深度比較催發(fā)深度理解
——以《認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)》為例

江蘇南通市通州區(qū)金沙小學(xué) 張 英

深度比較催發(fā)深度理解
——以《認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)》為例

江蘇南通市通州區(qū)金沙小學(xué) 張 英

學(xué)生思維能力和解決問(wèn)題的能力都是建立在理解的基礎(chǔ)上。所以“為理解而教”顯得尤為重要。我們?cè)谡n應(yīng)利用各種方法為學(xué)生理解性學(xué)習(xí)提供助力，比較就是一種非常有效的方法。

小學(xué)數(shù)學(xué) 比較 深度理解

數(shù)學(xué)理解是學(xué)生在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、比較、分析、推理、概括等活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中的概念、原理、公式、法則等進(jìn)行解釋，主動(dòng)建構(gòu)意義，并在建構(gòu)意義的過(guò)程中，通過(guò)同化或者順應(yīng)，將新知識(shí)納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一種思維活動(dòng)。學(xué)生思維能力和解決問(wèn)題的能力都是建立在理解的基礎(chǔ)上。所以“為理解而教”顯得尤為重要。我們?cè)谡n堂應(yīng)利用各種方法為學(xué)生理解性學(xué)習(xí)提供助力，比較就是一種非常有效的方法。人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)概念、原理等的深刻認(rèn)識(shí)，大多都是在比較中實(shí)現(xiàn)的。現(xiàn)就以蘇州吳江教科研手拉手活動(dòng)中聽到的《認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)》為例，談一談我的想法。

一、深度比較，深化對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的理解

當(dāng)學(xué)生的頭腦中對(duì)新知的內(nèi)涵與外延都有比較完整、清晰的認(rèn)識(shí)，說(shuō)明他們初步建立了概念。認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)也是如此，在幫助學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)意義的過(guò)程中，教師多次采用了比較的方法，對(duì)同類對(duì)象或者異類對(duì)象的異同點(diǎn)進(jìn)行辨別，在層層遞進(jìn)的比較中幫助學(xué)生充分理解百分?jǐn)?shù)的意義，深化了對(duì)百分?jǐn)?shù)本質(zhì)的理解。

1.比較中厘清百分?jǐn)?shù)外延

僅憑一個(gè)例子來(lái)抽象出百分?jǐn)?shù)的意義，是單薄無(wú)力的。而來(lái)自學(xué)生的鮮活例子往往又是同質(zhì)、重復(fù)的。所以選擇怎樣的材料，教師是深思熟慮的。當(dāng)學(xué)生利用舊有的分?jǐn)?shù)知識(shí)解釋氨綸10%、已下載65%、鈣含量3%等的意義之后，教師出示手機(jī)屏幕截圖，問(wèn)學(xué)生看到百分?jǐn)?shù)沒(méi)有，它表示什么意思？因?yàn)橛辛讼惹暗慕?jīng)驗(yàn)，學(xué)生明白這個(gè)21%是目前電量和總電量進(jìn)行比較的結(jié)果，目前電量占總電量的。 教師問(wèn)：“看到這個(gè)信息，我該干嘛了？”學(xué)生齊答充電。教師用課件出示電量的變化圖，問(wèn)學(xué)生目前電量大約是總電量的百分之幾？從21%到50%，再到100%，當(dāng)學(xué)生充分理解100%表示什么意思后，教師追問(wèn)：“如果繼續(xù)充電，目前電量可能超過(guò)100%嗎？為什么？”學(xué)生認(rèn)為不可能，把總電量看作單位1，再怎么充電都不可能超過(guò)單位1。教師說(shuō)：“那你覺(jué)得生活中會(huì)不會(huì)有超過(guò)100%的分?jǐn)?shù)？能舉個(gè)例子嗎？”學(xué)生不吱聲。這時(shí)候教師出示線段圖，連著問(wèn)了三個(gè)問(wèn)題：學(xué)生果園里有75棵桃樹，100棵梨樹，此時(shí)桃樹的棵樹是梨樹的百分之幾？根據(jù)市場(chǎng)需要果農(nóng)們又栽了25棵桃樹，現(xiàn)在桃樹是梨樹的百分之幾？如果再栽10棵，桃樹的棵樹是梨樹的百分之幾？隨著數(shù)據(jù)的變化百分?jǐn)?shù)也在變化，從75%到100%再到110%。這里暗藏著比較，學(xué)生舉的例子基本都是部分與整體關(guān)系兩個(gè)數(shù)量之間的比較，而教師補(bǔ)充的例子就非常精心。手機(jī)充電情況，讓學(xué)生理解了目前電量和未充電量的總和是100%，手機(jī)充電不會(huì)高于100%，而桃樹和梨樹的關(guān)系比較一下子沖破學(xué)生的視界，讓學(xué)生的視線也變得越來(lái)越開闊：兩種獨(dú)立量之間的關(guān)系是可以超過(guò)100%的我們都知道，百分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵是表示兩個(gè)數(shù)量之間的倍比關(guān)系，而外延是這兩個(gè)數(shù)量可以是 “部分與整體的關(guān)系”，也可以是“兩個(gè)獨(dú)立數(shù)量之間的關(guān)系”。在鮮活的例子的引領(lǐng)下，學(xué)生下意識(shí)有了比較，思維不斷跨越，厘清了百分?jǐn)?shù)的外延。

