考慮橫法向熱應變的Reddy型功能梯度梁理論

許琦， 吳振

沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室， 沈陽 110136

考慮橫法向熱應變的Reddy型功能梯度梁理論

許琦， 吳振*

沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室， 沈陽 110136

Reddy型高階理論已被廣泛用于功能梯度材料(FGM)結構分析，然而此理論忽略了橫法向應變，難于準確分析功能梯度梁的熱力行為。為提高Reddy理論分析熱力響應的精度，提出了一種考慮橫法向熱應變的三參數Reddy型高階功能梯度梁理論。此模型考慮了橫法向熱應變，但不增加額外位移變量。應用構建的模型分析了功能梯度梁的熱力響應，并研究了不同體積分數對面內應力和位移的影響。數值結果表明,所提出的模型能準確分析功能梯度梁的熱力響應，而忽略橫法向應變的模型計算結果精度較低。

Reddy型高階理論； 功能梯度梁； 橫法向熱應變； 解析解； 熱力分析

近年來，功能梯度材料(FGM)受到工程領域的廣泛關注。與普通均質復合材料不同，功能梯度材料的組分和結構在空間上連續變化，最大程度降低了應力集中現象。在工程實際中，功能梯度材料常受到機械載荷和熱載荷共同作用，溫度變化使結構內部產生較大的熱應力和變形，甚至導致結構失效[1]。為充分發揮功能梯度結構性能，有必要建立適當的模型對其進行有效的熱力分析。

模型發展初期，一階剪切變形理論被用于分析功能梯度結構的熱彈性響應問題[2-3]。然而，一階剪切變形理論的橫向剪切應變沿厚度方向為一常數，需使用剪切修正系數來調整橫向剪切剛度，此模型通常適用于薄板分析[4]。為克服一階理論的不足，各國學者將研究重點轉向了高階剪切變形理論[5-7]。Touratier[8]發展了正弦型高階剪切變形理論，隨后Zenkour和Alghamdi[9]基于此模型分析了四邊簡支功能梯度板的熱力響應。Matsunaga[10]提出一種九階理論，該理論面內位移沿厚度方向展開九階多項式，橫向位移沿厚度方向展開八階多項式。應用該理論，Matsunaga分析了功能梯度板的熱力響應。通過使用橫向剪切應力自由表面條件，Reddy[11]發展了三階剪切變形理論(Reddy理論)，該理論橫向剪切應變沿板厚度方向呈拋物線型分布，不需要使用剪切修正系數。基于此理論，Reddy研究了功能梯度板的靜力問題[12]和幾何非線性問題[13]。Yang 和Shen[14]基于Reddy理論分析了功能梯度板在熱力載荷作用下的非線性行為。Duc和Tung[15]基于Reddy理論研究了熱環境中功能梯度板的后屈曲問題。針對于Reddy理論，目前各國學者仍在進行大量研究及應用[16-17]。

Reddy理論模型已經在工程領域得到廣泛應用[4]，此理論與一階理論位移變量個數相同，能夠準確高效地解決復合材料層合結構和功能梯度結構的振動、穩定及彎曲等問題。然而，Reddy理論忽略了橫法向應變，不能準確分析中厚板的熱膨脹問題[18]。為推廣Reddy理論在板熱膨脹問題上的應用，Wu等[19]提出一種增強型Reddy理論，通過考慮橫法向熱應變，提高了Reddy理論處理層合/夾層板熱膨脹問題的數值精度。與復合材料層合結構不同，功能梯度材料的材料參數為厚度方向函數，特殊的結構導致功能梯度材料熱力載荷作用下應力和位移變化規律更為復雜。為探究橫法向熱應變對功能梯度梁熱力響應的影響，本文提出了考慮橫法向熱應變的Reddy型功能梯度梁理論。基于虛位移原理推導了此模型的平衡方程，并應用Navier方法[11]得到兩端簡支功能梯度梁的解析解。通過算例評估了本文模型的性能。

1 理論公式

1.1 橫向位移

溫度場的分布函數表達形式為[9]

(1)

εzT=α(z)ΔT(x,z)

(2)

其中：α(z)為功能梯度梁熱膨脹系數。對由溫度變化產生的橫法向熱應變沿厚度方向積分，可得到橫向熱位移為

(3)

