關(guān)注算法多樣化背后的同一性

浙江義烏市江濱小學(xué) 楊凱明

關(guān)注算法多樣化背后的同一性

浙江義烏市江濱小學(xué) 楊凱明

學(xué)生自主探索是算法多樣化的源，算理是算法多樣化的根。算法多樣化使教學(xué)過(guò)程的價(jià)值取向由關(guān)注學(xué)生的知識(shí)與技能向關(guān)注學(xué)生個(gè)性化發(fā)展的轉(zhuǎn)變，是學(xué)生在群體學(xué)習(xí)環(huán)境中對(duì)知識(shí)主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程。在多樣化的算法中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、分析、比較，反思各種算法,正確認(rèn)識(shí)每一種算法的價(jià)值以及每一種算法之間的聯(lián)系，在比較和聯(lián)系中掌握最基本的算法。通過(guò)擺小棒、撥計(jì)數(shù)器等直觀模型促進(jìn)算理的思考和理解，實(shí)現(xiàn)各種算法的“存異求同”。

算法多樣化 運(yùn)算意義 直觀模型 算法聯(lián)系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中舍棄了“算法多樣化”的提法，它把“多樣化”與教學(xué)手段、教學(xué)評(píng)價(jià)以及解決問(wèn)題的策略等相連結(jié)。但新課程改革以來(lái)，隨著教師教學(xué)方式的改變，在課堂上放手讓學(xué)生主動(dòng)地去探索算法的時(shí)候，總是優(yōu)，評(píng)出最優(yōu)解法，也不要馬上把基本的算法強(qiáng)加給學(xué)生，而是給學(xué)生一個(gè)逐步領(lǐng)悟、自我體驗(yàn)、自我肯定、自我選擇的過(guò)程。通過(guò)師生之間的共同評(píng)價(jià)、比較、討論，讓學(xué)生自我完成和掌握基本的算法。

計(jì)算教學(xué)中，教師不能僅會(huì)有許多不同的算法和解題策略，這是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平存在著差異所造成的。所以，可以這么說(shuō)，主動(dòng)探索是算法多樣化的源泉。在自主探究中，學(xué)生提出一種策略、一種算法，只要是合理的，教師就應(yīng)該肯定。教師不用刻意組織選佳評(píng)僅滿足于學(xué)生計(jì)算方法的多樣，而把算理教學(xué)置之腦后，算理是算法多樣化教學(xué)的根。在算法多樣化教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于不同的算法，教師要在讓學(xué)生理解算理的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、概括它們的聯(lián)系和共同特征，要存異求同，而這個(gè)“同”就是“算理”。

一、借助運(yùn)算意義貫通算法

很多時(shí)候，學(xué)生的各種算法的意義是完全相同的，只是表述的形式不同而已。教師要對(duì)學(xué)生的多種方法進(jìn)行聯(lián)系和溝通，既幫助學(xué)生再次明晰算理，又能使學(xué)生確定自己在今后計(jì)算中應(yīng)該選擇的最優(yōu)方法。

比如，教學(xué)北師大版小學(xué)三年級(jí)上冊(cè) 《小數(shù)加減法》（如下圖），求“淘氣兩個(gè)月一共存了多少零用錢？ ”探索“11.5+3.2”的算法時(shí)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下幾種算法：

存零用錢

●淘氣兩個(gè)月一共存了多少零用錢？

①11元+3元=14元，5角+2角=7角，也就是14元7角，即14.7元。

②11.5元=115角，3.2元=32角，

教師要組織學(xué)生討論并概括以上四種不同算法之間的區(qū)別和共性。在充分理解算理后，引導(dǎo)學(xué)生思考：幾種算法之間有無(wú)聯(lián)系？他們僅僅是幾種不同的算法嗎？像算法①和算法③，一種是橫式，一種是豎式，相同點(diǎn)是兩種方法都用元和元相加，角和角相加；算法②③④都是用豎式計(jì)算，算法②是把小數(shù)加法轉(zhuǎn)化成整數(shù)加法來(lái)計(jì)算，算法④是本堂課重點(diǎn)要學(xué)習(xí)的豎式算法。通過(guò)觀察與思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)四種算法本質(zhì)其實(shí)是一樣的，計(jì)算小數(shù)加法的時(shí)候，要相同單位的數(shù)才能相加，也就是計(jì)算時(shí)“小數(shù)點(diǎn)一定要對(duì)齊”。這個(gè)體現(xiàn)小數(shù)加法算理的規(guī)則，也涵蓋了前面學(xué)習(xí)的多位數(shù)加法的算理和方法。這樣，小數(shù)加法和多位數(shù)加法得到了綜合貫通，這個(gè)同一性恰恰是教學(xué)中需要突出來(lái)的。在教學(xué)活動(dòng)中，如果只呈現(xiàn)具體的計(jì)算方法而不與算理進(jìn)行有機(jī)聯(lián)系，學(xué)生獲得的不過(guò)是解題的 “技巧”而非解題的“道理”。