2.比較中明晰百分?jǐn)?shù)內(nèi)涵

在多個(gè)百分?jǐn)?shù)的例子交流之后，教師指著板書：氨綸10%表示氨綸成份占衣服總成份的；脂肪3%表示脂肪含量占牛奶總量的目前電量100%表示目前電量占總電量的；110%表示桃樹棵樹占梨樹棵樹，問(wèn)學(xué)生：“剛才我們交 流了這么多的百分?jǐn)?shù)，它們表示的意義各不相同，但本質(zhì)是一樣，都表示什么？”學(xué)生回答都是一個(gè)量和另外一個(gè)量比較的結(jié)果，都是一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。這段教學(xué)又是一次比較，通過(guò)適切的具有代表性的一組實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)現(xiàn)它們的共同屬性，從而抽象出百分?jǐn)?shù)的意義。理解和掌握概念的過(guò)程就是在比較中明晰同類事物共同屬性的過(guò)程。經(jīng)過(guò)這段教學(xué)，百分?jǐn)?shù)的意義浮出水面，但是學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的理解并不完整。所以教師并不滿足于此，追問(wèn)學(xué)生有沒(méi)有什么疑問(wèn)。學(xué)生說(shuō)：“為什么百分?jǐn)?shù)會(huì)叫百分率或者百分比呢？”老師說(shuō)：“是呀，為什么會(huì)叫百分率或者百分比呢？讓我們從幾個(gè)例子中體會(huì)”。然后教師出示近視率30%等例子，讓學(xué)生填一填。引導(dǎo)學(xué)生從百分?jǐn)?shù)意義角度去解釋百分率的含義，引導(dǎo)學(xué)生將百分?jǐn)?shù)和學(xué)過(guò)的比的知識(shí)進(jìn)行比較。幫助學(xué)生體會(huì)近視率30%，既表示近視人數(shù)是小學(xué)生總數(shù)的,也可以表示近視人數(shù)與小學(xué)生總數(shù)的比是30:100。百分?jǐn)?shù)既表示兩個(gè)量之間的倍比關(guān)系，又表示為后項(xiàng)為100的比。在實(shí)例的引領(lǐng)下，學(xué)生通過(guò)比較分析不僅有效溝通了與比之間的聯(lián)系，而且進(jìn)一步加深了對(duì)百分?jǐn)?shù)意義內(nèi)涵的理解。不僅于此，教師還設(shè)計(jì)了一道練習(xí)題：①一根繩子減去，減去了米。②一噸煤噸，運(yùn)走了它的。讓學(xué)生辨一辨哪些分?jǐn)?shù)可以改成百分?jǐn)?shù)，引導(dǎo)學(xué)生把百分?jǐn)?shù)置于整個(gè)認(rèn)知系統(tǒng)中去理解。在選擇的過(guò)程中，學(xué)生自動(dòng)比較與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別，更是對(duì)百分?jǐn)?shù)不能表示具體數(shù)量，只能表示兩個(gè)量之間的一種關(guān)系有了特別深刻的理解，至此學(xué)生頭腦中的百分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)內(nèi)涵更加飽滿、外延更為清晰。這種理解不再是形式上的，而是觸摸到本質(zhì)的。定義也不再是形式化的定義，而是學(xué)生思維上的真理解。

二、深度比較，深化對(duì)百分?jǐn)?shù)價(jià)值的理解

有了分?jǐn)?shù)為什么又要學(xué)百分?jǐn)?shù)？百分?jǐn)?shù)在生活中是否得到廣泛的使用？百分?jǐn)?shù)的價(jià)值如何得到凸顯？這些都是我們教學(xué)中經(jīng)常思考的問(wèn)題。在挖掘百分?jǐn)?shù)作用和價(jià)值的教學(xué)中，教師又一次采用了比較的方法，在比較中學(xué)生腦洞大開、豁然開朗。教師出示三位隊(duì)員的投籃情況統(tǒng)計(jì)表，問(wèn)學(xué)生誰(shuí)投得準(zhǔn)一些。

