解題教學要啟發學生什么

錢桂圣

[摘 要] 解題教學要啟發學生什么？當然是思維、思想、素養，而不是技巧、技能、方法.本文以解題教學中啟發學生什么為視角，談談當下教學需要注意什么、避免什么.

[關鍵詞] 解題教學；數學；思維；思想；素養；技巧；技能；方法

數學解題教學教什么？這是一個很重要的問題. 不少教師認可解題教學主要是教方法、技能，有很多著作都在提學生應該掌握怎樣的解題方法. 近年來隨著自主招生的盛行，三位一體招生的實施，我們發現很多大學自主命題并不是看中學生有多少初等數學的技巧、技能，而更多的是考查學生的思維、思想、數學素養. 筆者認為，這正是高中數學解題教學需要轉變的觀念.

從近年來各地高考真題來看，命題者在滲透一種教學理念：要讓陷入題海而加強熟練化的學生得不到高分，要讓學會思考、有想法、有思維的學生得到挖掘. 因此更多原創的高考問題注重考查學生的思維、挖掘數學的本質、啟迪學生的素養. 這是數學解題教學需要不斷滲透和關注的核心.

以重要數學思想啟發解題

初等數學的問題的確是千變萬化的，技巧和方法可以多種多樣，但在這些變換的背后存在著一些不變性——數學思想的使用. 中學數學是比較講究數學思想的引導的，這與初等數學本身有著重要關聯. 從解題的途徑來看，主要是代數途徑和幾何途徑，因此數形結合思想是眾多思想方法中最值得啟發思維的一種思想.

筆者以為，以形輔數是用幾何的方式較好地呈現代數問題的解答，以數解形是用代數的方式全面地幫助圖形化存在的思考不全面的較好的“良藥”. 舉一例來說明學生用數學思想啟發問題的解決.

分析：以題中的形式來看，學生的基本思路是代數思考，但是又有無從入手的感覺. 代數的角度入手比較難（有興趣的讀者可從判別式角度思考），那么換一種簡潔的思路是不是可以從幾何角度入手？

師：原式中有兩個變量，如何求最值呢？

師：（繼續引導）分子、分母中分別含有sinθ，cosθ，你能聯想到什么？

學生1：sin2θ+cos2θ=1.

學生2：單位圓上的點.

師：但是sinθ，cosθ都有系數a，那么隨著a的變化，這好像不是一個單位圓. 那么可以怎樣處理呢？

學生3：a≠0，可以分子分母都除以a，這樣形式就比較整齊了.

師：很好！下面同學們討論如何求出“斜率”的最值.

說明：遇到一些較難的題目，學生無法入手時，教師也不應該直接給出答案，而是應該通過師生互動的形式，逐步引導，搭建思維腳手架，讓學生積極參與感受思維過程，逐步形成數學思想，進而提高思維品質. 通過師生互動，交流、討論將不熟悉的問題轉化為熟悉的常規問題. 學生在參與的過程中逐步形成化歸與轉化及數形結合等數學思想.通過共同合作將問題解決也可以培養學生的合作意識和創新意識. 有效的練習講評應該注重思維過程，在潛移默化中培養學生啟發其數學思想的形成.

以典型易錯問題啟發思維

典型問題、易錯問題是具備典型性的重要問題，其有著重要的數學價值. 不少教師對于教學依舊存在教學兩大誤區：第一布置大量的訓練，通過訓練增加熟練度，將學生訓練成流水線上的“熟練工”，從而遇到新的問題缺乏思考能力；第二正是因為大量的訓練，教師對于錯誤問題來不及思考，沒有深入點撥不同的學生不同的問題所在，導致學生聽懂了教師的解答，卻依舊在錯誤的問題中越走越遠. 波利亞把解題活動分為四個階段：理解題意、擬訂方案、執行方案、回顧反思. 他指出：“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧、思考.” 由此可見通過典型問題、易錯問題對于啟發思維的重要性.

問題2：將甲、乙、丙、丁、戊五個人保送到A、B、C、D四所大學，每個學校至少一人，求甲、乙兩人被保送到同一所大學的概率.

師：兩種解法看似都有道理，但是為什么答案不一樣呢？請同學們討論一下問題出在哪里.

學生通過分組討論覺得第一種解法應該沒有問題，第二種解法有同學提出總數應該是重復了.

師：你知道重復在哪里嗎？如果是3個人分配到兩所大學每個學校至少一人，請同學們分別按照以上兩種解法列舉一下基本事件的總數.

學生通過列舉發現了第二種解法果然是出現了重復計算的問題，原來最后一個分配的學生和前面的計數出現了重復.

師：如何避免這種重復呢？我們再思考一個問題：從10名男生8名女生中選出3人參加數學競賽，要求這3人中既有男生又有女生的選法有幾種？

學生：錯了！又重復了！

師：很好那你們能總結一下如何避免類似的錯誤嗎？

師生總結：“至多”“至少”問題要注意分類討論避免重復計數.

說明：通過對學生的錯誤解答進行了有效的分析、講解，暴露了學生為什么錯誤的過程，能提高糾錯的針對性.對于排列組合問題而言，恰恰是需要提供以少許問題換取大量思考的典型. 數學中還有不少類似的問題，諸如抽象函數定義域、概率問題的求解、向量幾何化問題的解答、數列不等式的放縮等等，這些是需要思維量極大的知識點，是不能只通過大量訓練得到的，這就需要分析典型的問題、易錯的問題，從中思考知識的使用、知識的本質.

以數學相關實驗拓展素養

核心素養于2016年在新的國家課程標準中被首次提出，這關乎數學教學重大的變革. 在中學數學學習中不能僅僅像以往那樣只注重基本知識、基本技能、基本思想方法，還要從數學知識的學習中獲得更高的有關人文的東西，比如說素養. 國家課程標準提出了六大核心素養，如數學抽象素養、數據分析素養、邏輯推理素養等等.

問題3：通過圖形計算器研究《冪函數》教學.

？搖？搖通過給學生在平板上安裝圖形計算器APP，讓學生摸索與冪函數相關的性質. 學生操作時間25分鐘，第一次采用描點法在學案手動繪制，第二次采用平板軟件繪制進行驗證.

思考1：冪函數有沒有共性？你找到了嗎？

思考2：所繪制的冪函數必定通過哪個象限？有沒有公共點？

思考3：冪函數的圖像變化與什么有關？為什么？

思考4：通過這些冪函數你能再繪制一些類似的冪函數嗎？

說明：這是一堂數學實驗課，這堂課中筆者并沒有占用學生多少時間，更多的時候是以學生繪制學案上的冪函數圖像和利用數學軟件圖形計算器APP完成的，請學生用15分鐘時間總結他們的研究成果.筆者發現，學生對于形如y=x（p，q互質）圖像特征的總結遠遠比兩堂課的課堂教學效果好，因為信息技術的合理使用，讓學生在學習中找到了自身探索的樂趣和方向，是教學值得思考的地方.從數學實驗中讓學生的素養隨著數學知識的研究獲得了增加.

今天的數學教學已然不是只講求基本知識、基本技能等等，更要注重學生思維的啟發、數學本質的認知、數學素養的培養，這些方方面面也要求了教師自身不斷的研究和學習，才能讓學生的數學學習得到更多的收獲，才明白數學解題教學啟發的是什么.endprint