二、借用直觀模型統(tǒng)一算法

教學(xué)北師大版二年級(jí)下冊(cè)《萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的加法》時(shí)（計(jì)算“122＋77=”），借助直觀模型與多種算法的對(duì)照，增進(jìn)學(xué)生對(duì)算理、算法的理解，從而使多樣化算法的意義得到統(tǒng)一。

學(xué)生自主計(jì)算“122+77”，出現(xiàn)以下幾種算法：

（1）撥計(jì)數(shù)器計(jì)算

（3）用橫式筆算

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些方法進(jìn)行評(píng)價(jià)、比較、討論、歸納后，不難發(fā)現(xiàn)，以上四種算法都服從一個(gè)規(guī)則相同數(shù)位上的數(shù)才能相加。算法（1運(yùn)用計(jì)數(shù)器把抽象的思維活動(dòng)轉(zhuǎn)化成形象的直觀操作；算法（2）運(yùn)用數(shù)線來(lái)解決，每算一步，就在直線上方畫一條弧線，在弧線上標(biāo)出加幾，在直線下面寫上計(jì)算的結(jié)果，畫線的步驟與口算的步驟一致；算法（3）的橫式筆算，遷移到了百以內(nèi)數(shù)的加法的計(jì)算方法；算法（4）是用豎式計(jì)算，優(yōu)點(diǎn)在于寓算理 （各個(gè)數(shù)位對(duì)齊）于算法之中。教師在分析這四種方法時(shí)，其他三種算法都應(yīng)該緊緊圍繞著算法（1）（運(yùn)用計(jì)數(shù)器）教學(xué)“先撥122，百位撥1，十位撥2，個(gè)位撥2；再撥77，個(gè)位撥入7，合起來(lái)是個(gè)一，十位撥入7，合起來(lái)是9個(gè)十得到199。也就是個(gè)位上7個(gè)一和2個(gè)一合起來(lái)是9個(gè)一，十位上是7個(gè)十加2個(gè)十，就是9個(gè)十，結(jié)果是199”撥計(jì)數(shù)器的過(guò)程，就是理解算理的過(guò)程。因此，要充分運(yùn)用計(jì)數(shù)器這個(gè)直觀模型，豐富和發(fā)展學(xué)生的各種思維表象，讓各種算法“存異求同”計(jì)數(shù)器、數(shù)線、橫式、豎式和筆算，幾種方法看上去很不一樣，但是透過(guò)這四種不同的形式，我們運(yùn)用計(jì)數(shù)器這個(gè)直觀模型都能找到同一性（即相同數(shù)位對(duì)齊，再相加）。

三、借力算理表述優(yōu)化算法

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生采用的多種計(jì)算方法大部分是合理的，而且都與學(xué)生當(dāng)下的認(rèn)知水平相適應(yīng)，都能解決所面臨的實(shí)際問(wèn)題，因此都是有價(jià)值的，都應(yīng)該給予肯定。教師要引導(dǎo)學(xué)生明白各種不同水平的算法的特點(diǎn)或優(yōu)點(diǎn)，從而選擇適合于自己的最優(yōu)的方法，感受發(fā)現(xiàn)和使用優(yōu)化的計(jì)算方法的喜悅，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