橫向位移的最終表達式為

w(x,z)=w0(x)+wT(x,z)

(4)

式中：w0(x)為梁中面橫向位移。

1.2 考慮橫法向熱應變的三參數Reddy型功能梯度梁理論(FGRC)

考慮橫法向熱應變的三參數Reddy型功能梯度梁理論初始位移場為

(5)

式中：u0為梁中面位移；u1為梁中面法線關于y軸的轉角；u2和u3為泰勒展開高階項，表示橫截面位移的高階形式。

基于線性位移-應變關系，橫向剪切應變γxz可表示為

(6)

橫向剪切應力τxz為

τxz=D55(z)γxz

(7)

式中：D55(z)=E(z)/2(1+ν)；E(z)和ν分別為功能梯度梁的彈性模量和泊松比。

由橫向剪切應力自由表面條件可知

τxz|z=±h/2=0

(8)

式中：h為梁的厚度。將式(6)和式(7)代入式(8)中，整理后代入式(5)即可得到考慮橫法向熱應變的三參數Reddy型高階功能梯度梁理論的最終位移場為

(9)

式中：

(10)

1.3 本構方程

基于線性應變-位移關系，本文模型FGRC的應變為

(11)

式(11)表明，橫法向熱應變已經進入到面內應變項和橫向剪切應變項中。功能梯度梁本構方程的表達式為

(12)

式中：彈性模量E(z)和熱膨脹系數α(z)為厚度方向的函數。由陶瓷和金屬組成的功能梯度梁的彈性模量和熱膨脹系數表達式為[9]

(13)

式中：Em、αm和Ec、αc分別為金屬和陶瓷的彈性模量和熱膨脹系數；k為陶瓷體積分數，它代表材料組分的體積分布規律，當k=0時，退化為各向同性材料。

1.4 平衡方程

δU-δW=0

(14)

式中：δU為虛變形能；δW為外力所做的虛功。具體形式為

(15)

δW=δWPx+δWq+δWTx0+δWTxa

(16)

式中：A為梁的x-y面；δWPx和δWqx分別為作用在功能梯度梁底面和頂面的分布載荷和橫向載荷所做的虛功；δWTx0和δWTxa為作用在功能梯度梁上的橫向剪切載荷所做的虛功。

根據變分原理推導出考慮橫法向熱應變的功能梯度梁平衡方程為

(17)

式中：Nx為功能梯度梁橫截面上的內力；Mxφ1和Mxφ2為功能梯度梁橫截面上的彎矩；Vφ1和Vφ2為功能梯度梁橫截面上的扭矩；Px0、Px1和Px2為作

圖1 在不同載荷作用下的功能梯度梁Fig.1 Functionally graded beam subjected to different loadings

用在功能梯度梁上的面力；q0為作用在功能梯度梁上的橫向載荷。各物理量的具體表達形式為

式中：

1.5 解析解

應用Navier方法[11]求解兩端簡支功能梯度梁的解析解。其所受外部載荷和溫度載荷的表達式為

(18)

(19)

滿足邊界條件的試函數為

(20)

將式(20)代入到式(17)中，整理系數可得位移參數u01、u11和w01。

產業間分工是世界上最傳統的貿易分工形式，它產生于較低的生產力水平和較低分工程度的背景下，理論上主要是用斯密的絕對優勢和李嘉圖的比較優勢原理來解釋的，而產業內分工則產生于20世紀70年代，它是隨著社會生產力的不斷提高、分工程度的進一步深化而出現的貿易分工形式，理論上主要是用規模經濟等理論來解釋的，是從需求和供給兩個方面來考慮貿易產生的源泉。[2]由此可見，這兩種貿易分工形式產生于不同的社會背景，在理論解釋方面存在著顯著差異，但二者依然是在標準貿易理論框架中進行研究的,其研究對象為最終產品，并不考慮產品生產過程發生工序和區段國際分工的可能性。