三名隊(duì)員投籃情況統(tǒng)計(jì)：

經(jīng)過(guò)討論和辨析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)僅關(guān)注投中次數(shù)不行，關(guān)注失球次數(shù)也不合理，要比較誰(shuí)投的準(zhǔn)一定要比投中比率，也就是投中次數(shù)占投籃次數(shù)的幾分之幾。因?yàn)榻o出的數(shù)據(jù)比較特殊，所以學(xué)生自然而然將這些分?jǐn)?shù)通分成分母是100的分?jǐn)?shù)來(lái)比較。但是如果遇到一些一般數(shù)據(jù)呢？如果跟學(xué)生說(shuō)為了便于統(tǒng)計(jì)和比較，我們通常把這些分?jǐn)?shù)用分母100的分?jǐn)?shù)來(lái)表示，學(xué)生能接受化成分母是100的分?jǐn)?shù)再比較的方法嗎？未必！所以，教師又做了第二層次的教學(xué)，又出示一組數(shù)據(jù)。

五名隊(duì)員投籃情況統(tǒng)計(jì)：

在學(xué)生分別求出投中次數(shù)占投籃次數(shù)的幾分之幾后，教師問(wèn)：“你們打算準(zhǔn)備通分嗎？”學(xué)生說(shuō)太麻煩了，教師追問(wèn)學(xué)生：“那怎么辦呢？”學(xué)生說(shuō)：“也可以用小數(shù)來(lái)比較。”教師追問(wèn)：“對(duì)呀，化成小數(shù)也能比較出結(jié)果，但是——”一個(gè)但是，引發(fā)了學(xué)生思考，有學(xué)生站起來(lái)：“如果用小數(shù)比的話，就看不出投中次數(shù)占投籃次數(shù)的幾分之幾了。”教師表?yè)P(yáng)學(xué)生會(huì)思考，然后繼續(xù)追問(wèn)：“那有什么辦法既能比出大小，又能看出投中次數(shù)占投籃次數(shù)的幾分之幾嗎？”經(jīng)過(guò)短暫的小組討論，學(xué)生認(rèn)為可以取這這些小數(shù)的近似值，轉(zhuǎn)化成分母為100的分?jǐn)?shù)比較大小。教師又問(wèn)：“為什么分母非得是100，為什么不轉(zhuǎn)化成分母為10或者1000的分?jǐn)?shù)呢？”學(xué)生的思維又給激活了，經(jīng)過(guò)討論，學(xué)生感覺(jué)分母為100精確度比較合適。這時(shí)候教師將8位同學(xué)的投籃命中率用分母為100的分?jǐn)?shù)展示出來(lái)。教師問(wèn)學(xué)生有什么想說(shuō)的，有學(xué)生說(shuō)比起來(lái)非常方便，還有學(xué)生站起來(lái)說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)有些分?jǐn)?shù)，分子是小數(shù)。”教師相機(jī)說(shuō)：“我們以前學(xué)的分?jǐn)?shù)里沒(méi)有這樣的寫法。所以，我們需要換一種書寫的形式，我們一般寫成百分?jǐn)?shù)的形式。”現(xiàn)在感覺(jué)怎樣？學(xué)生說(shuō)非常簡(jiǎn)潔，比起來(lái)一目了然。讓我們回顧這個(gè)過(guò)程，兩組數(shù)據(jù)比較在里面起了決定性的作用，正是比較讓學(xué)生思維起了沖突，通分嫌麻煩、小數(shù)比較不能看出兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，從而逼出了將所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成分母是100的分?jǐn)?shù)的需求。學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)了百分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過(guò)程，便于統(tǒng)計(jì)和比較的特點(diǎn)深入學(xué)生內(nèi)心，深切體會(huì)到百分?jǐn)?shù)存在的價(jià)值。

烏申斯基認(rèn)為，比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)。本節(jié)課，學(xué)生的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了“比較——發(fā)現(xiàn)——理解”的過(guò)程。在對(duì)比中不斷思考，思維清亮明澈。課堂充滿著熱烈的討論、閃爍著思維的火花，不停迸發(fā)著細(xì)思妙想，對(duì)百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)不僅有寬度更有深度！