教師要讓用不同算法的學(xué)生說(shuō)一說(shuō)算理，從不同的思維方向、不同的解題思路和不同的解題方法中思考和辨析、比較和揚(yáng)棄。在上面這些方法中，算法①是基本的解法，算法⑤的解法繁瑣又很容易出錯(cuò)，方法②和算法③相對(duì)于其他算法更簡(jiǎn)便。一般情況下，計(jì)算總有一個(gè)最基本的算法，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生比較和評(píng)價(jià)，讓每個(gè)學(xué)生掌握基本方法 （就如上面例子中的算法①），在教學(xué)時(shí)必須從眾多的計(jì)算方法中把基本算法“優(yōu)化”出來(lái)。再讓學(xué)生在理解和表述算理的基礎(chǔ)上感受算法②和算法③這兩種計(jì)算方法思維的獨(dú)特性，引發(fā)學(xué)生深度思考，培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)具體運(yùn)算的時(shí)候能主動(dòng)思考、綜合推理、合理變換的意識(shí)和技能，訓(xùn)練發(fā)散思維、對(duì)應(yīng)思維、逆向思維和優(yōu)化思維等。當(dāng)然，實(shí)現(xiàn)算法多樣化來(lái)發(fā)展學(xué)生思維，一定不能以放棄中差生對(duì)基本知識(shí)的掌握而成為優(yōu)生的舞臺(tái)。發(fā)展思維的前提是學(xué)生夯實(shí)了基礎(chǔ)知識(shí)，掌握了基本技能。

以上算法多樣化的教學(xué)，最后都有要求統(tǒng)一用基本的方法進(jìn)行計(jì)算。那我們?yōu)槭裁催€要提倡算法多樣化？首先，算法多樣化能關(guān)注學(xué)生獨(dú)立探究、主動(dòng)思考的過(guò)程，能關(guān)注和同學(xué)合作交流的過(guò)程，為不同學(xué)生的發(fā)展搭建了平臺(tái)，讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。其次，提倡算法多樣化，能激活和利用每個(gè)學(xué)生蘊(yùn)含的豐富的教育資源，通過(guò)“生生互動(dòng)、師生互動(dòng)”的學(xué)習(xí)方式把它轉(zhuǎn)化為集體學(xué)習(xí)的智慧。最后，算法多樣化能讓每個(gè)學(xué)生各自的潛能和創(chuàng)造性都得以發(fā)揮，有助于學(xué)生思維品質(zhì)的提升，促進(jìn)每位學(xué)生的思維發(fā)展，增進(jìn)學(xué)生獲得自我價(jià)值實(shí)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，從而培養(yǎng)他們的自信心和創(chuàng)新意識(shí)。

算法多樣化不是目的，而是要讓多樣化的算法幫助學(xué)生理解算理，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來(lái)看問(wèn)題，從不同的角度當(dāng)中發(fā)現(xiàn)共性的算理，共性的算理也在多樣化中被襯托出來(lái)。關(guān)注算法多樣化，更要關(guān)注算法多樣化背后的同一性，這個(gè)同一性，也就是計(jì)算的本質(zhì)。

[1]劉鳳翥.再談算法多樣化[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2014（1-2）.

[2]王永.算法多樣化與算理[J].小學(xué)青年教師，2005（7）.

[3]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

楊凱明 中學(xué)高級(jí)教師，全國(guó)課改實(shí)驗(yàn)優(yōu)秀教師，浙江省優(yōu)秀輔導(dǎo)員、浙江省教科研先進(jìn)個(gè)人，金華市名師，義烏市十大杰出青年、義烏市小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

曾獲全國(guó)第八屆小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)比一等獎(jiǎng)，全國(guó)第三屆新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)比一等獎(jiǎng)，華東六省一市第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)比一等獎(jiǎng)，浙江省第八屆小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)比一等獎(jiǎng)，浙江省課程改革巡禮活動(dòng)課堂教學(xué)和課堂教學(xué)設(shè)計(jì)一等獎(jiǎng)。省級(jí)課題 “小學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約化課堂教學(xué)的研究”“小學(xué)輕負(fù)高質(zhì)型課堂教學(xué)有效設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究”已取得一定成果。

近幾年，圍繞課題《基于數(shù)學(xué)臆測(cè)的“理法融合”計(jì)算教學(xué)實(shí)踐研究》，通過(guò)專家引領(lǐng)、名師交流、課例研究、專題研討等方式，致力于計(jì)算教學(xué)的研究，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，不僅要讓學(xué)生“知其然”，還要讓學(xué)生“知其所以然”，促進(jìn)、加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，發(fā)展數(shù)感，提升思維品質(zhì)。