將參數代入式(9)中可得到面內位移、橫向位移及面內應力為

使用三維平衡后處理方法得到橫向剪切應力為

Φ3λ3Ti+β(z)f(z)λTi)dzx=0

2 算例與分析

本節主要驗證所提模型的精度并基于此模型分析兩端簡支功能梯度梁的熱力響應。圖表和圖片中字母縮寫分別為：Exact—Kapuria計算的精確解[20]；HSDT-98—基于Matsunaga高階理論[21]的解析解，此模型面內位移展開九階多項式，橫向位移展開八階多項式，包含19個位移變量；FGRC—基于考慮橫法向熱應變的Reddy型功能梯度梁理論計算的解析解，包含3個位移變量；FGRD—基于忽略橫法向熱應變的Reddy型功能梯度梁理論[11]計算的解析解；SPT—基于正弦剪切變形理論計算的解析解[8]；FSDT—基于一階剪切變形理論計算的解析解[2]。

2.1 夾芯梁熱膨脹問題

基于本文模型FGRC分析復合材料夾芯梁熱膨脹問題。溫度載荷為[21]

ΔT(x,z)=T0sin(πx/a)

材料參數[21]如下所述。

表面層(h/10×2)：EL=E0,ET=0.04E0,GTT=0.02E0，GLT=0.008E0,E0=144.8 GPa,νLT=0.25，αL=0.139×10-6/℃,αT=9×10-6/℃。

面內應力σx與橫向剪切應力τxz的無量綱形式為

圖2給出了夾芯梁面內應力和橫向剪切應力沿厚度方向的分布。

圖2 沿夾芯梁厚度方向分布的應力(a/h=5)Fig.2 Stress along thickness direction of sandwich beam (a/h=5)

從圖2中可以看出基于模型FGRC計算的面內應力和橫向剪切應力與精確解[21]吻合良好，然而由于忽略了橫法向熱應變，基于模型FGRD計算的結果精度較低。此外，高階理論HSDT-98能夠準確計算溫度載荷作用下夾芯梁的應力和位移，但該理論包含19個位移變量，本文所建模型僅包含3個位移變量，故此模型處理夾芯梁熱膨脹問題準確高效。高階理論HSDT-98計算結果與精確解吻合良好，此模型可作為下面研究功能梯度梁熱力問題的參考解。

2.2 功能梯度梁熱力響應問題

基于本文模型分析由鋁和氧化鋁構成的功能梯度梁熱力響應。材料參數如下[10]所述。

鋁：Ea=70 GPa,ν=0.3,αa=23×10-6/℃。

氧化鋁：Ean=380 GPa,ν=0.3,αan=7.4×10-6/℃。

位移和應力的無量綱表達式為

為討論不同載荷作用下功能梯度梁的熱力響應，分別給出兩端簡支功能梯度梁受不同溫度載荷和橫向載荷時的算例。

1) 溫度載荷和橫向載荷分別為ΔT(x,z)=T0sin(πx/a)和q=q0sin(πx/a)。

圖3為功能梯度梁在熱力載荷作用下的位移和應力分布情況(q0=100 N/m,T0=100 ℃)。

圖3 熱力載荷作用下沿功能梯度梁厚度方向分布的位移和應力(k=2,a/h=4) Fig.3 Displacements and stresses along thickness direction of functional graded beam subjected to thermomechanical loading (k=2,a/h=4)

圖4為功能梯度梁在溫度場(T0=100 ℃,T1=100 ℃)和橫向載荷(q0=100 N/m)作用下面內位移和面內應力的分布。數值結果表明基于模型FGRC的計算結果與模型HSDT-98吻合良好(k=1,a/h=4)。由于忽略了橫法向熱應變，模型FGRD、SPT和FSDT不能準確計算功能梯度梁熱應力和位移。

表1對比功能梯度梁不同體積分數和跨厚比的位移和應力(q0=100N/m,T0=100℃)

Table1Comparisonofdisplacementandstressesinfunctionalgradedbeamsofdifferentvolumefractionsandspan-to-thicknessratios(q0=100N/m,T0=100℃)

