisrequiredtoobtainthetransverselyisotropicstiffnessmatrixofFRP;thefibervolumefractionhasasignificantbutdifferenteffectontheequivalentelasticmodulusofthetwokindsofarrangement.

homogenizationmethod;equivalentelasticproperties;periodicboundarycondition;finiteelement;fiberarrangement;composites

2016-06-30；Revised2017-01-18；Accepted2017-01-23；Publishedonline2017-02-171614

s：AeronauticalScienceFoundationofChina(2013ZB52019);NationalNaturalScienceFoundationofChina(11502110);NaturalScienceFoundationofJiangsuProvinceofChina(BK20150737);theFundamentalResearchFundsforCentralUniversities(NJ20150005)

.E-mailcshen@nuaa.edu.cn

2016-06-30；退修日期2017-01-18；錄用日期2017-01-23； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2017-02-171614

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航空科學基金 (2013ZB52019)； 國家自然科學基金 (11502110)； 江蘇省自然科學基金 (BK20150737)； 中央高校基本科研業務費專項資金 (NJ20150005)

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