Volumefractionka/hModalu(0,-h/2)σx(a/2,-h/2)0.52.55.0HSDT-98-6.5581-0.6482FGRC-6.5786(0.31)-0.4722(17.60)FGRD-5.8476(10.83)-0.9371(44.57)HSDT-98-6.0319-0.8428FGRC-6.0301(0.03)-0.8210(2.59)FGRD-5.8475(3.05)-0.9372(11.20)0.82.55.0HSDT-98-7.6949 0.2182FGRC-7.7345(0.51) 0.2629(20.48)FGRD-6.8479(11.01)-0.3010(237.94)HSDT-98-7.0686-0.1802FGRC-7.0694(0.01)-0.1601(11.15)FGRD-6.8480(3.12)-0.3009(66.98)2.02.55.0HSDT-98-9.4804 1.3730FGRC-9.5934(1.19) 1.4450(5.24)FGRD-8.4849(10.50) 0.7401(46.10)HSDT-98-8.7449 0.9054FGRC-8.7602(0.17) 0.9151(1.07)FGRD-8.4834(2.99) 0.7391(18.36)

Note：The values in bracket are the error ratio of results obtained by different models compared with HSDT-98, %.

圖4 沿功能梯度梁厚度方向分布的位移和應力(k=1, a/h=4)Fig.4 Displacements and stresses along thickness direction of functionally graded beam (k=1, a/h=4)

3 結 論

為準確分析功能梯度梁熱力行為，本文提出一種考慮橫法向應變的Reddy型功能梯度梁理論FGRC。此模型雖然考慮橫法向熱應變，但不增加額外位移變量。基于Navier方法給出了兩端簡支功能梯度梁在熱力載荷作用下的解析解，通過分析位移和應力可得到如下結論：

1) 由于忽略了橫法向熱應變，Reddy理論FGRD、正弦剪切變形理論SPT及一階剪切變形理論FSDT不能夠準確分析功能梯度梁的熱力響應。

2) 本文所建模型考慮了橫法向熱應變，并應用橫向剪切應力自由表面條件將橫法向熱應變引入面內應變項(式(11))，提高了預測功能梯度梁熱力響應問題的精度。數值結果表明基于本文所建模型FGRC計算的應力和位移與精確解吻合良好，此模型僅包含3個獨立的位移變量，故分析功能梯度梁熱力響應問題準確高效。

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(責任編輯： 徐曉)

*Correspondingauthor.E-mail:wuzhenhk@163.com

AReddy-typetheoryoffunctionallygradedbeamconsideringtransversenormalthermalstrain

XUQi,WUZhen*

LiaoningProvinceKeyLaboratoryonCompositeStructuralAnalysisandSimulationofAerocraft,ShenyangAerospaceUniversity,Shenyang110136,China

TheReddy-typehigher-ordertheoryhasbeenwidelyusedforanalysisofFunctionallyGradedMaterial(FGM)structures.However,thetheoryneglectstransversenormalstrain,andwillthusencounterdifficultiesinanalysisofthethermomechanicalbehaviorsofthefunctionallygradedbeam.ToimprovetheperformanceofReddy’stheory,aReddy-typehigher-ordertheoryconsideringtransversenormalthermalstrainwiththreedisplacementparametersisproposed.Althoughtransversenormalthermalstrainistakenintoaccount,thenumberofdisplacementparametersisnotincreasedinthetheory.Themodelproposedisusedtoinvestigatethermomechanicalresponseofthefunctionallygradedbeam,andalsotheeffectofvolumefractiononstressanddisplacementoffunctionallygradedbeam.Numericalresultsshowedthattheproposedmodelcancalculateaccuratelythethermomechanicalresponseofthefunctionallygradedbeam,andcanimprovethecalculationaccuracyofthemodelsfortransversenormalthermalstrain.

Reddy-typehigher-ordertheory;functionallygradedbeam;transversenormalthermalstrain;analyticalsolution;thermomechanicalanalysis

2016-11-07;Revised2017-02-16;Accepted2017-03-23;Publishedonline2017-04-120851

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170412.0851.002.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(11272217，11402152)

2016-11-07；退修日期2017-02-16；錄用日期2017-03-23； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2017-04-120851

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170412.0851.002.html

國家自然科學基金 (11272217，11402152)

.E-mailwuzhenhk@163.com

許琦， 吳振. 考慮橫法向熱應變的Reddy型功能梯度梁理論J. 航空學報，2017，38(8)：220918.XUQ,WUZ.AReddy-typetheoryoffunctionallygradedbeamconsideringtransversenormalthermalstrainJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(8):220918.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.220918

V257

A

1000-6893(2017)08-220918-09